空间向量与立体几何：最值与范围问题、翻折问题、轨迹、交线与截面问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何：最值与范围问题、翻折问题、轨迹、交线与截面问题专项训练 空间向量与立体几何：最值与范围问题、翻折问题、轨迹、交线与截面问题专项训练 考点目录 最值与范围问题 翻折问题 轨迹、交线与截面问题 考点一 最值与范围问题 1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）长方体中，，点分别是棱和的中点，点在侧面（包括边界）移动．若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南·期末）在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 4．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 5．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）图①平面四边形中，，，，以BE为轴将折起至，如图②得四棱锥，为中点，为线段上动点. (1)求异面直线所成的角的余弦值 (2)求面积的最小值及对应的值 (3)求点M到EF的距离的取值范围. 6．（24-25高三下·重庆·阶段练习）如图，在平面四边形中，，，将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． (1)设，点在棱上． （i）证明：； （ii）当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． (2)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 7．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．． (1)证明：平面 (2)证明： (3)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值． 8．（25-26高三上·福建福州·开学考试）如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 9．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 10．（25-26高三上·福建莆田·阶段练习）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． (1)若点为线段的中点，证明：//平面； (2)若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 11．（24-25高二下·安徽滁州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，是线段上的动点． (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 12．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)若为等边三角形，求四棱锥的体积； (2)在图②中画出平面与平面的交线，并陈述作图方法的理由； (3)设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 考点二 翻折问题 1．（24-25高二上·福建·阶段练习）在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北承德·期末）在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西景德镇·二模·多选）在矩形中，，，将沿折叠至，则下列选项正确的是（    ） A．直线与平面所成角的最大值为 B．存在点，使得 C．当时，二面角的大小为 D．当平面平面时，三棱锥的外接球被平面所截得到的截面图形的面积为 4．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习·多选）如图，菱形的边长为2，，E为边的中点，将沿折起，折叠后点A的对应点为，使得平面平面，连接，则下列说法正确的是（   ） A．点B到平面的距离为 B．与所成角的余弦值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值为 5．（24-25高二上·浙江台州·开学考试）已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为 ．           6．（23-24高二上·湖北恩施·期末）如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 7．（2025·辽宁·二模）如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为. (1)求证：； (2)求直线CE与平面PEF所成角的正弦值. 8．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）如图①，在边长为4的菱形中，分别是边的中点，，如图②，将菱形沿对角线折起． (1)证明：； (2)当点折叠到使二面角为直二面角时，求点到平面的距离． 9．（24-25高三下·江苏南京·阶段练习）如右图所示，五边形ABCED中，，，连接，将三角形和分别沿折叠，使点A和点E重合，将重合的点记作点P． (1)若，求证：； (2)若面与面的夹角余弦值为，求的长． 10．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 11．（24-25高二下·海南海口·期末）如图1，正方形的边长为2，如图2，将正方形沿着对角线翻折，O为原正方形的中心． (1)证明：平面； (2)翻折至四面体的体积最大时． （ⅰ）求异面直线与所成角的大小； （ⅱ）求与平面所成的角的正弦值． 12．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）如图，三角形中，，，点在线段上，点在线段上，满足，，点、分别为、中点． (1)证明：、、三点共线； (2)现将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，若，，连接，求平面与平面夹角的正弦值． 13．（24-25高二下·广东汕尾·期末）如图1，在平面多边形中，为直角三角形，，，．如图2，现将沿轴向上翻折到图中的处，此时，． (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 14．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 考点三 轨迹、交线与截面问题 1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试·多选）如图，在正方体中，E，F，M分别为棱，BC，的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面EFM截该正方体所得的截面为正三角形 B．平面EFM平面 C．直线ME与所成的角为 D．平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为 2．（24-25高一下·广东汕尾·期末·多选）如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（    ） A．动点F的轨迹是一条线段，线段长度为 B．直线与的夹角的余弦值为 C．三棱锥的体积为定值 D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为 3．（25-26高三上·福建莆田·开学考试·多选）如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ） A． B．三棱锥的体积为 C．若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为 D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 4．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试·多选）如图，在棱长为1的正方体中，底面内（含边界）有一动点，下列说法正确的有（   ） A．若平面平面，则 B．若异面直线与所成角为，则的取值范围是 C．当时，点的轨迹长度为 D．四棱锥外接球的表面积最小值为 5．（24-25高二下·湖南·阶段练习·多选）如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点，是侧面上一动点（含边界），则下列结论正确的是（   ） A．若满足，则点的轨迹为圆的一部分 B．若，则点的轨迹为抛物线的一部分 C．以点为圆心，为半径的球与正四棱柱的侧面的交线长度为 D．以为直径的球面与正四棱柱的侧面的交线长度为 6．（24-25高一下·辽宁大连·期末·多选）已知正方体，，且直线与直线夹角为，则下列说法正确的是（   ） A．若点在棱上，且，则 B．若，且点在面上，则点的轨迹长度为 C．是面上的动点，，则的轨迹图形面积是 D．点为截面上的动点，，则点的轨迹长度是 7．（24-25高二上·江苏无锡·期末·多选）如图，在棱长为2的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（　　） A．过的平面截此正方体所得的截面为四边形 B．当为棱的中点时，过点的平面截该正方体所得的截面的面积为 C．点到直线的距离的最小值为 D．当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为 8．（24-25高一下·安徽合肥·期末·多选）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ）    A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角正弦值为 C．的最小值为 D．若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：最值与范围问题、翻折问题、轨迹、交线与截面问题专项训练 空间向量与立体几何：最值与范围问题、翻折问题、轨迹、交线与截面问题专项训练 考点目录 最值与范围问题 翻折问题 轨迹、交线与截面问题 考点一 最值与范围问题 1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）长方体中，，点分别是棱和的中点，点在侧面（包括边界）移动．若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在长方体中，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设是的中点，所以. 设，， 因为，所以，所以， 设异面直线与所成角为， 因为异面直线成角的范围是， 则， 因为，所以，当且仅当时取等号， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值的最大值为. 故选：A. 2．（24-25高二下·云南·期末）在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正四棱锥的高为，则，解得， 所以. 由已知，，， 设，且，又， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 设直线与直线所成角为， 所以当直线与直线平行或重合时，取得最大值，最大值为. 故选：A. 3．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 【答案】 【详解】直线与平面所成的角为， 则， 当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 4．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长为h， 则， ， 由于点在线段上，设，则， 故， 设点到直线的距离为d，则 ， 当时，取最小值，则d的最小值为， 故答案为： 5．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）图①平面四边形中，，，，以BE为轴将折起至，如图②得四棱锥，为中点，为线段上动点.    (1)求异面直线所成的角的余弦值 (2)求面积的最小值及对应的值 (3)求点M到EF的距离的取值范围. 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理，得， 所以，从而, 所以,即. 连接，因为 所以为正三角形，所以. 又因为,, 所以,即， 又因为平面，， 所以平面， 又因为，所以，即， 所以以点为坐标原点，建系如图，    则, , 设异面直线所成的角为， 则. （2）设, 所以, 所以， 因为为中点，所以,所以, 设点到直线的距离为， 则. 二次函数，， 当时，二次函数有最小值， 最小值为. 此时到直线的距离最小，最小值为， 又因为， 所以此时面积最小，最小值为， 此时，即. （3）由（2）知，， 当时，二次函数有最大值，最大值为， 所以 ， 所以点M到EF的距离的取值范围为. 6．（24-25高三下·重庆·阶段练习）如图，在平面四边形中，，，将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． (1)设，点在棱上． （i）证明：； （ii）当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． (2)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2) 【详解】（1）（i）取的中点，连接，，如图， 因为，，且的中点为， 所以，， 又，，平面，故平面， 由于平面，故． （ii）连接，由（i）知，平面，平面, 则，， 时，最小时，的面积最小． 又，，平面，又平面， 平面平面，过作，垂足为，则平面， 故为直线与平面所成的角，由，且，，又， ，，所以， ，， 在中，由余弦定理得，故,． 故与平面所成的角的正弦值为． （2）以为坐标原点，的方向为轴正反向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，设，则， ，，， 设平面的法向量为， 则，取， 设平面的法向量为，则 ， 取，设平面与平面夹角为，易知， ， 令，则， ， 当，即时，取得最小值， 平面与平面夹角余弦值的最小值为． 7．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．． (1)证明：平面 (2)证明： (3)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，最小值为 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，所以， 因为，，所以， 又，平面，平面， 所以平面． （2） 由（1）知BA，BC，两两垂直．如图所示， 以B为坐标原点，分别以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，，，，．设． 因为，， 所以，所以． （3）设平面DFE的法向量为，因为，， 所以，即．令，则 且平面的法向量为， 设平面与平面DEF的二面角的平面角为， 则． 根据同角三角函数可知，所以当取最大值时，取得最小值, 可知，当时，取最小值为， 此时取最大值为，则， 此时． 8．（25-26高三上·福建福州·开学考试）如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），（ii） 【详解】（1）由于， 故，则， 由于E为AC的中点，所以， 因为平面， 故平面，又平面， 故平面平面. （2）（i）因为， 所以为边长为2的等边三角形，则， ， ， 又平面， 故平面，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 令，则， 平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （ii）设则， 所以， 则， 当且仅当时取到等号，故的最大值为 9．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． （2）（ⅰ）如图，连接． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心． 因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上． 又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心． 因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，， 所以三棱锥的体积． （ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则． 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 令，则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 10．（25-26高三上·福建莆田·阶段练习）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． (1)若点为线段的中点，证明：//平面； (2)若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，连接，.如图： 因为为中点，所以且. 又且， 所以且. 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）取中点，连接，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以且. 由，，，所以四边形为正方形， 所以，. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 在平面内作直线的垂线， 则平面，有，. 以为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图空间直角坐标系. 因为，所以平面， 因为平面，所以. 由，，可得. 由余弦定理，, 所以. 所以，，. 所以，. 设， . 底面的一个法向量为. 设直线与底面所成的角为， 则. 当时，； 当时，. 所以当时，取得最大值. 此时，. 所以到平面的距离为， 又， 所以此时三棱锥的体积为. 11．（24-25高二下·安徽滁州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，是线段上的动点．    (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为底面平面，所以 又平面, 所以平面. 又因为平面，所以. （2）因为底面平面，所以， 如图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， ∵， ∴，，，. 所以，，，，， ∵是线段的中点，∴， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 即，取，则，， 所以为平面的一个法向量. 设平面的法向量为, ，即，取，则，， 所以为平面的一个法向量. 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为.    （3）由（2）知，,， 所以,，，， 若点与重合，则平面即为平面，则为平面的一个法向量. 则， 若点与重合，则平面即为平面,则为平面的一个法向量. 则 若点与点均不重合， 由与共线，设，且. 则. 设平面的法向量为，则， 即， 取，则， 所以，（）是平面的一个法向量. 因为 所以 . 令，则，. ， 因为，所以. 综上，. 12．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)若为等边三角形，求四棱锥的体积； (2)在图②中画出平面与平面的交线，并陈述作图方法的理由； (3)设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2)作图及理由见解析 (3) 【详解】（1）取的中点G，连接， 因为，所以，，. 因为三角形为等边三角形，所以， 所以，故， 因为平面，，所以平面， 因为底面四边形为梯形，所以四边形的面积为， 所以四棱锥的体积为. （2）延长和交于点Q，连接， 则平面与平面的交线为直线.理由如下： 因为，所以直线AM和BC必相交，设交点为Q， 因为平面，平面，所以平面，平面， 因为平面，平面，所以平面与平面的交线为直线. （3）由（1）得，，所以为二面角的平面角， 即， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面，且平面平面. 在平面中，过点D作，则平面， 如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 过P作于点H， 因为平面平面，平面平面，所以平面. 设， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 设平面PAM的法向量为，则， 令，则，     设平面的法向量为， 因为 则， 令，则， 设平面PAM和平面PBC的夹角为， 则 令，则，所以， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最大值，最大值为， 此时有最小值，最小值为， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为. 考点二 翻折问题 1．（24-25高二上·福建·阶段练习）在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，作于，于.    在中，，， 在中，， ， 同理可得，，， 因为， 所以 ， 又因为， 所以. 因为与的夹角即为二面角的大小， 所以二面角的余弦值为. 故选：A. 2．（24-25高二上·河北承德·期末）在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，则，即， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，于是， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 于是，得， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 3．（2025·江西景德镇·二模·多选）在矩形中，，，将沿折叠至，则下列选项正确的是（    ） A．直线与平面所成角的最大值为 B．存在点，使得 C．当时，二面角的大小为 D．当平面平面时，三棱锥的外接球被平面所截得到的截面图形的面积为 【答案】AD 【详解】对于A，设点到平面的距离为,记直线与平面所成角为, 得, 要使直线与平面所成角取得最大,则取最大, 即当平面平面时，取最大,此时, 得，而，得，故A正确； 对于B，若假设存在点，使得， 而，平面， 得平面，平面， 得，而，显然得不到，故假设不成立， 故不存在满足题意的点，B错误； 对于C，作垂直于，垂直于， 如图所示： 则，， ∴， 设二面角的大小为， 则 ， 得，而，得，C错误； 对于D，当平面平面时，， 由余弦定理，， 得， ∴， 设为的中点，易知为三棱锥的外接球球心，半径为1， 由等体积法可知，到平面的距离为， ∴截面面积为，D正确． 故选:AD． 4．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习·多选）如图，菱形的边长为2，，E为边的中点，将沿折起，折叠后点A的对应点为，使得平面平面，连接，则下列说法正确的是（   ） A．点B到平面的距离为 B．与所成角的余弦值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AD 【详解】由题意易知， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则， 取， 设平面的法向量，则， 令，则，所以平面的一个法平面， 点到平面的距离，故A正确； 取，设直线与所成角大小为， ，故B错误； 设直线与平面所成角的大小为， 则，故D正确； 连接，取线段的中点为，过作平面，连接，如下图： 易知点为的外心，可设点为三棱锥的外接球的球心， 由图易得，则球的半径， 所以球的体积，故C错误. 故选：AD. 5．（24-25高二上·浙江台州·开学考试）已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为 ．           【答案】/ 【详解】如图，以A为坐标原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∴ 则， 若是平面的一个法向量， 则 可得， 若是平面的一个法向量， 则可得 由平面平面，得， 即， 解得． 故答案为：. 6．（23-24高二上·湖北恩施·期末）如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 【答案】 【详解】中，根据余弦定理，，根据正弦定理，得，由知，则， 如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点，点的投影在轴上，即，由，根据两点间距离公式， 可得，整理为．                   图1                                图2 如图2，在翻折过程中，作于点，则， 并且平面， 所以平面平面， 所以，即，其中． 又动点在线段上，设，所以，且． 由，得， 又因为，对应的的取值为，即， 由已知斜线与平面所成角是， 所以． 故斜线与平面所成角的正弦值的最大值为． 故答案为：． 7．（2025·辽宁·二模）如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为. (1)求证：； (2)求直线CE与平面PEF所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）图1中，连接，交于点，连接， 为AB中点，， 又，，四边形是菱形， ， 所以在图2中，，又平面，， 平面， 又平面，； （2）以中点为坐标原点，为轴，为轴，过点做垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系． 则， 所以，，， 设平面的法向量， 由，有，， 令，则， 设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为； 8．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）如图①，在边长为4的菱形中，分别是边的中点，，如图②，将菱形沿对角线折起． (1)证明：； (2)当点折叠到使二面角为直二面角时，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，取的中点，连接. 结合折叠后线段长度不变得到， 所以， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又分别是的中点， 所以，所以. （2）因为点折叠到使二面角为直二面角， 所以平面平面， 又因为平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 结合（1）知两两垂直， 故以为坐标原点所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，， 所以， 又， 所以点到平面的距离为. 9．（24-25高三下·江苏南京·阶段练习）如右图所示，五边形ABCED中，，，连接，将三角形和分别沿折叠，使点A和点E重合，将重合的点记作点P． (1)若，求证：； (2)若面与面的夹角余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，知 ， 由，结合余弦定理得， 则，所以， 又因为，即，又由平面， 所以平面，又因为平面，所以， （2） 以B为原点，以平面为平面，建立如图所示得空间直角坐标系， 有，设，， 可得， 由，两式消元可得， 再由， 再由， 设面PBC法向量为， 则， 令，则，，则， 而平面BCD法向量为， 由, 整理得：， 代入可得， 再与联立解得：或， 当时，代入 当时，代入，所以此时不成立，则舍去， 综上可得. 10．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析； 【详解】（1）在图1连接交于点， 在图2中，知、都是等边三角形， 得，，又，平面， 可得平面； 又直线平面， 所以. （2）因为，，则在中，由， 由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，， 如图，以的中点为原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因此， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 即向量， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为， （3）假设在内存在点，使得平面成立，， 设，，， ， 由，得， 解得，不满足题意，所以不存在使得平面成立； 11．（24-25高二下·海南海口·期末）如图1，正方形的边长为2，如图2，将正方形沿着对角线翻折，O为原正方形的中心． (1)证明：平面； (2)翻折至四面体的体积最大时． （ⅰ）求异面直线与所成角的大小； （ⅱ）求与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）证明：在图中，连接，， 因为和都是等腰三角形，且O是正方形中心， 所以，，，，平面， 所以平面． （2）在翻折过程中，四面体的体积取最大值时，D点到平面的距离最大， 此时平面平面， 因为，所以平面． 方法1：（ⅰ）在四面体中，取，的中点，记为E，F，连接，，． 因为为的中位线，所以且， 同理且， 所以或其补角为异面直线与所成角，且，， 由前知，平面，所以． 又，，所以， 所以为等边三角形，， 所以异面直线与所成角的大小为． 方法2：（ⅰ）所以，，两两垂直，如图，以O为坐标原点， ，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 因为正方形的边长为2， 所以，，，， ，， 设异面直线与所成角为，， 因为，所以． （ⅱ）因为，，， 设平面的一个法向量， 因为，即， 令，则，，得， 设与平面所成角为，， 即与平面所成的角的正弦值为． 12．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）如图，三角形中，，，点在线段上，点在线段上，满足，，点、分别为、中点． (1)证明：、、三点共线； (2)现将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，若，，连接，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为点在线段上，满足，为的中点， 所以，， 因为为的中点，所以， 因为点在线段上，，即， 即，故，所以， 所以、、三点共线. （2）因为，，，，故，， 因为为的中点，所以， 将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，则， 因为，、平面，故平面， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，， 由余弦定理可得， 所以，故， 因为，故， 以点为原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、 、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 所以， 故. 因此，平面与平面夹角的正弦值为. 13．（24-25高二下·广东汕尾·期末）如图1，在平面多边形中，为直角三角形，，，．如图2，现将沿轴向上翻折到图中的处，此时，． (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【详解】（1）证明：如图，取的中点N，连接，， 因为且， 所以四边形为菱形，故， 又因为，所以四边形为平行四边形， 故有，所以， 因为，、平面，，故平面， 因为平面，所以． （2）证明：如图，连接交于点O，连接． 因为，且， 所以，所以O为的三等分点， 又因为，所以M为的三等分点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （3）由题意知，，， 因为，平面，与相交，所以平面． 以菱形的对角线交点为坐标原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，由于， 则，，，，， 由知． 设平面的法向量为， ，， 所以，令，则，， 即， 设平面的法向量为， ，， 所以，令，则，， 即， 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 14．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）取中点为，连接，， ，， ，， 又，、平面， 平面，又平面， ． （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，易知，，两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， ， 设直线与平面所成角为，则，又， 直线与平面所成角的余弦值为. （3）以为原点，以为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 为等腰三角形，， ，则，，， 设，则，则，， 故， 或（舍），又， ． 考点三 轨迹、交线与截面问题 1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试·多选）如图，在正方体中，E，F，M分别为棱，BC，的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面EFM截该正方体所得的截面为正三角形 B．平面EFM平面 C．直线ME与所成的角为 D．平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【详解】对于A，分别取，，的中点为，，，连接各中点，如下图所示： 易知，，， 即可知，，，，，在同一平面内， 所以平面EFM截该正方体所得截面即为六边形，即A错误； 对于B，因为点，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点，分别为，的中点，所以， 又，所以，平面，平面， 所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面，即平面EFM平面，故B正确； 对于C，建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示： 不妨取正方体的棱长为2， 则，，，，， 所以，， 所以直线ME与所成的角的余弦值为， 所以直线ME与所成的角为，故C正确； 对于D，由选项C可知，，， 设平面EFM的一个法向量为， 则，取，则，， 所以平面EFM的一个法向量为， 易知平面ABCD的一个法向量为，设平面EFM与平面ABCD的夹角为， 则， 即平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为，故D正确． 故选：BCD 2．（24-25高一下·广东汕尾·期末·多选）如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（    ） A．动点F的轨迹是一条线段，线段长度为 B．直线与的夹角的余弦值为 C．三棱锥的体积为定值 D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A：如图分别取的中点H，G，连接， 由正方体的性质可得，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 且，平面，所以平面， 而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，又，故A正确； 对于B：由正方体的结构特征易知且为等边三角形， 所以直线与的夹角为，即直线与的夹角的为， 所以直线与的夹角的余弦值为，故B错误； 对于C：由A知，点F的轨迹为线段GH， 因为平面，则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上． 因为截面平面，截面平面， 平面平面，所以，同理， 所以截面为平行四边形，则点N为的中点． 因为Q为截面上一点，则线段长度最小值即为到平面的距离， 因为，， 所以， ，设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，解得， 所以线段长度最小值为，故D正确. 故选：ACD. 3．（25-26高三上·福建莆田·开学考试·多选）如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ） A． B．三棱锥的体积为 C．若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为 D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】AD 【详解】对于A，连接，如下图： 由正方体性质可得， 又平面，在平面内，所以， 又，平面，平面， ∴平面， 又平面，∴，故A正确； 对于B，三棱锥的体积，故B错误； 对于C，因为P满足， 则动点的轨迹的长度为以D为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一， 所以P点的轨迹的长度为，故C错误； 对于D，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形，（其中F为的中点），如下图： 易知， 故等腰梯形的周长为，可知D正确. 故选：AD. 4．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试·多选）如图，在棱长为1的正方体中，底面内（含边界）有一动点，下列说法正确的有（   ） A．若平面平面，则 B．若异面直线与所成角为，则的取值范围是 C．当时，点的轨迹长度为 D．四棱锥外接球的表面积最小值为 【答案】ACD 【详解】因平面，平面，则平面， 因平面平面，平面，则，故A正确； 因，则异面直线与所成角与直线与所成角相等， 当点与重合时，此时，故B错误； 因平面，平面，则， 则， 则点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆位于正方形内的部分， 故点的轨迹长度为，故C正确； 因为正方形，故其外接圆圆心为正方形的中心， 故球心必在过点且垂直于底面的线段上， 欲使四棱锥外接球的表面积取得最小值，则要求半径最小， 故当点位于上底面的中心时，半径最小， 设最小半径为，则在中得，得， 此时外接球的表面积为，故D正确. 故选：ACD 5．（24-25高二下·湖南·阶段练习·多选）如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点，是侧面上一动点（含边界），则下列结论正确的是（   ） A．若满足，则点的轨迹为圆的一部分 B．若，则点的轨迹为抛物线的一部分 C．以点为圆心，为半径的球与正四棱柱的侧面的交线长度为 D．以为直径的球面与正四棱柱的侧面的交线长度为 【答案】AD 【详解】对于A,在平面中，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设，则由得， 化简得，由于是左侧面上的动点， 故点M的轨迹是一个圆的一部分，故A正确； 对于B，因为是一个定值，所以也等于一个定值， 所以一定是以为轴的一个圆锥的母线， 这样的圆锥被过顶点的平面所截，所得的是两条母线，故B错误； 对于C，在上取点，满足，连接，通过计算可得， 故以点D为球心，为半径的球与正四棱柱的侧面的交线是圆的一部分， 该圆以C为圆心，为半径，所求的交线是该圆在侧面的部分， 显然该部分少于四分之一个圆，故C错误； 对于D，由正四棱柱的中心对称性可知，以为直径的球的球心O一定是在正四棱柱的中心， 根据，可知，所以可知球心O到上、下两底面各棱的中点的距离都等于该球的半径，又因为球心O到各侧棱的距离是，到各顶点的距离是1， 所以由上面推理易知，以为直径的球与上、下两底面的交线是两个完整的内切圆， 此时一个圆的周长是，而根据该球心O到一个侧面的射影是， 可解得，所在侧面截得的交线如图所示， 由，可得，即， 所以在该侧面内留下的交线长为，故D正确． 故选：AD 6．（24-25高一下·辽宁大连·期末·多选）已知正方体，，且直线与直线夹角为，则下列说法正确的是（   ） A．若点在棱上，且，则 B．若，且点在面上，则点的轨迹长度为 C．是面上的动点，，则的轨迹图形面积是 D．点为截面上的动点，，则点的轨迹长度是 【答案】BCD 【详解】对于A，如图，点在上，则，所以， 解得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以直线与夹角为， 所以射线的轨迹是以为轴，轴截面等腰三角形顶角为的圆锥侧面， 当点在底面内时，， 点的轨迹是以为圆心，所含圆心角为的圆弧，轨迹长度为，故B正确； 对于C，如图，连接， 由平面，平面，则，又， ，平面，故平面， 平面，所以， 同理，可得，而，平面， 所以平面，因为，所以平面，又是正方体面上的动点， 所以点的轨迹图形是，易知是正三角形，边长为， 所以点的轨迹图形的面积为，故C正确； 对于D，由C可知，平面，又点为截面上的动点，平面平面， 所以点的轨迹是线段，长度为，故D正确. 故选：BCD. 7．（24-25高二上·江苏无锡·期末·多选）如图，在棱长为2的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（　　） A．过的平面截此正方体所得的截面为四边形 B．当为棱的中点时，过点的平面截该正方体所得的截面的面积为 C．点到直线的距离的最小值为 D．当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【详解】选项A，如图1所示，连接，在上任取一点，连接， 过在侧面作，与的交点为，连接，得四点共面， 在上都有类似结果，在其它棱上时，截面都是正方体的对角面， 所以过的平面截此正方体所得的截面为四边形，所以A正确； 选项B，如图2所示，取中点，根据分别为中点，易得，所以四点共面，该截面为四边形且为等腰梯形， 又， 所以等腰梯形的高， 所以截面的面积为，所以B错误； 选项C，如图3所示，建立空间直角坐标系，可得，所以. 设点，所以， 则点到直线的距离， 所以时，距离最小，最小为，所以C正确； 选项D，如图4所示，取的中点，连接，易得平面且， 又平面，所以， 所以， 则点在侧面内的运动轨迹为以点为圆心，以2为半径的劣弧，其圆心角为， 所以点的轨迹长度为，所以D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高一下·安徽合肥·期末·多选）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ）    A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角正弦值为 C．的最小值为 D．若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【详解】对于A：先证平面平面，由正方体性质可知，且， 且，所以四边形和均为平行四边形， 所以，，因为平面， 在平面外，所以平面，平面， 又平面，，所以平面平面， 又为的中点，为线段上动点（包括端点）， 所以直线与平面相交，从而直线与平面相交，故A错误； 对于B：连接，则，由平面，平面， 得，又，，平面， 则平面，过作交于，连接， 于是平面，是直线与平面所成的角，，，所以，故B正确；    对于C，把三角形与三角形置于同一平面内，连接， 则的最小值为， 在中，，， ， 由余弦定理得，C正确；    对于D，由正方体的性质知平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得，平面，故平面； 如图，    取棱的中点分别为， 连接，可得六边形为正六边形， 而，平面，平面，故平面， 同理可证平面，，，平面， 故平面平面，所以平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为正六边形，边长为， 其周长为，所以点的轨迹为正六边形，则点的轨迹长度为，D正确． 故选：BCD 2 学科网（北京）股份有限公司 $