第1章因式分解　单元达标测试题　　2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《第1章因式分解》单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列由左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解时，应提取的公因式是（   ） A．6a B． C． D． 3．多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 4．如果，那么的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．9 5．若，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（    ） A． B． C．0 D． 7．若k为自然数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 8．如图，将长方形分成四个面积分别为，，，的小长方形，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．多项式的公因式是 ． 10．因式分解： ． 11．因式分解： ． 12．已知：．则 ． 13．分解因式： ． 14．若，则 ． 15．已知，则代数式的值为 ． 16．已知，且a、b、c互不相等，则 ． 三、解答题（满分72分） 17．把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 18．利用因式分解计算： (1)． (2)． 19．因式分解： (1)； (2)． 20．因式分解可以简化一些复杂的计算，如下图，把，，三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则．当时，请利用因式分解计算出U的值． 21．请阅读以下因式分解的过程： ． 这种因式分解的方法叫做配方法．请用配方法分解因式： 22．阅读以下材料，回答问题： 材料：因式分解：， 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式，上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你根据“整体思想”的方法因式分解：． 23．阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为， 所以， 所以， 所以，得． 材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） (1)请根据材料A，解答问题：若，求的值； (2)请根据材料B，解答问题： 在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果； 因式分解：； (3)综合运用：若实数满足，求的值． 参考答案 1．D 【分析】本题考查因式分解. 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式. 【详解】A. 左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解； B. 右边为，包含加法运算，未完全分解为积的形式，不符合因式分解要求； C. 右边为，包含减法运算，同样未形成积的形式，不是因式分解； D. 左边可写成，即两个相同因式的乘积，符合因式分解的定义. 故选：D. 2．D 【分析】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的. 多项式中，各项系数的最大公约数是2，各项都含有的相同因式是，且因式的指数最低是2，所以得出结果. 【详解】解：多项式分解因式， 6，4的最大公约数是2，各项都含有相同因式为， 故提出公因式. 故选：D. 3．C 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解参数．通过将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比一次项系数即可确定p的值. 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握因式分解的方法是解题关键．先提公因式，再结合完全平方公式分解因式，最后代入计算求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式， 故选：D． 5．B 【分析】此题主要考查了整式因式分解的应用和大小比较的能力，解题的关键是能准确确定解题方法，并能进行正确地变形、求解．运用作差法和因式分解进行比较即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴， ∴， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了同底数幂的逆用，提公因式法分解因式，解题的关键是掌握相应的运算法则，将原式提取公因数进行化简，利用指数运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键．利用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后找到能被整除的数或式即可得答案． 【详解】解： ， ∴的值总能被3整除． 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了因式分解. 表示出长方形的面积，再分解因式求解即可． 【详解】解：根据题意可得长方形的面积 ， 当时，不符合图形； 当时，符合图形； 故， 故选：B． 9． 【分析】本题考查了公因式的确定方法．解题的关键是找到系数的最大公因数以及相同的字母． 先找出各项系数的最大公因数，再找出各项都含有的相同字母，最后确定相同字母的最低次幂，将这几部分组合起来就是公因式． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为． 最大公因数是3． 多项式的每一项都含有字母y，y在各项中的次数都是1次， 综合系数的最大公因数3和相同字母y的最低次幂y， 所以该多项式的公因式是． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键. 将化为，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，求代数式的值．先分解因式，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：9． 13． 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法，分组分解法等．本题利用分组分解法，公式法和提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，正确计算是解题的关键． 先将变形为，，再因式分解将变形为，再化为，即可代入求值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 15． 【分析】本题是因式分解的应用，考查了利用因式分解解决求值问题；具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入；但要注意分解因式后，有一个因式与已知不符合，因此要对已知的两式进行变形，再代入．先分解因式，再将已知的，，两式相加得：，整体代入即可． 【详解】解： ， ，， ， 当，时，原式， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到是解题关键． 通过已知条件，找到的关系：，，，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 17．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题关键． （1）利用提取公因式法因式分解即可； （2）先把前两项利用平方差公式因式分解，再提取公因式分解即可； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （4）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （5）先利用完全平方公式因式分解，再利用平方差公式因式分解即可； （6）利用分组分解法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 18．(1) (2)1 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法和完全平方公式分解因式是解题关键． （1）先将原式变形为，再提取公因式，由此即可得； （2）先将原式变形为，再利用完全平方公式分解因式，由此即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 19．(1) (2) 【分析】本题考查综合运用提公因式法分解因式和公式法分解因式，涉及平方差公式和完全平方公式等知识，熟练掌握分解因式的方法是解决问题的关键． （1）先恒等变形，再提公因式，最后由平方差公式分解因式即可得到答案； （2）先恒等变形，再由平方差公式分解因式，最后由完全平方公式分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20． 【分析】本题是有关因式分解的应用，首先用提公因式法把进行因式分解，然后代入数值计算解答即可． 【详解】解：因为， 所以． 21． 【分析】本题主要考查因式分解，仿照题干利用配方法进行因式分解． 【详解】解： ． 22． 【分析】本题考查了因式分解，令，则有，然后把代入，再利用完全平方公式进行因式分解即可，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 【详解】解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式 ． 23．(1) (2) ； (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）①根据完全平方公式继续进行因式分解即可； ②根据材料B提供的方法，进行因式分解即可； （3）设，得出，根据完全平方公式变形求值，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：． （2）解：①设， 原式 ． 设， 原式 ． （3）解：设， ， 实数满足， ， ， ， 即， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $