精品解析：第1-3章综合检测试卷（期中预测）2025—2026学年浙教版九年级数学上册

第1-3章综合检测试卷（期中预测）2025—2026学年浙教版九年级数学上册 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是偶数 B. 抛掷一枚均匀硬币，正面朝下 C. 打开电视机，正在播放“快乐大本营” D. 任意画一个三角形，其内角和是 2. 如图，在圆O中，，为半径，点C为圆O上一点，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 3. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的口袋中装有 个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 附近，则口袋中白球可能有（　　） A. 1 个 B. 1 个 C. 1 个 D. 1 个 5. 杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长），拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为，则此桥拱的半径是（　　） A. B. C. D. 6. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，点C是的中点，过点C作于点F，交于点D，若，，则的半径长是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8. 如图，有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是(　　) A. 10 B. 5 C. 10 D. 20 10. 抛物线的部分图像如图所示，其对称轴为，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11. 请写一个二次函数，满足以下两个条件：（1）函数图象的开口向上；（2）函数图象经过点．该二次函数的表达式为 ______． 12. 一个不透明的口袋中装有若干个红球和30个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则通过计算可以估计出口袋中红球约_______个． 13. 如图，是半圆的直径，且，，则的度数是 ________． 14. 已知二次函数图象如图，该函数在自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是_______． 15. 如图，半径为2，圆心M坐标，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为______． 16. 在综合实践“研究轴对称图形”活动中，小明同学发现一个有趣的现象：过抛物线与坐标轴的三个交点的圆的圆心总落在抛物线的对称轴上．小明想：如果知道抛物线的表达式，那就一定能求出过抛物线与坐标轴三个交点的圆的半径．请计算，若已知抛物线，设该抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，那么经过A，B，C三点的圆的半径长是______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 一个不透明的袋中装有分别标着汉字“杭”、“州”、“亚”、“运”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“杭”的概率是________ （2）从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率． 18. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 19. 如图所示，，为⊙O的直径，、分别交⊙O于E、D，连结、． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽为，长为，面积为． （1）求y与x的函数关系，并写出x的取值范围； （2）当长方形的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？ 21. 如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点． （1）求证：点D为的中点． （2）若，求半径长度． 22. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题 （1）这次被调查的学生共有多少名？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 23. 如图，是的内接三角形，点为上一点，点、点分别在线段的两侧，，． （1）求的半径长； （2）如图1，若，求长； （3）如图2，若，求的度数． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决： 任务1：确定桥拱形状是抛物线： 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上， 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长 任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1-3章综合检测试卷（期中预测）2025—2026学年浙教版九年级数学上册 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件为必然事件是（ ） A. 买一张电影票，座位号是偶数 B. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下 C. 打开电视机，正在播放“快乐大本营” D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件； B、抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下，是随机事件； C、打开电视机，正在播放“快乐大本营”，是随机事件； D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件； 故选D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. 如图，在圆O中，，为半径，点C为圆O上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据定理进行计算即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 3. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式． 【详解】解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键． 4. 在一个不透明的口袋中装有 个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 附近，则口袋中白球可能有（　　） A. 1 个 B. 1 个 C. 1 个 D. 1 个 【答案】D 【解析】 【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可． 【详解】解：设白球个数为：x个， ∵摸到红色球的频率稳定在25%左右， ∴口袋中得到红色球的概率为25%， ∴， 解得：， 经检验x=12是原方程的根， 故白球的个数为12个． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 5. 杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长），拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为，则此桥拱的半径是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．设圆心为，作于点，的延长线交圆弧为点，设半径为，根据垂径定理得，，由勾股定理得：，即可求出答案． 【详解】解：如图，设圆心为，作于点，的延长线交圆弧为点，则为优弧的中点，设半径为， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 故选：B． 6. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函的图象与性质．由二次函数的解析式可得，开口向下，对称轴为，利用二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：二次函数， 则，开口向下，对称轴为， 则函数图像上的点，离对称轴越远函数值越小， 点到对称轴的距离分别为：1、0、， ∵ ∴， 故选：C 7. 如图，为的直径，点C是的中点，过点C作于点F，交于点D，若，，则的半径长是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先根据垂径定理和点C是弧的中点得，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：为的直径，于点F，如图，连接，设的半径为r， ∴，， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径长是5， 故选：C． 8. 如图，有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为，然后根据概率公式求解即可，熟练掌握概率公式为解题的关键． 【详解】解：分别用表示哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁张卡片， 画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为， ∴两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为， 故选：． 9. 如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是(　　) A. 10 B. 5 C. 10 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】连接OA、OB，如图，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=90°，则OA=AB=10，再根据三角形中位线性质得到MN=AC，然后利用AC为直径时，AC的值最大可确定MN的最大值． 【详解】连接OA、OB， ∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴OA=AB=×10=10， ∵点M、N分别是AB、BC的中点， ∴MN=AC， 当AC为直径时，AC的值最大， ∴MN的最大值为10． 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质． 10. 抛物线的部分图像如图所示，其对称轴为，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据图示，对称轴，可以判断的正负关系，并确定，同时根据对称轴可以确定抛物线的最大值为，由此即可求解． 【详解】解：根据图示，对称轴为， ∴，，，且， ∴， 结论①，，故原命题错误； 结论②，当时，二次函数解析式为， ∵对称轴为，与轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在与之间，且与关于对称， ∵抛物线与轴的一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴当时，二次函数解析式为，故原命题正确； 结论③， ∵， ∴，故原命题错误； 结论④， 当时，二次函数解析式为，且，， ∴，即，故原命题正确； 结论⑤， 当时，抛物线有最大值，最大值为， 变形得，，且为任意实数， 当时，，不等式取等号； 当时，，故原命题正确． 综上所述，正确的有②③⑤， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，系数的关系，掌握二次函数图像在平面直角坐标系的位置，从而确定系数间的关系是解题的关键． 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11. 请写一个二次函数，满足以下两个条件：（1）函数图象的开口向上；（2）函数图象经过点．该二次函数的表达式为 ______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查过定点，且开口方向确定的二次函数的表达式的确定的知识，理解二次函数图像性质是本题解题关键． 根据二次函数的性质，进行作答，即可求解； 【详解】解：设， 将代入， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 一个不透明的口袋中装有若干个红球和30个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则通过计算可以估计出口袋中红球约_______个． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解分式方程等知识，由摸到红球的频率稳定在附近得到红球的概率，进而利用概率公式求出红球的个数即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设红球的个数为个， ∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴口袋中得到红球的概率为， ∴， 解得：， 红检验是原方程的解， ∴红球的个数为个， 故答案为：． 13. 如图，是半圆的直径，且，，则的度数是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理求出，根据平角定义求出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象如图，该函数在自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数图象的最值问题解答即可． 【详解】解：由图可知，时， 该二次函数时，有最小值， 时，有最大值3． 故答案为：． 15. 如图，半径为2，圆心M坐标，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案即可．由中得到要使取得最小值，即需取最小值，连接，交于点即可得到答案． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 要使取得最小值，即需取最小值， 连接，交于点，此时取得最小值， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ，    故答案为：． 16. 在综合实践“研究轴对称图形”活动中，小明同学发现一个有趣的现象：过抛物线与坐标轴的三个交点的圆的圆心总落在抛物线的对称轴上．小明想：如果知道抛物线的表达式，那就一定能求出过抛物线与坐标轴三个交点的圆的半径．请计算，若已知抛物线，设该抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，那么经过A，B，C三点的圆的半径长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，抛物线与x轴的交点问题，勾股定理，垂径定理．解方程得到，，，求得，，设经过A，B，C三点的圆的圆心为M，过M作于E，于F，根据垂径定理得到，，，设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则， 解得或， ∴，， ∴， 令，则， ∴， ∴， 设经过A，B，C三点的圆的圆心为M， 过M作于E，于F，则四边形是矩形， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴经过A，B，C三点的圆的半径长是， 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 一个不透明的袋中装有分别标着汉字“杭”、“州”、“亚”、“运”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“杭”的概率是________ （2）从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，从袋中摸出一个球，一共有4种可能，球上的汉字刚好是“杭”的概率就是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，共有12种等可能出现的结果，其中摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的结果有2种， ∴摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率为． 18. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 【答案】（1）4s； （2）小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【解析】 【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值． （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值； 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． 【小问2详解】 解：， 当时，取得最大值m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19. 如图所示，，为⊙O的直径，、分别交⊙O于E、D，连结、． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理， （1）连接，就是等腰三角形底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出，根据圆周角定理即可得出，便可证得． （2）由于，那么就是三角形中边上的高，可用面积的不同表示方法得出．进而求出的长． 解题的关键是用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等． 【小问1详解】 如图，连接，则， 在等腰三角形中，， ∴（等腰三角形三线合一）， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴． 20. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽为，长为，面积为． （1）求y与x的函数关系，并写出x的取值范围； （2）当长方形的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）长方形的长为，宽为，最大面积为 【解析】 【分析】（1）设养鸡场的宽为，则，根据长方形面积公式即可求解； （2）将二次函数一般式化为顶点式，结合x的取值范围，即可求出最值． 【小问1详解】 解：由题意得， ，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∵-3<0，抛物线的对称轴为直线，位于之间， 当时，即时，面积y有最大值为27， 长方形的长为，宽为，最大面积为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，正确得出y与x的函数关系式． 21. 如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点． （1）求证：点D为的中点． （2）若，求的半径长度． 【答案】（1）证明见解析； （2）13． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识点． （1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）根据垂径定理得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点D为的中点； 小问2详解】 解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为13． 22. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题 （1）这次被调查的学生共有多少名？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4） 【解析】 【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数； （2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可； （3）用样本估计总体的思想解决问题； （4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名； （2）喜爱“体育”的人数为（名， 补全图形如下： （3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名； （4）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果， 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 23. 如图，是的内接三角形，点为上一点，点、点分别在线段的两侧，，． （1）求的半径长； （2）如图1，若，求的长； （3）如图2，若，求度数． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先根据勾股定理求出的长度，然后根据的圆周角所对的弦是直径判断出是直径，即可求解； （2）设与相交于点E，根据等面积法求出，然后根据垂径定理求解即可； （3）证明是等边三角形，得出，根据勾股定理的逆定理证明，结合等边对等角和三角形内角和定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解∶∵，，， ∴， ∵， ∴是是直径， ∴的半径为； 【小问2详解】 解：设与相交于点E， ∵，，，， ∴，即， ∴， ∵，是是直径， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决： 任务1：确定桥拱形状是抛物线： 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上， 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长 任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行． 【答案】任务1：图见解析，；任务2：方案一：从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼，最左边一盏挂点的横坐标是；方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为，可共挂8盏灯笼，最左边一盏挂点的横坐标是；任务3： 半径；任务4：船体在圆弧的拱顶正下方可以通过 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，以及垂直于弦的直径平分弦，是解题的关键． 任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，则，设该抛物线的表达式为，把代入求出a的值，即可得出函数表达式； 任务2：根据该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，得出悬挂点的纵坐标，进而得出悬挂点的横坐标取值范围为，根据相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， 即可解答； 任务3：设圆的圆心为点C，相交于点D，得出，则，设该圆的半径为r，则，根据勾股定理列出方程求解即可； 任务4：先求出该货船顶端与圆心距离，根据勾股定理可得：，则，即可解答． 【详解】解：任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，如图所示： 根据题意可得：， 设该抛物线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； 任务2：∵该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标最小为， 把代入得： ， 解得：， ∴悬挂点的横坐标取值范围为； 方案一：从顶点处开始悬挂， ∵相邻两盏灯笼悬挂点水平间距均为，， ∴从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为， ， ∴可以挂（盏）， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 任务3：设圆的圆心为点C，相交于点D， 由题意可得：， ∴， 设该圆的半径为r，则， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：； 任务4：由任务3可知，， 当河段水位涨达到最高时，， ∵货船漏出水面高米， ∴该货船顶端与圆心距离， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴船体在圆弧的拱顶正下方可以通过． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $