精品解析：期末考试冲刺卷2025-2026学年浙教版数学九年级上册

九年级上册数学期末考试冲刺卷浙教版2025—2026学年 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．笞卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数，下列说法正确是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 6. 如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（ ） A. 14cm B. 8cm C. 7cm D. 9cm 7. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 把实心铁球放入水中，铁球会沉入水底 B. 测量三角形的三个内角，其和等于 C. 随机抽取九年级（）班名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量 D. 对九年级（）班的每一名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量 8. 如图，是的直径，点在的延长线上，与相切，切点为点，如果，那么（　　） A. B. C. D. 9. 若把连接一个三角形的三边中点形成的三角形称为该三角形的中位线三角形，则中位线三角形面积与原三角形面积之比为（　　） A. B. C. D. 不确定 10. 如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 12. 已知线段是线段、的比例中项，如果，，则 _______． 13. 某兴趣小组通过实验研究一批绿豆的发芽率，实验结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 90 280 352 554 930 1864 2793 发芽频率 估计这批绿豆中每一粒绿豆发芽的概率是________．（保留小数点后2位） 14. 已知二次函数图象上有两个不同点，则__________． 15. 已知，且，则的值为___． 16. 如图，是的角平分线，过点的圆与相切，与边分别交于点．若，，，则的长为___． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 如图，四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求度数． 18. 现有，，，四张印有四大发明的纪念邮票，邮票除图案外其它均相同．将四张邮票背面朝上，洗匀后，小明从中随机抽取一张，记录图案后不放回，再抽取一张． （1）用列表或画树状图的方法，表示所有可能出现的结果． （2）求小明抽到的两张邮票中有造纸术的概率． 19. 在5×5方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上的三角形）． （1）将图1中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． （2）在图2中画出与相似但相似比不为1的格点． 20. 如图，是的直径，是上一点，连接和，是的中点，连接和，分别交于点和． （1）证明：； （2）若，，求的长． 21. 已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． （1）求二次函数的表达式． （2）判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由． （3）若，请直接写出的取值范围． 22. 近期，动漫形象“奶龙”在网络上爆火．某网店销售一款“奶龙”公仔，每个的进价为20元，在销售过程中调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个．如果调整销售单价，每涨价1元，每周平均少卖出4个．若现提价销售，设销售单价提高元，每周的销售利润为元． （1）求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少时，该网店每周的利润最大？并求出最大利润． 23. 已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1． （1）求的值． （2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，求的值． 24. 如图，内接于，点是上的一个动点． （1）如图1，若半径为，，求的长． （2）如图2，连接，．若，求的度数． （3）如图3，过点作．若，，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求的值． 25. 已知二次函数（是常数，且）． （1）若拋物线经过，求二次函数解析式． （2）在（1）的条件下，抛物线上有一点，向右平移3个单位后仍在该拋物线上，求点的坐标． （3）若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上册数学期末考试冲刺卷浙教版2025—2026学年 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．笞卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、约分等知识点，掌握约分成为解题的关键． 由可得，把代入约分即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 把代入得． 故选C． 2. 投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了可能性的大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可解答． 【详解】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上， ∵每一次投掷硬币都是一个独立事件，其结果不受前面投掷结果的影响， ∴投掷第5次硬币正面朝上、反面向上的可能性相同，即投掷第5次硬币正面朝上的概率是． 故选：A． 3. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题； 求出时y的值即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：C． 4. 已知圆心角为扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式； 根据扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】解：扇形的弧长为， 故选：B． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，且， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意， 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 顶点坐标是，故选项C符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意． 故选：C． 6. 如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（ ） A. 14cm B. 8cm C. 7cm D. 9cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线长定理得到BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，然后利用三角形的周长和BC的长求得AE和AD的长，从而求得△AMN的周长． 【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N， ∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE， ∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm， ∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm）， ∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得AE和AD的长，难度不大． 7. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 把实心铁球放入水中，铁球会沉入水底 B. 测量三角形的三个内角，其和等于 C. 随机抽取九年级（）班名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量 D. 对九年级（）班的每一名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据事件发生的可能性大小进行判断即可，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】、把实心铁球放入水中，铁球会沉入水底是必然事件，此选项不符合题意； 、测量三角形的三个内角，其和等于是不可能事件，此选项不符合题意； 、随机抽取九年级（）班名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量是随机事件，此选项符合题意； 、对九年级（）班的每一名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量是必然事件，此选项不符合题意； 故选：． 8. 如图，是的直径，点在的延长线上，与相切，切点为点，如果，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，连接，由切线的性质推导出，而，所以，于是得到问题的答案．正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 与相切，切点为点， ， ， ， ， ， 故选：A． 9. 若把连接一个三角形的三边中点形成的三角形称为该三角形的中位线三角形，则中位线三角形面积与原三角形面积之比为（　　） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，由三角形的中位线等于第三边的一半，可知三角形的中位线三角形与原三角形相似，且相似比为，则中位线三角形面积与原三角形面积之比为，于是得到问题的答案．推导出三角形的中位线三角形与原三角形相似，且相似比为是解题的关键． 【详解】解：三角形的中位线等于第三边的一半， 三角形的中位线三角形的三边与原三角形的三边成比例， 三角形的中位线三角形与原三角形相似，且相似比为， 中位线三角形面积与原三角形面积之比为， 故选：C． 10. 如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，相似三角形的判定和性质，连接，．首先证明，设，，利用相似三角形的性质求出可得结论．解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接，． 正十边形内接于， ，， ， ， ， ，， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， （负根已经舍去）， ，， ． 故选：D． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积(底面半径，母线长)，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键． 12. 已知线段是线段、的比例中项，如果，，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例中项及比例的基本性质，根据比例中项的定义及比例的基本性质得．解题的关键是掌握：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即或，那么线段叫做线段、的比例中项． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得：或， 又∵为线段的长度， ∴不符合题意，舍去， 即． 故答案为：． 13. 某兴趣小组通过实验研究一批绿豆的发芽率，实验结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 90 280 352 554 930 1864 2793 发芽频率 估计这批绿豆中每一粒绿豆发芽的概率是________．（保留小数点后2位） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键在于理解频率稳定性定理，分析实验数据的变化趋势，并据此做出合理的概率估计；大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；据此判断即可. 【详解】解：根据表中发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，所以可估计这种绿豆发芽的概率大约是． 故答案为：． 14. 已知二次函数图象上有两个不同点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点关于抛物线的对称轴对称，再求解抛物线的对称轴为直线，从而可得答案. 【详解】解：点在二次函数的图象上， ∴点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 故答案为：． 15. 已知，且，则的值为___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件得出再把三式相加得出，然后分两种情况讨论，即可得出k的值． 【详解】解：由已知得， ∴， ∴当时，得， 当时，则 ∴， ∴k的值为1或． 故答案为：1或． 16. 如图，是的角平分线，过点的圆与相切，与边分别交于点．若，，，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，作圆O的直径，连接，证明，同理，连接，，是的角平分线，是的切线，得，证明，对应边成比例得，证明，求出，再证明，求出，进而可得BC． 【详解】解：如图，作圆O的直径，连接， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，， 连接， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）的度数是． 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 18. 现有，，，四张印有四大发明的纪念邮票，邮票除图案外其它均相同．将四张邮票背面朝上，洗匀后，小明从中随机抽取一张，记录图案后不放回，再抽取一张． （1）用列表或画树状图的方法，表示所有可能出现的结果． （2）求小明抽到的两张邮票中有造纸术的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率以及概率公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）直接根据题意列表即可； （2）由表格可得：共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种，再根据概率公式计算即可解答． 【小问1详解】 解：列表如下： 【小问2详解】 解：由表格知，共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种， 小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的概率为： ． 19. 在5×5的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上的三角形）． （1）将图1中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． （2）在图2中画出与相似但相似比不为1的格点． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）结合相似三角形的判定，画的各边长分别为、、即可． 本题考查作图—相似变换、作图—旋转变换，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图1，即为所求； 【小问2详解】 解：如图2，即所求． 20. 如图，是的直径，是上一点，连接和，是的中点，连接和，分别交于点和． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，根据垂径定理得到，即可得到结论； （2），根据勾股定理求出，继而得到，可得到，得出，，计算即可得到答案． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， 是的中点， 垂直平分， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 21. 已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． （1）求二次函数的表达式． （2）判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由． （3）若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）在，理由见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出二次函数的图象与直线交于点，再代入，进行计算，即可作答． （2）先求出二次函数的顶点坐标，再把代入，得，即可作答． （3）结合二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上，即可作答． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． ∴令，则， 解得， 即把代入， 得， 解得； ∴； 【小问2详解】 解：在，理由如下： ∵二次函数， ∴令，则， ∴ ∴对称轴是直线， 把代入， 顶点坐标为， 把代入， 得， ∴二次函数图象的顶点在直线上， 【小问3详解】 解：由（2）得二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上， ∴当时，则． 22. 近期，动漫形象“奶龙”在网络上爆火．某网店销售一款“奶龙”公仔，每个的进价为20元，在销售过程中调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个．如果调整销售单价，每涨价1元，每周平均少卖出4个．若现提价销售，设销售单价提高元，每周的销售利润为元． （1）求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少时，该网店每周的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）当销售单价定为40元时，每周利润最大为1600元 【解析】 【分析】（1）设销售单价提高x元，则每组销售量为个，单个公仔利润为元，根据题意列出式子即可； （2）函数开口向下，存在最大值，根据顶点表示的含义进行计算即可求解． 该题主要考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 【小问1详解】 解：设销售单价提高x元，则每组销售量为个，单个公仔利润为元． ∴每组销售利润． ∵售量不能为负， ∴． 答：； 【小问2详解】 函数，开口方向向下，对称轴为 故时，利润最大，最大利润， 此时销售单价为元． 当销售单价定为40元时，每周利润最大为1600元． 23. 已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1． （1）求的值． （2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，求的值． 【答案】（1） （2）①有最大值为；② 【解析】 【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，结合题意得出，计算即可得解； （2）①由题意可得，，结合，得出，最后由二次函数的性质即可得解；②由题意可得，从而可得，整理可得，解得，，结合时，始终有，即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数，， ∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为， ∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵时，始终有， ∴值不会随的变化而变化， ∴． 24. 如图，内接于，点是上的一个动点． （1）如图1，若的半径为，，求的长． （2）如图2，连接，．若，求的度数． （3）如图3，过点作．若，，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答即可； （2）在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，进而得到为等边三角形，利用等式的性质即可得出结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，利用平行四边形的判定与性质得到，设，则，利用等腰三角形的性质和矩形的判定与性质得到，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理得到，化简，令的系数为0，即可得出结论． 【小问1详解】 连接，，如图， ，， ， 的半径为， ， 在中， ． 【小问2详解】 在上截取，连接，如图， 和所对的弧都是， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 即． 【小问3详解】 过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，如图， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 对于的任意长度，都有的值是一个定值， 的值与无关， ， （不合题意，舍去）或， 对于的任意长度，都有的值是一个定值，的值为． 【点睛】本题主要考查圆的有关性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造全等三角形、相似三角形来求解线段长度、角度以及参数值． 25. 已知二次函数（是常数，且）． （1）若拋物线经过，求二次函数解析式． （2）在（1）的条件下，抛物线上有一点，向右平移3个单位后仍在该拋物线上，求点的坐标． （3）若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或3 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、新定义，分类求解是解题的关键． （1）把代入解析式计算即可求解； （2）设点，则平移后点的坐标为：，将该点的坐标代入即可求解； （3）由抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍得到方程且，即可得到，再根据与的位置关系分情况讨论分别求最小值即可． 【小问1详解】 解：∵拋物线经过， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设点，则平移后点的坐标为：， 将该点的坐标代入得：， 解得：， 则点的坐标为：； 【小问3详解】 解：存在， 理由： 一个点的纵坐标是横坐标的三倍的点所在图形解析式为：， 得方程组，，整理得：， ∵抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍， ∴，即 ∴， 当时，，当时，，当时，， 当，即时，在范围内随的增大而减小，则函数在时取得最小值，即，解得或（舍去）； 当，即时，则函数在顶点时取得最小值，即（舍去）； 当，即时，则函数在时取得最小值，即则或（舍去）； 综上，或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $