空间向量与立体几何：空间向量法证明位置关系、角度问题、距离问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何：空间向量法证明位置关系、角度问题、距离问题专项训练 空间向量与立体几何：空间向量法证明位置关系、角度问题、距离问题专项训练 考点目录 空间向量法证明空间关系 空间向量法求解空间角度 空间向量法求解空间距离 考点一 空间向量法证明位置关系 1．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 【答案】B 【详解】因为，所以， 则存在唯一实数，使得， 即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 2．（2025·甘肃白银·二模）已知两个不同的平面，一条直线，下列命题是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】设平面的法向量分别为，直线的方向向量为， 对于A：若，则或，错误； 对于B：若，则，所以，所以，正确； 对于C：由，可得，所以，所以，正确； 对于D：由，可得：，，所以，所以，正确， 故选：A 3．（2025·四川眉山·三模）设是两个平面，是两条直线，则下列命题不正确的是（    ） A．，，则 B．，直线，，则 C．，则 D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 【答案】D 【详解】设平面的法向量分别为，直线的方向向量为， 对于A：由，，可得：， 所以，所以，正确； 对于B：，可得， 由，可得， 所以，又，所以，正确； 对于C：由 可得：，且，且不共线， 所以，所以，正确； 对于D：不知和平面的位置关系，显然无法判断，错误； 故选：D 4．（24-25高二下·上海宝山·期中）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【详解】当时，直线或直线在平面上，故充分性不成立， 当时，则必有，必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 5．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知正方体，点分别在上，，下列说法错误的是（    ） A．直线与所成的角为 B． C．四点共面 D．平面 【答案】C 【详解】对于A：由正方体性质可知：为直线与所成的角， ，故直线与所成的角为，故A正确； 对于B：如图，设正方体的棱长为1， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因,则，则， 所以，而， 因为，所以，即，故B正确； 对于C：当时，点即点，点即点，此时满足，显然与为异面直线，故与为异面直线，即四点不共面，故C错误； 对于D：由正方体的性质知平面，所以为平面的一个法向量． 由选项B的证明可知：，又平面，所以平面，故D正确. 故选：C 6．（25-26高三上·浙江·阶段练习·多选）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（   ） A．平面 B．平面 C．点到平面的距离为 D．与平面所成的角为 【答案】ABC 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对于A，，则，即.    又平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，由，得，由， 得，，平面，则平面，B正确； 对于C，是平面的一个法向量，则点D到平面的距离，C正确， 对于D，与平面所成角的正弦值为，D错误. 故选：ABC 7．（24-25高二上·山西运城·期中·多选）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）. A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【答案】ABC 【详解】对于A：因为，所以，A选项正确； 对于B：，所以，B选项正确； 对于C：因为，，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，C选项正确； 对于D：因为，所以，D选项错误； 故选：ABC. 8．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为 . 【答案】/2.5 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 9．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】由可得，即，解得. 故答案为： 10．（24-25高二上·广东江门·期中）设直线的方向向量，平面的法向量，若，则 【答案】 【详解】因为直线的方向向量，平面的法向量，， 所以，所以，解得. 故答案为：. 11．（2025·云南曲靖·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； (3)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1） （2）由题意，以原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 所以 ，                   所以，      设平面的法向量，则， 令，则，                       故，且平面，则平面； （3）由（2）得，若直线与平面所成角为，        所以． 12．（24-25高二下·江苏南通·期末）如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【详解】（1） 在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以．                     因为是正三角形，D是中点，所以．                     又，，平面，所以平面． （2）解法一： 在中过点D作，垂足为F． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以．             由（1）知，且，平面， 所以平面，又平面，所以．             设，则，，，， 由勾股定理得，即，解得或， 所以或2．                 解法二： 在正三棱柱中，取中点，连结， 则，，两两垂直，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，．             设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，得．                 设平面的一个法向量， 因为，， 由即 解得，， 取，则，， 得． 因为平面平面， 所以，解得或， 所以或2． 13．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【答案】(1)当点的坐标为时，平面. (2)证明见解析 【详解】（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，，， 设，. 因为，，，又，不共线， 所以当时，平面. 所以，解得，， 所以当点的坐标为时，平面. （2）设平面的法向量为，则， 因为，，所以， 令，则，，所以平面的一个法向量. 若平面平面，则也是平面的一个法向量. 因为，， 所以，即，得， 此时， 所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直. 所以棱上不存在点，使平面平面. 14．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，与平面所成角为，是的中点，点且． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接，交于点，再连接． 因为底面是正方形，所以点是的中点． 又是的中点，所以． 而平面且平面． 因此平面． （2）由底面，底面是正方形且与平面所成角为，又，可知是等腰直角三角形，即． 现以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 设，则，，，， 且．． ． ，． 同理．则. 又,平面,平面； （3）由（2）的结论平面，可知且，结合图形特点可知是平面与平面的夹角，亦可记为． 在等腰直角三角形中，为中点，所以． 又，即且． 于是，且． 又． 所以，即与平面的夹角大小为． 15．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为线段的中点 【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 16．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面底面是的中点． (1)证明：． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点为，连接，， 因为是等边三角形，所以， 因为侧面底面，侧面底面， 所以底面，因为底面， 所以，，所以，，两两垂直， 则分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 不妨设， 则，，，，，， ，， 因为，所以，所以； （2）在平面中，，， 设为平面的一个法向量， 则， 令，则为平面的一个法向量． 又平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 考点二 空间向量法求解空间角度 1．（25-26高三上·福建福州·开学考试）在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设三棱柱的棱长为1，以B为原点， 以过B作的垂线为x轴，以为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则，所以， 易知平面的一个法向量可取为， 设直线与平面所成角为，， 则. 故选：A 2．（24-25高二下·浙江宁波·期末）如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的最小值为 B．异面直线与所成角的最大值为 C．对于任意给定的，存在点，使得 D．对于任意给定的，存在点，使得 【答案】D 【详解】以为坐标原点，建系如图，设正方体的边长为1，则， 设，，则， 设异面直线与所成的角为， 则， 因，由于，则时，， 又，，于是，则， 又，结合余弦函数的单调性可知，，故AB错误； 对于C.设，，则， 由上述分析，，， 当时，无解，故C错误； 对于D.，令，得， 即对于任意的M，存在点P使得，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知两两垂直，且． 因此，如图所示正方体内的三棱锥即为满足题意的鳖臑， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2，    则，，，，，则，，． 设平面的法向量为， 则即 故可取．设直线与平面所成角为， 则，故， 故选：D． 4．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，，则    ，， ， ， 所以  ， 故直线与所成的角余弦值为0. 故选： D. 5．（24-25高二下·江苏南京·期中·多选）如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（    ） A．直线直线 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【详解】A：连接，由正方体的结构特征得， 平面，平面，则， 而都在平面内，则平面， 而平面，则直线直线，正确； B：由题设，易知四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 到平面的距离为定值，又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值，正确； C：，则异面直线与所成角为直线与直线的夹角． 易知为等边三角形，当为的中点时； 当与点或重合时，直线与直线的夹角为． 故异面直线与所成角的取值范围是，错误； D：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以，，又平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 平面，则，同理，都在平面内， 所以平面，则是平面的一个法向量， 直线与平面所成角的正弦值为， 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，正确． 故选：ABD 6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习·多选）已知正方体的棱长为1，动点满足，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则平面 B．若，则与所成角的取值范围为 C．若，则二面角的平面角为 D．若，则三棱锥的体积为2 【答案】AC 【详解】解：  以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，可得，，，则，即． A选项：若，，即，则，，， 因为，，所以，，因为，所以平面．所以A选项正确. B选项：若，即，则，， 设与所成角为，，则 因为，所 以, 所以， 当且仅当时，右边不等式等号成立，令，，则，可得. 当且仅当时，左边不等式等号成立，令，，则，可得. 综上所述，，所以.所以B选项错误. C选项：当时，，则，设平面的法向量，则即取，可得，则． 易得平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则，因为可判断是锐角，所以二面角的平面角为．所以C选项正确. D选项:设平面的法向量为，由，， 则即取，可得，，则是平面的一个法向量． 易知，设点到平面的距离为，则， 由，得，易知，则三棱锥的体积．所以D选项错误. 故选：. 7．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【详解】因为，所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 8．（24-25高二下·广东江门·期中）若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【详解】由条件可得：， 直线与平面所成角的正弦值为：， 故答案为： 9．（24-25高二下·江苏淮安·期中）在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 【答案】 【详解】设棱长均为1, 因为，所以 ，所以，所以. 又. 设异面直线与所成角为, 则. 故答案为: . 10．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，以AB为直径的圆弧在平面PAB内，点D是三角形PAB内圆弧上（不含边界）的动点，则三棱锥的体积最大值是 ，异面直线CD与AB所成角的余弦值范围是 ． 【答案】 【详解】因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面平面， 又因为，，所以，所以， 所以圆弧所对的圆心角为，又点D是三角形PAB内圆弧上， 所以点D到的距离的最大值为圆的半径1， 所以三棱锥的体积最大值是； 如图，在平面内过作， 以为坐标原点，为坐标轴建立如图的示的空间直角坐标系， 则， 因为，， 因为，所以，所以，， 设异面直线CD与AB所成的角为， 所以， 令，，则， 又函数在上为减函数，所以， 所以异面直线CD与AB所成角的余弦值范围是. 故答案为：①；②. 11．（25-26高三上·浙江·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，且四棱锥的体积为． (1)证明：； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）作于，连接， 因为面面，面面，面， 所以面． 由题意，四边形为直角梯形， 所以． 因为，解得， 由，可知， 又因为，所以四边形为平行四边形， ，所以， 由于，面， 所以面． 因为面，所以． （2）设平面与平面所成角为， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 由（1）可知：， 易知，是面的法向量， 设是面的法向量， 则，取，得到， 则， 所以， 所以平面与平面所成角的正弦值为． 12．（25-26高三上·四川·开学考试）如图，在四棱锥中，与均为等边三角形，平面平面，点与点在平面的异侧，. (1)证明：平面； (2)若，，，四点共圆，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为是等边三角形，所以， 在平面中，由，可知是的中垂线， 故， 而平面平面，平面平面，平面， 故平面. （2）记为的中点，由，，，四点共圆可知， 而，故. 不妨令，易知，，，故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，，. 记平面的法向量为， ，即，可取， 记平面的法向量为， ，即，可取. 记平面与平面的夹角为，则. 13．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，是的中点．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）因底面是菱形，，是中点，所以， 又，则．已知平面，平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，平面平面．    （2）解法1：在等腰直角中，过作， 则是中点，． 又，所以平面， 又因为平面，所以， 过作，连接， 由于，平面，所以平面， 又平面，故，所以为平面与平面的夹角， 由（1）知，在中，， 故， 因为平面，平面，所以， 则． 解法2：因为平面，所以两两垂直． 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系 则，∴， 由（1）易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则不妨取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 故正切值为． 14．（25-26高三上·重庆·开学考试）如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点.    (1)证明: 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为直角梯形，，，， 则，则 ，即， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因分别为线段上靠近点的三等分点，则， 则平面； （2）以为原点，为基底建立空间直角坐标系，    则， 则，由，可设， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，则， 由题意可知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 15．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，平面平面，是边长为的等边三角形，为直角三角形，，， (1)当M为AB的中点时，求三棱锥的体积； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）如图，连接SM，MC，作AC的中点N，连接SN， 是边长为的等边三角形，N是AC的中点，所以，， 平面平面ACB，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理知平面ABC，所以SN是三棱锥的高， 由题意知：， 故三棱锥的体积为. （2）连接MN，在中，，，所以， 结合（1）易知SN，MN，AC两两垂直，建立空间直角坐标系，如图， ∴，，，， ∴，，， 设，分别是面ASB、面CSB的法向量， 则，令，则， ，令，则， 所以，，， ∴与所成的角的余弦值为，正弦值为， 故二面角的正弦值为. 16．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）如图，在正方体中，棱长为2，M是棱的中点，是DM的中点，    (1)证明：平面ABCD； (2)求四棱锥和四棱锥重合部分的体积； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）在正方体中，取的中点，在上取，连接，    由是DM的中点，是的中点，得，且， 由，得且，则， 因此四边形是平行四边形，，而平面平面， 所以平面. （2）令，连接，取中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，是中点， 又是的中点，则，平面，平面， 则平面，同理平面，而平面， 于是平面平面，又，则≌， 又，因此几何体是三棱柱，且平面， 四棱锥和四棱锥重合的几何体为四棱锥和三棱柱形成的组合体，   ，点到平面的距离， 所以所求的体积. （3）在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得， 设所成二面角大小为，则， 所以二面角的正弦值为. 考点三 空间向量法求解空间角度 1．（24-25高二下·江苏·阶段练习）若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点，点，所以， 又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：B. 2．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 3．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试），，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    如图所示，为的中点， 则， ， 又， ， ， ， 点E到直线DF的距离为． 故选：C 4．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 5．（24-25高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】因为，所以点到平面的距离. 故答案为：. 6．（23-24高二下·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则. 故答案为： 7．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设点到直线的距离为，则 . 故答案为： 8．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长为h， 则， ， 由于点在线段上，设，则， 故， 设点到直线的距离为d，则 ， 当时，取最小值，则d的最小值为， 故答案为： 9．（24-25高三下·安徽合肥·阶段练习）如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若E为棱BC的中点，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可知在三棱柱中，，，所以为等边三角形，所以， 又，，故， 可得，因此， 又因为平面，平面，所以，即， 又，所以平面； （2）由（1）可知,由平面，平面， 所以，则为直角三角形， 由平面，平面，所以，即， 所以在中，, 则在中，, 所以的面积为. 连接，因为，，所以， 因为平面，所以，即两两垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，解得，取, 所以点到平面的距离, 则三棱锥的体积. 10．（2025·新疆喀什·三模）如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）. (1)若为棱的中点，证明：平面 ； (2)若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为. （ⅰ）求 ； （ⅱ）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）因为，， 所以， 连接，因为为的中点，所以是等边三角形． 取的中点，连接，，则， 则，． 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面． （2）（ⅰ）因为，， 所以， 所以， 因为，所以， 又，，平面， 所以平面， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，， 则， 设， 则，． 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 所以， 整理得，解得舍，所以． （ⅱ）由（ⅰ）知，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，， 则， 所以点到平面的距离为． 11．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）法一：如图，连接交于，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 因为为的中点，所以是的中位线， 得到，而平面，平面，故平面. 法二：根据题意，以点为坐标原点， 分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， 则， 设为平面的法向量， 则，即， 令，则，故， 平面，平面. （2）， ， 直线与平面所成角的正弦值为. （3）由已知得， 由点到直线的距离公式得， 故点到直线的距离为. 12．（24-25高二下·河南开封·期末）如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. （2）因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， ①若，即，即，无解， 所以直线与直线不平行； ②若直线与相交，记它们所确定的平面为， 因为、，所以，设， 即，所以，无解， 所以直线与直线不相交. 由于空间中两直线仅有的三种位置关系：平行、相交或异面，故直线与直线为异面直线. （3）记、分别为异面直线、上任意一点，设，，、， 则， 故，即点， ，故，则， 由得，则， 所以， 因此，当时，取最小值， 所以异面直线与之间的距离为. 13．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知两两相互垂直， 如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又分别是棱的中点，，得 因为 所以在上的投影长为 所以点到直线的距离为 （2）由知，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以点到平面的距离为. 14．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面. (1)证明：三棱柱为正三棱柱； (2)若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：作于，因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面，即侧棱垂直于底面， 因为底面是正三角形，所以三棱柱为正三棱柱. （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则； ， 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 因为平面与平面夹角的余弦值为，所以， 解得，即. ，设点到平面的距离为，则. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：空间向量法证明位置关系、角度问题、距离问题专项训练 空间向量与立体几何：空间向量法证明位置关系、角度问题、距离问题专项训练 考点目录 空间向量法证明空间关系 空间向量法求解空间角度 空间向量法求解空间距离 考点一 空间向量法证明位置关系 1．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 2．（2025·甘肃白银·二模）已知两个不同的平面，一条直线，下列命题是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2025·四川眉山·三模）设是两个平面，是两条直线，则下列命题不正确的是（    ） A．，，则 B．，直线，，则 C．，则 D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 4．（24-25高二下·上海宝山·期中）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 5．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知正方体，点分别在上，，下列说法错误的是（    ） A．直线与所成的角为 B． C．四点共面 D．平面 6．（25-26高三上·浙江·阶段练习·多选）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（   ） A．平面 B．平面 C．点到平面的距离为 D．与平面所成的角为 7．（24-25高二上·山西运城·期中·多选）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）. A． B． C．是平面的一个法向量 D． 8．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为 . 9．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ． 10．（24-25高二上·广东江门·期中）设直线的方向向量，平面的法向量，若，则 11．（2025·云南曲靖·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； (3)求与平面所成角的正弦值． 12．（24-25高二下·江苏南通·期末）如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 13．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 14．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，与平面所成角为，是的中点，点且． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 15．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，. (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 16．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面底面是的中点． (1)证明：． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 考点二 空间向量法求解空间角度 1．（25-26高三上·福建福州·开学考试）在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江宁波·期末）如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的最小值为 B．异面直线与所成角的最大值为 C．对于任意给定的，存在点，使得 D．对于任意给定的，存在点，使得 3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏南京·期中·多选）如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（    ） A．直线直线 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习·多选）已知正方体的棱长为1，动点满足，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则平面 B．若，则与所成角的取值范围为 C．若，则二面角的平面角为 D．若，则三棱锥的体积为2 7．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 8．（24-25高二下·广东江门·期中）若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 9．（24-25高二下·江苏淮安·期中）在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 10．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，以AB为直径的圆弧在平面PAB内，点D是三角形PAB内圆弧上（不含边界）的动点，则三棱锥的体积最大值是 ，异面直线CD与AB所成角的余弦值范围是 ． 11．（25-26高三上·浙江·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，且四棱锥的体积为． (1)证明：； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 12．（25-26高三上·四川·开学考试）如图，在四棱锥中，与均为等边三角形，平面平面，点与点在平面的异侧，. (1)证明：平面； (2)若，，，四点共圆，求平面与平面夹角的余弦值. 13．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正切值． 14．（25-26高三上·重庆·开学考试）如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点. (1)证明: 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 15．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，平面平面，是边长为的等边三角形，为直角三角形，，， (1)当M为AB的中点时，求三棱锥的体积； (2)求二面角的正弦值. 16．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）如图，在正方体中，棱长为2，M是棱的中点，是DM的中点， (1)证明：平面ABCD； (2)求四棱锥和四棱锥重合部分的体积； (3)求二面角的正弦值. 考点三 空间向量法求解空间角度 1．（24-25高二下·江苏·阶段练习）若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试），，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 . 6．（23-24高二下·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 7．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为 . 8．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 9．（24-25高三下·安徽合肥·阶段练习）如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若E为棱BC的中点，求三棱锥的体积． 10．（2025·新疆喀什·三模）如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）. (1)若为棱的中点，证明：平面 ； (2)若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为. （ⅰ）求 ； （ⅱ）求点到平面的距离. 11．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 12．（24-25高二下·河南开封·期末）如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 13．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 14．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面. (1)证明：三棱柱为正三棱柱； (2)若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 2 学科网（北京）股份有限公司 $