第一章勾股定理单元卷- 2025-2026学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

该初中数学复习讲义围绕勾股定理单元构建知识体系，通过思维导图清晰呈现定理内容、逆定理应用、实际问题建模等核心模块，辅以表格对比常见勾股数与变形题型，帮助学生建立从概念理解到综合运用的逻辑链条，突出直角三角形判定与计算的重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于融合“几何直观”“推理能力”“模型意识”三大核心素养，设计如第16题弦图面积探究和第22题管道最短路径优化等典型情境题，引导学生用数学语言表达现实问题，提升建模与逻辑推理能力。每类题型均配方法指导与易错提示，基础薄弱生可掌握基本解法，优等生能拓展思维深度，教师据此实现分层教学与精准反馈，助力学生自主复习与课堂提质增效。

综合复习与测试1 勾股定理 （年级：八年级 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用北师大版教材地区考题进行精选细编，考察学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）下列各组数中为勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，首先判断是否整数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案． 解：A、，不是勾股数，该选项不符合题意； B、,不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； C、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； D、，是勾股数，该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 3．（24-25八年级下·天津武清·阶段练习）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A． B．7 C．或7 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理． 分“4为斜边”、 “3和4都是直角边”两种情形，分别求出第三边，再求出三角形周长，然后作出判断． 解：当4为斜边时， ∵直角三角形两边的长为3和4， ∴第三边为， ∴此三角形的周长为； 当3和4都是直角边时， ∵直角三角形两边的长为3和4， ∴第三边为， ∴此三角形的周长为， 故选：D． 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 5．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出，再证明，，据此根据这块地的面积列式求解即可． 解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这块地的面积， 故选：A． 6．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：C． 7．（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 解：A、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故该选项能证明勾股定理； B、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ， 故该选项不能证明勾股定理； D、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理； 故选：C． 8．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键．首先由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 解：在中，，， ． 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ∴． 故选：B． 9．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 解：由题意可知，，， ． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：， 即绳索的长是10米． 故选：A． 10．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形的面积，作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可． 解：作于点D，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴， 解得， 即的最小值是4.8． 故选：D． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出是解决问题的关键．由勾股定理求出即可求解． 解：如图所示： 根据题意得：， 在中，由勾股定理得： ， 即正方形A的面积为25； 故答案为：25． 12．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】17 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：17． 13．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，旗杆在地面上的影长为，则为 m． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理，得． 故答案为：5． 14．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理的应用，先判断为直角三角形，再利用勾股定理求斜边的长度． 解：由题意知，， 为直角三角形， （海里），（海里）， （海里）， 即“远航”号与“海天”号的距离为25海里， 故答案为：25． 15．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】66 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． 根据勾股定理求出，进而推出，再根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：66． 16．（24-25八年级下·广东清远·阶段练习）如图，是年月北京第届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由个全等的直角三角形拼合而成如果图中大、小正方形的面积分别为和，那么这个直角三角形的两直角边的积等于 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是勾股定理的证明，关键是勾股定理的熟练掌握．设两直角边分别为，，且，由勾股定理可得，结合小正方形的面积可得，再结合完全平方公式可得答案． 解：设两直角边分别为，，且， 根据题意得：，， ， ， ， 即两直角边的积等于， 故答案为：． 17．（2024七年级下·广西·竞赛）如图，在四边形中，，则的度数为 ，四边形的面积为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论；再由三角形的面积公式即可得出四边形的面积． 解：连接， ∵， ∴，， 在中，， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的度数为； 四边形的面积的面积的面积 ， ∴四边形的面积为． 故答案为：， 18．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，在中，，，M是边上（不与点B、C重合），是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，交于点P，连接． （1）的度数为 ； （2）若，，则的长为 ． 【答案】 45 【分析】（1）由旋转得，，因为，，所以，，可根据“”证明，得，于是得到问题的答案； （2）作于点F，于点E，由，求得，由，求得，，因为，所以，由角平分线的性质得，则，，所以，则，于是得到问题的答案． 解：（1）∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ，， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为： （2）作于点F，于点E， ∵， ∴， ，， ， ∵， ∴， ，， ， ， ∴， 平分，于点F，于点E， ， ∴， ， 故答案为： 【点拨】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式推导线段之间的数量关系等知识与方法，证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．证明是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，可得答案； （2）用勾股定理解即可． 解：（1）解：因为， 所以， 所以是直角三角形，． （2）解：因为，所以． 在中，， 所以， 所以． 20.（本小题满分8分）（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，，，点P在射线上． （1）______，边上的高______； （2）当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1）4；；（2）的长为4或 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得出，再根据等面积法求出h； 分当时，当时，两种情况求解． 解：（1）解：∵ ∴由勾股定理得，， ， ， 故答案为：4；； （2）解：当时，此时点重合， ∴， 当时，如图： 设，则， ， 则根据勾股定理得，， 即， 解得， 即， 综上所述，的长为4或 21.（本小题满分10分）（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形中，，，为上一点，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． （1）由角角边的证明方法证明与全等，由此可证； （2）设，由边长可表示与，再根据勾股定理即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， 在和中， 由勾股定理可知：，， ∴， 即， ∴，解得， ∴线段的长为5． 22.（本小题满分10分）（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． （1）求B，N之间的距离； （2）珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】（1）180米；（2）珍珍的观点正确，见解析 【分析】1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 解：（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 23.（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． （1）求的长； （2）求的值； （3）求阴影部分的面积． 【答案】（1）3；（2）20；（3） 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 解：（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 24.（本小题满分12分）（25-26八年级上·全国·课后作业）几何直观  【阅读理解】 （1）若一个三角形的三边长a，b，c满足，则我们称该三角形为“变异直角三角形”．如图①，在中，，则 ________“变异直角三角形”（填“是”或“不是”）． 【变式迁移】（2）如图②，在与中，，．试说明：以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”． 【拓展创新】（3）如图③，在四边形中，，E为线段上一点，以为边向外作正方形．若以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，请求出正方形的面积． 【答案】（1）是；（2）见解析；（3）正方形的面积为8 【分析】（1）可得，根据“变异直角三角形”的定义即可求解； （2）连接，由可判定，由全等三角形的性质得，根据“变异直角三角形”的定义即可求解； （3）连接，过点C作，交的延长线于点M，由可判定，由全等三角形的性质得，由以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，①当时，②当时，即可求解． 解：（1）， ， 是“变异直角三角形”， 故答案为：是； （2）如图②，连接． ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， 故以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”． （3）如图③，连接，过点C作，交的延长线于点M． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． E为线段上一点， ， ， ， 以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”， 分两种情况讨论： ①当时，得，不符合题意，舍去； ②当时，． 综上所述，正方形的面积为8． 【点拨】本题考查了新定义，勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，理解新定义，添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合复习与测试1 勾股定理 （年级：八年级 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用北师大版教材地区考题进行精选细编，考察学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）下列各组数中为勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 3．（24-25八年级下·天津武清·阶段练习）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A． B．7 C．或7 D．以上都不对 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 6．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积为 ． 12．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 13．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，旗杆在地面上的影长为，则为 m． 14．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里． 15．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为 ． 16．（24-25八年级下·广东清远·阶段练习）如图，是年月北京第届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由个全等的直角三角形拼合而成如果图中大、小正方形的面积分别为和，那么这个直角三角形的两直角边的积等于 ． 17．（2024七年级下·广西·竞赛）如图，在四边形中，，则的度数为 ，四边形的面积为 ． 18．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，在中，，，M是边上（不与点B、C重合），是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，交于点P，连接． （1）的度数为 ； （2）若，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． （1）求的度数； （2）求的长． 20.（本小题满分8分）（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，，，点P在射线上． （1）______，边上的高______； （2）当为直角三角形时，求的长． 21.（本小题满分10分）（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形中，，，为上一点，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 22.（本小题满分10分）（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． （1）求B，N之间的距离； （2）珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 23.（本小题满分10分）（25-26八年级·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． （1）求的长； （2）求的值； （3）求阴影部分的面积． 24.（本小题满分12分）（25-26八年级上·全国·课后作业）几何直观  【阅读理解】 （1）若一个三角形的三边长a，b，c满足，则我们称该三角形为“变异直角三角形”．如图①，在中，，则 ________“变异直角三角形”（填“是”或“不是”）． 【变式迁移】（2）如图②，在与中，，．试说明：以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”． 【拓展创新】（3）如图③，在四边形中，，E为线段上一点，以为边向外作正方形．若以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，请求出正方形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $