2025-2026学年沪科版数学九年级上册周周练01（21.1-21.2）

沪科版九年级上数学周周练01（21.1-21.2） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．s＝2t2﹣2t+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y 2.若函数y＝a是二次函数且图象开口向上，则a＝（　　） A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3 3.关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．抛物线的顶点坐标是（1，2） D．当x＞3时，y随x的增大而增大 4.函数y＝mx2﹣2x+1（m是常数，m≠0，下同）和y＝mx+m在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C．D． 5.在平面直角坐标系中，抛物线y＝4（x+2）2﹣3经过A（﹣3，a）、B（0，b）、C（1，c）三点，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜b＜c D．a＜c＜b 6.如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，设二次函数图象上点A，B之间的部分（含点A，B）为曲线L，过点C（0，5）作直线l∥x轴．将曲线L向上平移m个单位长度，若曲线L与直线l有两个交点，则m的取值范围为（　　） A．m＞1 B．1＜m≤2 C．1＜m＜2 D．1≤m≤2 7.某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　） A．y＝50（200+20x） B．y＝200（50﹣20x） C．y＝（50﹣x）（200+20x） D．y＝（50﹣x）（200﹣20x） 8.如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 9.已知二次函数y＝2（x﹣n）（x﹣n﹣4）的图象经过四个象限，则n的取值范围是（　　） A．n＜﹣4 B．﹣1＜n＜2 C．﹣2＜n＜1 D．﹣4＜n＜0 10.对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.当a＝　 　 时，y＝（a﹣1）x﹣3是关于x的二次函数． 12.如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边AB为x米，面积为S平方米，求S与x之间的函数解析式为 　 　 ，自变量x的取值范围为 　 　 ． 13.定义：min{a，b}．若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为 　　 ． 14.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和C（0，1）． （1）若此抛物线对称轴是直线x，点C（0，1）与点P关于直线x轴对称，则点P的坐标是　 　 ． （2）若此抛物线的顶点在第一象限，设t＝a+b+c，则t的取值范围是　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 16.某公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件，经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系． （1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式． （2）求每月的利润w（万元）与销售单价x（元件）之间的函数关系式（结果化为一般式）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，4），与y轴交于点C． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 18.已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1． （1）直接写出二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； （3）当y随x的增大而减小时，直接写出x的取值范围． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示． （1）直接写出长方形的长＝　　 ，长方形的宽＝　　 ； （2）直接写出m＝　　 ，a＝　　 ，b＝　　 ； （3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当2≤x≤4时，y与x之间的关系式． 20.规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点（a2+1，﹣2a）是“完美点”，则a＝ 　　 ； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上，且与y轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式． 六、（本题满分12分） 21.已知函数y1＝a（x﹣3）2+7（a≠0）的图象与y2＝2x﹣3的图象交于点A（1，b），B两点． （1）试求a和b的值； （2）x取何值时，二次函数y1＝a（x﹣3）2+7（a≠0）中的y1随x值的增大而增大？ （3）x取何值时，y1＞y2？ （4）求抛物线顶点与两个交点构成的三角形的面积． 七、（本题满分12分） 22.【定义与性质】 如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则m＝ 　　 ，n＝ 　　 ． 【思考与探究】 （2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2． ①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围． 八、（本题满分14分） 23.如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）试判断△ABD的形状，并说明理由，且求S△ABD； （3）若点Q是直线BD上方抛物线上的一个动点，则S△BDQ的面积有最大值吗？若有最大值，请求出最大值，若没有最大值，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版九年级上数学周周练01（21.1-21.2） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．s＝2t2﹣2t+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y 【解答】解：A、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故A正确； B、y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误； C、y＝3x﹣1是一次函数，故C错误； D、y＝x2不是二次函数，故D错误； 故选：A． 2.若函数y＝a是二次函数且图象开口向上，则a＝（　　） A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3 【解答】解：∵函数y＝a是二次函数且图象开口向上， ∴a2﹣2a﹣6＝2，且a＞0， 解得 a＝4． 故选：B． 3.关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．抛物线的顶点坐标是（1，2） D．当x＞3时，y随x的增大而增大 【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2，且a＝﹣3＜0， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线x＝1，故选项B不符合题意； 顶点坐标是（1，2），故选项C符合题意； 当x＞3时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意． 故选：C． 4.函数y＝mx2﹣2x+1（m是常数，m≠0，下同）和y＝mx+m在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当m＞0时，二次函数的图象开口向上，与y轴正半轴相交，对称轴为，，一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限； 当m＜0时，二次函数的图象开口向下，与y轴正半轴相交，对称轴为，，一次函数y＝mx+m的图象经过第二、三、四象限，则A，C，D不符合题意， 故选：B． 5.在平面直角坐标系中，抛物线y＝4（x+2）2﹣3经过A（﹣3，a）、B（0，b）、C（1，c）三点，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜b＜c D．a＜c＜b 【解答】解：抛物线y＝4（x+2）2﹣3的对称轴为直线x＝﹣2． ∵4＞0， ∴抛物线开口向上，离对称轴越远的点，其函数值越大， 又∵抛物线y＝4（x+2）2﹣3经过A（﹣3，a）、B（0，b）、C（1，c）三点，且|﹣3﹣（﹣2）|＝1，|0﹣（﹣2）|＝2，|1﹣（﹣2）|＝3，1＜2＜3， ∴a＜b＜c． 故选：B． 6.如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，设二次函数图象上点A，B之间的部分（含点A，B）为曲线L，过点C（0，5）作直线l∥x轴．将曲线L向上平移m个单位长度，若曲线L与直线l有两个交点，则m的取值范围为（　　） A．m＞1 B．1＜m≤2 C．1＜m＜2 D．1≤m≤2 【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴B（0，3），顶点坐标为 （1，4）， ∵直线l过点C（0，5）， ∴点B到直线l距离2个单位长度，L的顶点距离直线l1个单位长度， ∴1＜m≤2， 故选：B． 7.某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　） A．y＝50（200+20x） B．y＝200（50﹣20x） C．y＝（50﹣x）（200+20x） D．y＝（50﹣x）（200﹣20x） 【解答】解：降价x元，则售价为（50﹣x）元，销售量为（200+20x）件， 由题意可得y＝（50﹣x）（200+20x）， 故选：C． 8.如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 【解答】解：∵正方形ABCD中，AB＝2cm， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm， ∴，OC＝OAACcm． 当点P在OA上运动时，由题意得CQ＝x，CP＝OC+OPx， 作PG⊥CD于点G， ∵∠PCG＝45°， ∴，，是二次函数； 当点P在AB上运动时，由题意得CQ＝x， ∴是一次函数． 故选：D． 9.已知二次函数y＝2（x﹣n）（x﹣n﹣4）的图象经过四个象限，则n的取值范围是（　　） A．n＜﹣4 B．﹣1＜n＜2 C．﹣2＜n＜1 D．﹣4＜n＜0 【解答】解：∵y＝2（x﹣n）（x﹣n﹣4）， ∴抛物线开口向上，与x轴有两个交点（n，0），（n+4，0）， ∵二次函数y＝2（x﹣n）（x﹣n﹣4）的图象经过四个象限， ∴x＝0时，y＜0， 即2×（﹣n）×（﹣n﹣4）＜0， ∴或， 解得﹣4＜n＜0， 故选：D． 10.对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①正确，符合题意． ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②正确，符合题意． ③当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a+2（﹣2a）+c＝c＜0， 故③错误． ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＞0， 即3a+c＞0，故④正确，符合题意． ⑤当x＝1时，y＝a+b+c为最小值， 当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c≥a+b+c， 整理得：a+b≤m（am+b）， 故⑤正确，符合题意． ⑥从图象看当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，正确，符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.当a＝　 　 时，y＝（a﹣1）x﹣3是关于x的二次函数． 【解答】解：由题意得：a2+1＝2且a﹣1≠0， ∴a＝±1且m≠1， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 12.如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边AB为x米，面积为S平方米，求S与x之间的函数解析式为 　 　 ，自变量x的取值范围为 　 　 ． 【解答】解：设花圃的一边AB为x米，则BC＝（21﹣3x+3）米， ∴S＝x（21﹣3x+3）＝﹣3x2+24， ∵21﹣3x+3≤10且21﹣3x+3＞0， ∴x＜8， 即自变量x的范围为x＜8， 故答案为：y＝﹣3x2+24x，x＜8． 13.定义：min{a，b}．若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为 　　 ． 【解答】解：设直线y＝x+1，抛物线y＝﹣x2+2x+3， 联立直线与抛物线方程得， 解得或， ∴直线与抛物线交点坐标为（﹣1，0），（2，3）， 如图， ∴x≤﹣1时，y＝﹣x2+2x+3，函数最大值为y＝0， ﹣1＜x≤2时，y＝x+1，函数最大值为y＝3， 当x＞2时，y＝﹣x2+2x+3，y＜3， ∴x＝2时，函数取最大值为3， 故答案为：3． 14.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和C（0，1）． （1）若此抛物线对称轴是直线x，点C（0，1）与点P关于直线x轴对称，则点P的坐标是　 　 ． （2）若此抛物线的顶点在第一象限，设t＝a+b+c，则t的取值范围是　 　 ． 【解答】解：∵点C（0，1）与点P关于直线x轴对称， ∴点P的纵坐标为1， 横坐标设为x，则， 解得x＝1， ∴点P的坐标是（1，1）； （2）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和C（0，1）， ∴a﹣b+c＝0， c＝1， ∴b＝a+1， 当x＝1时，y＝t＝a+b+c＝a+a+1+1＝2a+2， ∵顶点在第一象限， ∴a＜0，对称轴直线x0， ∴b＞0， ∴a+1＞0， 2a+2＜2， 即0＜t＜2． 故答案为：（1，1）；0＜t＜2． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 【解答】解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得 ， 解得m， 当m时，y是x的一次函数； （2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得 ， 解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去）， 当m＝2时，y是x的二次函数， 当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2， 解得x， 故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）． 16.某公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件，经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系． （1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式． （2）求每月的利润w（万元）与销售单价x（元件）之间的函数关系式（结果化为一般式）． 【解答】解：（1）设y＝kx+b，由条件可得， 解得， ∴y＝﹣2x+100； （2）由题意得w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣2x+100）， 整理得：w＝﹣2x2+136x﹣1800． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，4），与y轴交于点C． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 【解答】解：（1）把点B（﹣2，4）代入二次函数y＝ax2得4a＝4，a＝1， 二次函数的解析式y＝x2； 点A（1，m）代入二次函数解析式得m＝1， 把点A（1，1），B（﹣2，4）代入一次函数y＝kx+b得 ， 解得， 故一次函数的解析式y＝﹣x+2． （2）一次函数与y轴交于点C（0，2）， S△AOB＝S△AOC+S△COB2×12×2＝3． 18.已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1． （1）直接写出二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； （3）当y随x的增大而减小时，直接写出x的取值范围． 【解答】解：（1）y＝（x﹣2）2﹣1的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为 （2，﹣1）； （2）列表： x 0 1 2 3 4 y 3 0 ﹣1 0 3 描点画图，得： （3）由抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2， 则当y随x的增大而减小时，x的取值范围为x≤2． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示． （1）直接写出长方形的长＝　　 ，长方形的宽＝　　 ； （2）直接写出m＝　　 ，a＝　　 ，b＝　　 ； （3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当2≤x≤4时，y与x之间的关系式． 【解答】解：（1）在5≤x≤7时，△ABP的面积不变， 此时：点P在BC上运动，速度为每秒2个单位， ∴AD＝BC＝2×2＝4， 在5≤x≤7时，△ABP的面积为12， ∴4×BC＝12， ∴BC＝6， ∴长方形的长为6． 故答案为：6，4； （2）当x＝a时，S△ABP4×BP＝8， ∴BP＝4， ∴CP＝2， ∴a＝5﹣（2÷2）＝4， ∴m1， 当x＝b时，S△ABP4×AP＝4， ∴AP＝2， ∴DP＝4， ∴b＝7+（4÷2）＝9； 故答案为：1，4，9； （3）根据题意可知，BC＝4×1+1×2＝6，CD＝2×2＝4； 当0≤x≤1时，如图，BP＝3+x，CQ＝x， ∴yBP•CQ（3+x）•xx2x； 当1＜x≤2时，如图，BP＝4+2（x﹣1）＝2x+2，CQ＝x， yBP•CQ（2x+2）•x＝x2+x； 当2＜x≤4时，如图，CP＝2（x﹣2），CQ＝x， ∴PQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x， ∴yPQ•BC（4﹣x）•6＝12﹣3x； ∴y． ∵2≤x≤4， ∴y与x之间的关系式为y＝12﹣3x． 20.规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点（a2+1，﹣2a）是“完美点”，则a＝ 　　 ； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上，且与y轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式． 【解答】解：（1）∵点（a2+1，﹣2a）是“完美点”， ∴a2+1+（﹣2a）＝0，即（a﹣1）2＝0， 解得：a＝1， 故答案为：1； （2）∵某“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上， ∴设函数的顶点为（x，x﹣2）， ∵该函数为“完美函数”， ∴x+x﹣2＝0， 解得：x＝1， ∴x﹣2＝1﹣2＝﹣1， ∴该函数的顶点为（1，﹣1）， 设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1， 令x＝0，则y＝a﹣1， ∵该函数与y轴的交点到原点的距离为2， ∴|a﹣1|＝2， 解得：a＝﹣1或a＝3， ∴y＝﹣（x﹣1）2﹣1＝﹣x2+2x﹣2或y＝3（x﹣1）2﹣1＝3x2﹣6x+2 ∴该“完美函数”的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣2或y＝3x2﹣6x+2． 六、（本题满分12分） 21.已知函数y1＝a（x﹣3）2+7（a≠0）的图象与y2＝2x﹣3的图象交于点A（1，b），B两点． （1）试求a和b的值； （2）x取何值时，二次函数y1＝a（x﹣3）2+7（a≠0）中的y1随x值的增大而增大？ （3）x取何值时，y1＞y2？ （4）求抛物线顶点与两个交点构成的三角形的面积． 【解答】（1）解：将A（1，b）代入y2＝2x﹣3得：b＝2×1﹣3＝﹣1， ∴A（1，﹣1）， 将A（1，﹣1）代入得：4a+7＝﹣1，解得：a＝﹣2； （2）解：由（1）可得， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3， ∴当x≤3时，二次函数中的y1随x值的增大而增大； （3）解：联立 ，解得： 或， ∴B（4，5）， 画出大致函数图象如图所示： 由图象可得：当1＜x＜4时，y1＞y2； （4）解：如图，令抛物线的顶点为C，过点C作y轴的平行线交AB于D， ∵， ∴C（3，7）， 在y2＝2x﹣3中，当x＝3时，y＝2×3﹣3＝3，即D（3，3）， ∴CD＝7﹣3＝4， ∴． 七、（本题满分12分） 22.【定义与性质】 如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则m＝ 　　 ，n＝ 　　 ． 【思考与探究】 （2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2． ①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围． 【解答】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：m＝2，n＝±1， 故答案为：2；±1； （2）①y＝x2﹣2kx+4k+5＝x2﹣2kx+k2﹣k2+4k+5＝（x﹣k）2﹣k2+4k+5， ∴顶点坐标为：（k，﹣k2+4k+5）， ∵函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线， ∴﹣k2+4k+5＝﹣k2+dk+e， 整理得：4k+5＝dk+e， ∴d＝4，e＝5； ②∵C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）， 由①得：函数y＝﹣x2+4x+5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线， ∴顶点坐标（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9图象上滑动， 顶点为（2，9）， 当﹣x2+4x+5＝0时， 解得：x＝﹣1或x＝5， 抛物线与x轴交（﹣1，0）（5，0）两个点， 当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1， ∵若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上． ∴（2，9）在 C2上， 当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5； 综上可得：2＜x1＜5或x1＜﹣1． 八、（本题满分14分） 23.如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）试判断△ABD的形状，并说明理由，且求S△ABD； （3）若点Q是直线BD上方抛物线上的一个动点，则S△BDQ的面积有最大值吗？若有最大值，请求出最大值，若没有最大值，说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4）， ∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4， 把点B（0，3）代入得，a+4＝3， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）△ABD是直角三角形，理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4； 令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4， ∴x＝﹣1或x＝3， ∴C（﹣1，0），D（3，0）； ∵A（1，4），B（0，3）， ∴，，， ∴AB2+BD2＝AD2， ∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°， ∴； （3）S△BDQ的面积有最大值，理由如下： 设直线BD的解析式为y＝kx+3， ∴3k+3＝0，解得k＝﹣1， ∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3， 设Q（t，﹣t2+2t+3），其中0＜t＜3， 过点Q作QG∥y轴交BD于点G， ∴G（t，﹣t+3）， ∴GQ＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $