空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角求其他量专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角求其他量专项训练 空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角求其他量专项训练 考点目录 已知线线角求其他量 已知线面角求其他量 已知二面角求其他量 考点一 已知线线角求其他量 1．（24-25高二上·北京·期中）在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（   ） A．0 B．3 C．4 D．6 2．（24-25高二上·广东广州·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则 . 4．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为 ． 5．（2024·天津·二模）如图，平面，，，，，为的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长． 6．（23-24高二上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求二面角的正弦值； (2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离. 7．（24-25高二下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是矩形，，，，分别是线段，上的动点 (1)是否存在点，使得平面？若存在，试求；若不存在，请说明理由； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，试求二面角的平面角的余弦值. 8．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，其中，，，平面平面. (1)证明：平面平面； (2)若，且异面直线与所成角为45°，求平面与平面所成二面角的平面角大小. 9．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，已知底面，为的中点，点在棱上，且为线段上的动点. (1)证明：； (2)若直线与所成角的余弦值为，求二面角的正弦值. 10．（24-25高三上·山东青岛·期末）如图， 是以 为直径的圆上一点，，等腰梯形 的顶点C,D在底面的射影落到圆周上，且 ，异面直线 和 所成的角的正切值为 ． (1)求 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值． 11．（2025·重庆·一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为． (1)证明：点为棱的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 12．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 考点二 已知线面角求其他量 1．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则 .    4．（24-25高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ． 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知正方体的棱长为1，点M，N分别在线段上运动，若与底面所成角为，则线段长度的最小值为 ． 6．（24-25高二上·陕西榆林·期末）如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 7．（2025·山西·模拟预测）如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且． (1)证明：与相交且交点在直线上． (2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值． 8．（2025·山东日照·二模）如图，在三棱柱中，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 9．（24-25高二下·海南·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 10．（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 11．（24-25高二下·河南洛阳·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上. (1)求证：； (2)是否存在点Q，使DC与平面DEQ所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 12．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，四棱锥的底面为梯形，，为直角三角形，. (1)设平面平面，证明：； (2)已知在同一个球面上，且球心在平面上. （i）证明：平面平面； （ii）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长. 13．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中． (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 14．（24-25高二上·上海静安·期中）如图1所示的是等腰梯形，，，，DE⊥AB于E点，现将沿直线DE折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示． (1)若，求证：PE⊥平面； (2)在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积； (3)若直线PE与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 考点三 已知二面角求其他量 1．（2024·广东佛山·二模·多选）四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习·多选）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，平面，，点在棱EC上，且，平面MBD与平面ABCD的夹角为，则下列说法正确的是（   ） A．平面平面EFC B． C．点到平面BCF的距离为 D．多面体ABCDEF的体积为 3．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，将两个相同的四棱锥与对称摆放组成一个多面体，已知平面，四边形是边长为2的正方形，若平面与平面的夹角为，则该多面体的体积为 . 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ．    5．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 6．（25-26高二上·山西临汾·开学考试）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 7．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱中点． (1)求证：平面； (2)若为中点，，试确定的值，使二面角的余弦值为. 8．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． (1)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值 (2)当二面角的余弦值为时，求． 9．（25-26高三上·福建漳州·开学考试）在三棱柱中，四边形与都是棱长为1的正方形，，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且. (1)求证：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求BF的长. 10．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面. (1)证明：三棱柱为正三棱柱； (2)若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 11．（25-26高三上·河北·开学考试）如图，在三棱锥中，，，，且平面平面. (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为，若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由. 12．（25-26高三上·湖北·阶段练习）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为的中点，为的中点，且平面底面.设. (1)求证：底面； (2)设为的重心，.求证：是三棱锥外接球的球心； (3)若平面与平面所成夹角的正弦值的平方等于，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角求其他量专项训练 空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角求其他量专项训练 考点目录 已知线线角求其他量 已知线面角求其他量 已知二面角求其他量 考点一 已知线线角求其他量 1．（24-25高二上·北京·期中）在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（   ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】在正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，设， ，，于是， 整理得，显然点不能在坐标轴上，否则， 当时，， 而，无解，即点不能在棱上； 当时，， 若，则；若，则无解；若，则， 于是点不能在棱上，可以在棱上； 当时，， 若，则无解；若，则，于是点不能在棱上，可以在棱上， 所以可以在棱上，点P的个数为3. 故选：B 2．（24-25高二上·广东广州·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，又，， 所以，， 根据向量点积公式，， ，， 已知直线与直线所成角的余弦值为， 则， 两边平方可得， 所以， 所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以点的坐标为. 故选：D 3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则 . 【答案】 【详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 设，则由题意：，，， 则，， 又，所以， 解得，即. 故答案为：.    4．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为 ． 【答案】 【详解】设正三棱柱的高为h，以A为坐标原点，在底面内过点A作的垂线为x轴， 以所在直线为轴，建立空间直角标系， 则， 则， 因为异面直线与所成角的余弦值为， 故， 由于，即，解得， 故该正三棱柱的体积为， 故答案为： 5．（2024·天津·二模）如图，平面，，，，，为的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：因为平面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由已知可得，，，，， 因为为的中点，所以， 所以，， 所以， 所以， 所以. （2），， 设平面的法向量，则 ，即，令得， 所以． 平面的法向量， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）设且（）， ，则，，， 所以，所以，， 所以， 化简得， 解得或（舍）， 因为，所以． 6．（23-24高二上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求二面角的正弦值； (2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 所以， 则. 设平面的法向量， 则，取得， 设平面的法向量， 则，取得， 设二面角的大小为，则 ， 所以. （2）设，则 . 因为异面直线与所成角的大小为， 所以，解得或（舍去）. 此时， 所以点到平面的距离. 7．（24-25高二下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是矩形，，，，分别是线段，上的动点 (1)是否存在点，使得平面？若存在，试求；若不存在，请说明理由； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，试求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)存在， (2) 【详解】（1）存在，，证明如下： 如题图，取的中点为， 由于侧面底面，且两平面交线为平面，, 所以平面，平面，所以， 由于三角形是正三角形，且是的中点，所以, 平面，故平面，得证. （2）以为坐标原点，以为正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 设则，故, 由于直线与直线所成角的余弦值为， 所以，而 所以，从而，, 平面的法向量为， 设平面的法向量为，则，取，则， 所以， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为 8．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，其中，，，平面平面.    (1)证明：平面平面； (2)若，且异面直线与所成角为45°，求平面与平面所成二面角的平面角大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)60° 【详解】（1）因为，，， 所以，，， 在中，，由余弦定理可知， 故，由勾股定理逆定理得. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为，所以是异面直线与所成角，即， 所以，所以. 以点A为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 所以，， 设平面的法向量为， 由， 令，则，，得， 由题意得为平面的一个法向量， 所以，则， 由图形可知，平面与平面所成二面角的平面角为锐角， 故平面与平面所成二面角的平面角大小为60°. 9．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，已知底面，为的中点，点在棱上，且为线段上的动点.    (1)证明：； (2)若直线与所成角的余弦值为，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：在三棱柱中，底面， 所以三棱柱是直三棱柱，则， 因为，所以， 又因为，为的中点， 所以，又，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 易知，则， 因为， 所以，则， 即，又，平面， 所以平面， 所以； （2）由（1）取的中点，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：    则，，， 设， 所以， 因为直线与所成角的余弦值为， 所以，解得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 易知是平面的一个法向量， 则， 所以二面角的正弦值为． 10．（24-25高三上·山东青岛·期末）如图， 是以 为直径的圆上一点，，等腰梯形 的顶点C,D在底面的射影落到圆周上，且 ，异面直线 和 所成的角的正切值为 ． (1)求 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】(1)2 (2)． 【详解】（1）取弧中点，以为原点 ，以分别为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设分别是在底面上的射影，它们落在圆周上， 因为，平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，从而， 又，，所以， 是圆的直径，则等腰梯形中都是等边三角形， 所以到直线的距离为， ，则，是等边三角形， 设，则， ， 记异面直线和所成的角为，则，从而（由直角三角形三角函数定义得）， 所以，解得（负值舍去）， 所以到平面的距离为， 又， 所以； （2）由（1）得，， ， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 设平面 的一个法向量是， 则，取，得， ， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为． 11．（2025·重庆·一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为． (1)证明：点为棱的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系． 不妨设，则． 设，则， 可得， 由题意可得， 整理可得，解得， 所以点为棱的中点． （2）由（1）可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得． 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 12．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）取中点为，连接，， ，， ，， 又，、平面， 平面，又平面， ． （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，易知，，两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， ， 设直线与平面所成角为，则，又， 直线与平面所成角的余弦值为. （3）以为原点，以为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 为等腰三角形，， ，则，，， 设，则，则，， 故， 或（舍），又， ． 考点二 已知线面角求其他量 1．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为， 所以，整理得，又z＝2，所以. 故选:A. 2．（24-25高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 3．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则 .    【答案】/ 【详解】过点作，交于点，由，为中点，得， 又，且，平面，则平面， 而平面，有，又是矩形，则两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：    由，，为中点，得，为的中点， 则点，，，，， ，,，， 令，， 设平面法向量为，则，令，得， 由与平面所成角的正弦值为，得， 解得，所以. 故答案为： 4．（24-25高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ． 【答案】 【详解】连接，因为：，，，在中，由余弦定理得： ， 即有：，所以：， 以点为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以：，，，， 因为：，且，， 设平面的一个法向量为：， 则：，令：，得：， 所以得：，解得：. 故答案为：. 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知正方体的棱长为1，点M，N分别在线段上运动，若与底面所成角为，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，     ， 由题意可设，， 其中， 所以， 显然为平面的法向量， 所以， 显然（否则矛盾）， 从而， 注意到， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·陕西榆林·期末）如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ， 设为平面的一个法向量， 可得，即，令，则， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，或舍去， 所以，. 故答案为：. 7．（2025·山西·模拟预测）如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且． (1)证明：与相交且交点在直线上． (2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）连接，因为，所以，， 所以， 因为分别是棱上异于端点的点， 所以，故四边形为梯形，故与相交， 记， 因为平面平面，平面平面， 所以，即与的交点在直线上． （2）因为是正方体，所以以为原点，，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 所以， 设为平面的法向量， 由，可得， 令，得，则， 因为，设直线与平面所成的角为， 所以，又， 解得，故当直线与平面所成角的正弦值为时，． 8．（2025·山东日照·二模）如图，在三棱柱中，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在中，，，则， 所以，则， 由，都在面内，则面， 又面，所以面面； （2）由（1）及，即两两垂直， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图示， 设，由（1），则， 所以， 若是面的一个法向量，则，取，则， 设直线与面所成角为，则， 所以，则， 在中，则， 若是面的一个法向量，则，取，则， 设面与面所成角为，则. 9．（24-25高二下·海南·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【详解】（1）连接，交于点，连接， 因为底面为矩形，所以点是的中点， 又点是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）因为底面为矩形，底面， 所以以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又， 设， 则， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 又， 当时，，当时，，则的长为或. 10．（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【详解】（1）翻折前，是边长为的等边三角形， 因为，，． 由余弦定理得． 因为，所以，折叠后有． 在四棱锥中，连接，如下图所示： 在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. （2）翻折前，翻折后，则有，又平面， 以为原点，以点、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 过作交于点， 设，则，，， 易知，，，所以. 因为平面，所以平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得. 所以，满足，符合题意. 所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时. 11．（24-25高二下·河南洛阳·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上.    (1)求证：； (2)是否存在点Q，使DC与平面DEQ所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或. 【详解】（1）证明：取AD中点O，连接OP，OB. ∵，∴， 在菱形ABCD中，，可得为等边三角形， ∴，又∵PO，平面PBO，且， ∴平面PBO，∵平面PBO，∴.    （2）解：∵，平面平面ABCD，平面平面， 且平面PAD，∴平面ABCD， 以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 假设存在点Q满足题意，设，， 则， ∴，，，， 设平面DEQ的法向量为， 则 令，则，，∴. 设DC与平面DEQ所成角为，则，解得或. ∴存在点Q，使得DC与平面DEQ所成角的正弦值为，此时或. 12．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，四棱锥的底面为梯形，，为直角三角形，.    (1)设平面平面，证明：； (2)已知在同一个球面上，且球心在平面上. （i）证明：平面平面； （ii）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）在四棱锥中，，平面，平面， 因此平面，而平面平面，平面， 所以. （2）（i）取中点，连接，由，得四边形为平行四边形， 则，，是外接圆圆心， 又四边形是等腰梯形，则点在外接圆上，即点与点重合， 取中点，连接，由为直角三角形，，得为外接圆圆心， 而是四棱锥外接球球心，于是平面，又平面， 所以平面平面.    （ii）由（i）得，，，， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设，则， 由与平面所成角的正弦值为，得， 整理得，而，解得，则， 所以的长为. 13．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中．    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【详解】（1）如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接， 依题意，，则，由，得， 而，是梯形的中位线，于是， 而平面，则平面， 而平面，于是，又平面，且和相交， 因此平面，而平面，所以平面平面；    （2）依题意，，则，即， 由（1）知平面，平面，则， 由，平面，可得平面， 过作平面，以为原点，构建如下图空间直角坐标系，    则，， 令，，则， 由平面，则平面的一个法向量为， 由题设， 所以，可得（负值舍），所以时满足题设. 14．（24-25高二上·上海静安·期中）如图1所示的是等腰梯形，，，，DE⊥AB于E点，现将沿直线DE折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示． (1)若，求证：PE⊥平面； (2)在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积； (3)若直线PE与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)表面积为，体积为； (3) 【详解】（1）证明：如图所示，连接CE， 因为等腰梯形ABCD，AB∥DC，AB＝2DC＝4，，DE⊥AB， 可得，，且， 即PE＝1，因为，则， 所以PE⊥EC，又因为PE⊥ED，且，CE，DE⊂平面EBCD， 所以PE⊥平面； （2）由题意知，为直角三角形，设外接圆半径为r，则r， 设四面体P﹣ECD的外接球半径为R，则， 所以四面体P﹣ECD的外接球表面积为； 四面体P﹣ECD的外接球体积为． （3）以E为原点，以，ED所在的直线分别为x，y轴，以过点E垂直于平面EBCD的数轴为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为DE⊥EB，DE⊥PE，且，平面， 所以DE⊥平面， 又因为平面，所以平面⊥平面， 过点P作PF⊥BE于点F，因为平面PEB∩平面＝BE，所以PF⊥平面， 所以为PE与平面所成的角，所以， 可得，，，则，， 设平面PBC的法向量为，则, 取，可得，所以, 又由z轴垂直平面，可得面的一个法向量为， 则 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 考点三 已知二面角求其他量 1．（2024·广东佛山·二模·多选）四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】在四面体中，，，则是二面角的平面角，如图， ，而，，， ， 因为平面与平面的夹角为，则当时，， 当时，， 所以的值可能为，. 故选：AD 2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习·多选）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，平面，，点在棱EC上，且，平面MBD与平面ABCD的夹角为，则下列说法正确的是（   ） A．平面平面EFC B． C．点到平面BCF的距离为 D．多面体ABCDEF的体积为 【答案】ABC 【详解】对于A选项，取EC的中点，连接BD交AC于，连接， 因为四边形ABCD是菱形，所以⊥，且是AC的中点， 所以且，又， 所以且， 所以四边形BNGF是平行四边形，所以， 又平面平面ABCD，所以， 又因为平面EAC，所以⊥平面EAC， 所以平面EAC，又平面EFC， 所以平面平面EAC，故A正确； 对于B，取CD的中点，由四边形ABCD是菱形，，则， 所以是正三角形，所以，所以，又平面ABCD， 平面，故，，故两两垂直， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， ，所以， 所以， ， 当时，重合， 此时平面MBD与平面ABCD的夹角为，不合题意，舍去; 当时，设平面DBM的一个法向量，， 两式相减得：，令，得， 故，平面ABCD的法向量可取， 所以， 解得，故B正确； 对于C，结合B，所以，则， ， 设平面BCF的一个法向量，则， 解得:，取，得，故， 所以点到平面BCF的距离， 故C正确； 对于，平面， 故， 梯形ABFE的面积为， 由B选项知，点到平面的距离为， 故， 故多面体ABCDEF的体积，故D错误. 故选：ABC. 3．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，将两个相同的四棱锥与对称摆放组成一个多面体，已知平面，四边形是边长为2的正方形，若平面与平面的夹角为，则该多面体的体积为 . 【答案】 【详解】∵平面，平面，∴，， 又，，平面，∴平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则, ， 设平面的法向量为， 由，令，则，， 设平面的法向量为， 由，令，则，， 若平面与平面的夹角为， 则，解得， 所以该多面体的体积为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ．    【答案】 【详解】因为底面，，底面，所以，， 又为直角，所以两两垂直． 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则 令，得．易知，平面的一个法向量为． 由题意，二面角的平面角为60°，则，解得． 故答案为：.    5．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点是线段的中点 【详解】（1）取线段的中点，连接，    在中，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， ， 在中，， ， 因为，，，平面， 所以平面； （2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，   ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为，， 则， 设平面的法向量为， ， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或9（舍去）， 所以点是线段的中点． 6．（25-26高二上·山西临汾·开学考试）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）由于平面平面，平面平面， 又且平面，平面. 平面，. （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，可得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，得， 由且得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线、、两两垂直， 以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 则，，， 令，， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是， 化简得，又，故解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 7．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱中点． (1)求证：平面； (2)若为中点，，试确定的值，使二面角的余弦值为. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）底面，底面，， 又底面为正方形，， 又，平面，平面， 平面，又平面，， 由，为中点，， 又，平面，平面，平面． （2）以为原点，以为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 令， 则，，，，，， ，，，则， ，则， 设平面的法向量， 则，故可取， 设平面的法向量， 则故可取， 所以， 解得． 8．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． (1)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值 (2)当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，，所以，所以， 因为，，所以，则． 可知，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，， 当点为棱的中点时，，，， 设平面的一个法向量， 则即， 即令，解得，，故， 设直线与平面所成角为，则,， 故直线与平面所成角的正弦值为． （2）由（1）可知，， 设，则， 设平面的一个法向量， 则即， 令解得，，故， 设平面的一个法向量为， 由得 令，解得，，故， 所以， 即，整理，得， 解得或舍去． 故． 9．（25-26高三上·福建漳州·开学考试）在三棱柱中，四边形与都是棱长为1的正方形，，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且. (1)求证：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求BF的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为与都是棱长为的正方形， 所以，，又，所以，，两两垂直， 故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，，，， 所以，， 所以，故，则. （2）方法一：由（1）知，，所以， 设是平面的一个法向量， 所以即 即 令，得 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 因为平面与平面的夹角的余弦值， 所以， 解得，故. 方法二： 由（1）知，，所以，，， 所以，即， 又，，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 因为平面与平面的夹角的余弦值， 所以， 解得，故. 10．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面. (1)证明：三棱柱为正三棱柱； (2)若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：作于，因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面，即侧棱垂直于底面， 因为底面是正三角形，所以三棱柱为正三棱柱. （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则； ， 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 因为平面与平面夹角的余弦值为，所以， 解得，即. ，设点到平面的距离为，则. 11．（25-26高三上·河北·开学考试）如图，在三棱锥中，，，，且平面平面. (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为，若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接， ∵，∴， 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面. （2）解法一：存在，. 证明：假设存在点满足要求，过作，交于点， 过作于G，连接， ∵平面，平面，∴， 又，平面，∴平面， 又平面，∴. 又，平面，∴平面， 又平面，∴. 所以是二面角的平面角. 设，∴，，， ∴， 解得， ∴，∴. 解法二：存在，. 取的中点O，连接， ∵平面，平面，∴， ∵，∴， ，∴平面， 以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，以所在直线为轴， 以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，，， ，， 显然平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则 令，则，， ∴平面的一个法向量为， ∴， 设二面角的平面角为， 则， 解得， ∴，∴. 12．（25-26高三上·湖北·阶段练习）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为的中点，为的中点，且平面底面.设. (1)求证：底面； (2)设为的重心，.求证：是三棱锥外接球的球心； (3)若平面与平面所成夹角的正弦值的平方等于，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【详解】（1）因为平面底面，平面底面，且平面， 所以底面. （2）因为为的中点，为的中点，且为的重心，由题意可得 ，从而. 又，如图1所示， ∴. 即， 故. 因此，是三棱锥外接球的球心. （3）以为坐标原点，所在方向为轴，过且垂直于底面的方向为轴，建立如图2所示的空间直角坐标系. 则. 设，则. 于是. 设平面和平面的法向量分别为， 则. 令，得； 令，得. 设平面与平面所成的夹角为，则由题意可得 . 所以， . 整理得，即， 解得或. 当时，，得； 当时，，得. 综上，或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $