专题22.8 二次函数区间最值（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题22.8 二次函数区间最值 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 （一）基础知识储备 1 【题型1】自变量为全体实数直接求最值 1 （二）二次函数区间最值知识与方法梳理 2 （三）二次函数区间最值类型（1）定轴定区间 3 【题型2】定轴定区间 3 （四）二次函数区间最值类型（2）定轴动区间 3 【题型3】定轴动区间——已知最值求参数 4 【题型4】定轴动区间——已知最值求参数取值范围 4 （五）二次函数区间最值类型（3）动轴定区间 4 【题型5】动轴定区间——已知最值求参数取 4 【题型6】动轴定区间——求参数取值范围 5 （六）二次函数区间最值类型（4）动轴动区间 5 【题型7】动轴动区间——求参数或最值 5 【题型8】动轴动区间——求参数取值范围 5 二. 同步练习 6 【基础巩固（16题）】 6 【能力提升（16题）】 8 一．知识梳理与题型分类精析 （一）基础知识储备 二次函数是是初中函数的重要内容，也是为高中学习做铺垫，二次函数在自变量取任意实数时的最值情况：当时，函数在时，；当时，函数在时，. 【题型1】自变量为全体实数直接求最值 【例题1】（24-25九年级上·天津南开·阶段练习）已知抛物线． （1）通过配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴； （2）当x取何值时，函数有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【变式1】（2025·山东滨州·模拟预测）二次函数的最大值为 ． 【变式2】（23-24九年级下·陕西渭南·阶段练习）将二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到二次函数的图象，则二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【方法点拨】 自变量为全体实数时，把一般式化为顶点式，确定开口方向直接就可以求出最大值或最小值，这是基础，为后面学习作好准备. （二）二次函数区间最值知识与方法梳理 1.二次函数区间最值相关概念： （1）对称轴：是函数增减性的分界点，后面简称“轴”； （2）区间：实质上就自变量的取值范围，为了方便，简称“区间” 2.二次函数对称轴与区间位置关系的几种情况： 对于二次函数，其对称轴为，设区间为 当时： （1） 如图1，当时，即对称轴在区间内，这时时取得最小值；最大值由与与抛物线交点位置高低来决定； （2） 如图2，当时，即对称轴在区间左侧，这时时取得最小值，时取得最大值； （3） 如图3，当时，，即对称轴在区间右侧，这时时取得最小值，时取得最大值. 图1 图2 图3 二次函数，时与上类似，最小值成为最大值，最大值成为最小值 （三）二次函数区间最值类型（1）定轴定区间 定轴定区间：对称轴和区间均固定，也就是说直接根据开口方向和地称轴位置判断最值，这对学生来说相对简单，容易掌握。 【题型2】定轴定区间 【例题2】（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【变式1】（2024·广西·三模）已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ． 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数中，当时，的最小值是 ． （四）二次函数区间最值类型（2）定轴动区间 定轴动区间：对称轴固定，区间随参数变化，对称轴和区间就存在三种位置关系，要进行分类讨论。 【题型3】定轴动区间——已知最值求参数 【例题3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ． 【变式1】．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则a的值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】（2025九年级下·浙江·专题练习）当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ． 【题型4】定轴动区间——已知最值求参数取值范围 【例题4】（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数，当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则的取值范围是 ． 【变式1】（2024·浙江衢州·一模）已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线．当时，函数的最大值为，最小值为，若，则的取值范围是 ． （五）二次函数区间最值类型（3）动轴定区间 动轴定区间：对称轴随参数变化，区间固定，区间随参数变化，同样分对称轴和区间就存在三种位置关系进行分类讨论。 【题型5】动轴定区间——已知最值求参数取 【例题5】（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知关于的二次函数，其中为实数，当－2≤≤1时，的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ； 【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 【题型6】动轴定区间——求参数取值范围 【例题6】（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧． （1）若抛物线经过，则m= ． （2）若时，，则m的取值范围是 ． 【变式1】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）当时，函数（a为常数，且a小于0）的图象在轴上方，则的取值范围为 ． 【变式2】（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）若存在实数时，使成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． （六）二次函数区间最值类型（4）动轴动区间 动轴动区间：二次函数有含有参数，同时区间也含有参数，在明确最值的前提条件下求参数或参数取值范围，这要问题往往把两个参数中求出一个参数或求出两个参数关系，再利用最值求出另一个参数，这样的题型综合性较强，一般都要进行分类讨论. 【题型7】动轴动区间——求参数或最值 【例题7】（2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东威海·期中）已知抛物线，为实数，当时，的最大值为4，此时的值为 ． 【题型8】动轴动区间——求参数取值范围 【例题8】（2023·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2022·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，二次函数过点（4，3），若当0≤x≤a 时，y 有最大值 7， 最小值 3，则 a 的取值范围是 ． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（且），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，则函数的最大值是（   ） A． B． C．2 D．不能确定 2．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）函数的最大值和最小值分别是（    ） A．4和 B．5和 C．5和 D．6和 3．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（    ） A．13 B．5 C．11 D．14 4．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 5．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且时，的最大值为9，则的值为（   ） A．或1 B．或 C． D．1 6．（24-25九年级上·吉林四平·期末）函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为m，最小值为n，则的值是（   ） A．24 B．18 C．16 D．2 二、填空题 7．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）当时，关于的二次函数有最小值2，则实数的值为 ． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的最大值为 ． 9．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是 ． 10．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的最大值与最小值的差为 ． 11．（24-25九年级上·辽宁营口·期末）已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ． 12．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）如果二次函数图象对称轴为直线，那么二次函数的最小值是 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知二次函数． （1）当，时，求该函数图象的顶点坐标． （2）在（1）条件下，当时，求y的取值范围． 14．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 15．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数（为常数）． （1）若该函数图象经过点，试求的值和图象的顶点坐标； （2）在（1）的情况下，当时，求的取值范围； 16．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数与函数，定义新函数． （1）若，则新函数_______； （2）若新函数y的表达式为，则_______，_______； （3）设新函数y顶点为． ①当k为何值时，n有大值，并求出最大值； ②求n与m的函数表达式． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·云南昭通·期末）当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数，在时有最小值，则（   ） A．5 B．5或 C．5或 D．或 3．（2025·江苏宿迁·一模）二次函数在的范围内的最小值为6，则实数的值为（   ） A．3 B．或3 C．或1 D．或3 4．（2025·陕西渭南·一模）已知二次函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之差是（   ） A．4 B．8 C．6 D．10 5．（24-25九年级下·福建福州·期中）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最小值为，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（2025·陕西榆林·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值，且函数的最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 8．（2025九年级下·全国·学业考试）函数的最小值为m，则当m达到最大时， ． 9．（2025·浙江杭州·三模）若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ． 10．（24-25九年级上·全国·期中）已知函数，当时，该函数的最大值是 ． 11．（2025·广西·一模）已知抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值的差为2，则的值是 ． 12．（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是 ． 三、解答题 13．（2025·云南楚雄·二模）已知二次函数为常数，且 （1）若函数图象过点，求a的值． （2）当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值． 14．（2025·云南楚雄·三模）已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）． （2）当时，二次函数的最小值为，求此时二次函数的解析式． 15．（2025·浙江绍兴·二模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其对称轴是直线，点的坐标为． （1）求此二次函数的表达式． （2）若，当时，求二次函数的最小值（用含有的代数式表示）． （3）当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求的值． 16．（2025·河北邯郸·三模）如图，已知抛物线经过点，平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式； （3）若点在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.8 二次函数区间最值 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 （一）基础知识储备 1 【题型1】自变量为全体实数直接求最值 1 （二）二次函数区间最值知识与方法梳理 3 （三）二次函数区间最值类型（1）定轴定区间 4 【题型2】定轴定区间 4 （四）二次函数区间最值类型（2）定轴动区间 5 【题型3】定轴动区间——已知最值求参数 6 【题型4】定轴动区间——已知最值求参数取值范围 8 （五）二次函数区间最值类型（3）动轴定区间 9 【题型5】动轴定区间——已知最值求参数取 9 【题型6】动轴定区间——求参数取值范围 12 （六）二次函数区间最值类型（4）动轴动区间 14 【题型7】动轴动区间——求参数或最值 14 【题型8】动轴动区间——求参数取值范围 16 二. 同步练习 19 【基础巩固（16题）】 19 【能力提升（16题）】 29 一．知识梳理与题型分类精析 （一）基础知识储备 二次函数是是初中函数的重要内容，也是为高中学习做铺垫，二次函数在自变量取任意实数时的最值情况：当时，函数在时，；当时，函数在时，. 【题型1】自变量为全体实数直接求最值 【例题1】（24-25九年级上·天津南开·阶段练习）已知抛物线． （1）通过配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴； （2）当x取何值时，函数有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】（1），；（2）当时，函数有最大值，最大值是． 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，即可得到答案； （2）根据二次函数的顶点式即可得到结果． 解：（1）解：∵抛物线 ∴该抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线； （2）解：∵抛物线解析式 ∴抛物线开口向下， ∴当时，函数有最大值，最大值是． 【变式1】（2025·山东滨州·模拟预测）二次函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，将解析式配方，进而求得函数的最大值． 解：二次函数 ∵ ∴当时，取得最大值，最大值为 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级下·陕西渭南·阶段练习）将二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到二次函数的图象，则二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律，二次函数最值的计算方法是解题的关键． 先将二次函数化为顶点式，再根据平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”求出的解析式，由此即可求解． 解：， ∵将图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴， ∴顶点坐标为， ∴二次函数有最小值， 故选：． 【方法点拨】 自变量为全体实数时，把一般式化为顶点式，确定开口方向直接就可以求出最大值或最小值，这是基础，为后面学习作好准备. （二）二次函数区间最值知识与方法梳理 1.二次函数区间最值相关概念： （1）对称轴：是函数增减性的分界点，后面简称“轴”； （2）区间：实质上就自变量的取值范围，为了方便，简称“区间” 2.二次函数对称轴与区间位置关系的几种情况： 对于二次函数，其对称轴为，设区间为 当时： （1） 如图1，当时，即对称轴在区间内，这时时取得最小值；最大值由与与抛物线交点位置高低来决定； （2） 如图2，当时，即对称轴在区间左侧，这时时取得最小值，时取得最大值； （3） 如图3，当时，，即对称轴在区间右侧，这时时取得最小值，时取得最大值. 图1 图2 图3 二次函数，时与上类似，最小值成为最大值，最大值成为最小值 （三）二次函数区间最值类型（1）定轴定区间 定轴定区间：对称轴和区间均固定，也就是说直接根据开口方向和地称轴位置判断最值，这对学生来说相对简单，容易掌握。 【题型2】定轴定区间 【例题2】（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【答案】；5 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 【变式1】（2024·广西·三模）已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意和二次函数的性质得到当时，y随x的增大而减小，进而求得当时，函数的最小值． 解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，开口向上 ∴当时，y随x的增大而减小 ∴当时， ∴当时，y取得最小值，此时． 故答案为：3． 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数中，当时，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解，明确题意，掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：由二次函数， ∵， ∴当时，随的增大而减小， 则当时，时，有最小值，为， 故答案为：． （四）二次函数区间最值类型（2）定轴动区间 定轴动区间：对称轴固定，区间随参数变化，对称轴和区间就存在三种位置关系，要进行分类讨论。 【题型3】定轴动区间——已知最值求参数 【例题3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答即可，注意分类讨论． 解：二次函数， 该函数的对称轴是直线， ①当时，即，， 最大值与最小值的差为3， ， 即， 解得； ②当时，即， 最大值与最小值的差为3， ， 即， 解得； 故答案为：或 【变式1】．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则a的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据开口向下，越远离对称轴的所对应的函数值越小，再根据当时，函数y的最小值为即可作答． 解：∵， ∴函数的开口向下，函数的对称轴为直线， ∴越远离对称轴的所对应的函数值越小， 把代入得， ∴函数的顶点坐标为， ∴当时，， ∵当时，函数y的最小值为， ∴在函数上 ∴， 解得或（舍去）． 故选：D． 【变式2】（2025九年级下·浙江·专题练习）当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．依据题意，由，可得抛物线开口向上，当时，y取最小值为，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当时或当时，y取最大值，进而分当时，y取最大值，此时，即和当时，y取最大值，此时，即，分别进行计算可以得解． 解：由题意，∵， ∴抛物线开口向上，当时，y取最小值为． ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大． ∴当时或当时，y取最大值． ①当时，y取最大值，此时，即． 又∵此时y最大值为， ∴（不合题意，舍去）或． ②当时，y取最大值，此时，即． 又∵此时y最大值为， ∴或（不合题意，舍去）． 综上，或． 故答案为：或． 【题型4】定轴动区间——已知最值求参数取值范围 【例题4】（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数，当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，可得和的函数值相等，再根据无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，可得函数的最小值为顶点的纵坐标，最大值为对应的函数值，进而即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，且图象的点离对称轴的距离越近函数值越小， ∴和的函数值相等， ∵当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值， ∴函数的最小值为顶点的纵坐标，最大值为对应的函数值， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2024·浙江衢州·一模）已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，把解析式化为顶点式求出抛物线开口向上，顶点坐标为，再根据当时，函数的最小值是可得，解之即可得到答案． 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴y的最小值即为， ∵当时，函数的最小值是， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线．当时，函数的最大值为，最小值为，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，得到二次函数的最大值为，结合题意，得到且到1的距离小于等于到1的距离，即可得出结果． 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∴当时，函数值有最大值， ∵， ∴当时，， ∵当时，且， ∴且到1的距离小于等于到1的距离， ∵和关于直线对称， ∴； 故答案为：． （五）二次函数区间最值类型（3）动轴定区间 动轴定区间：对称轴随参数变化，区间固定，区间随参数变化，同样分对称轴和区间就存在三种位置关系进行分类讨论。 【题型5】动轴定区间——已知最值求参数取 【例题5】（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知关于的二次函数，其中为实数，当－2≤≤1时，的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ； 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的性质，正确理解二次函数的性质是本题解题的关键． 由题求得抛物线的对称轴为直线，分类讨论，，，根据函数的增减性，即可得出答案． 解：原式变形为， 对称轴为， 二次函数当时，有最小值为4， ①当时， 当时，有最小值为4， ， 解得：,（舍去）， ②当时， 当，有最小值为， 化简整理得， 解得：（舍去），（舍去）， ③当时， 当，有最小值为， 化简整理得， 解得：（舍去）， 满足条件的m的值为或． 故答案为：；． 【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解． 解：由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为， 当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得： 则， 解得 ，即 ； ∴； 当 即 时，最小值在 处， 则 解得 ，满足 ； 当 即 时，最小值在 处， 则， 解得 ，但 不成立，舍去， 综上，或． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当自变量时，函数有最大值为10， ∴当即时，时取最大值，即， 解得， 当即时，号时取最大值，即， 则 ∵，方程没有实数根， 当时即，时取最大值，即， 解得 综上，的值为或， 故答案为：或． 【题型6】动轴定区间——求参数取值范围 【例题6】（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧． （1）若抛物线经过，则m= ． （2）若时，，则m的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的性质，求二次函数解析式； （1）把代入计算即可； （2）对称轴为，根据且A、B两点在该抛物线对称轴同侧可得或，再结合时，求解即可． 解：（1）把代入得， 解得， 故答案为：； （2）∵ ∴抛物线对称轴为， ∵A、B两点在该抛物线对称轴同侧， ∴或， 当时，当时随的增大而增大， ∴此时当时有最大值， ∵， ∴，解得， ∴； 当时，当时随的增大而减小， ∴此时当时有最大值， ∵， ∴，解得， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 【变式1】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）当时，函数（a为常数，且a小于0）的图象在轴上方，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图形和性质，解题的关键是能够求出时y的最小值．先求出二次函数图象的对称轴，再先求出y的最小值，令最小值大于0即可求解． 解：二次函数的图象的对称轴为：． ∵， ∴抛物线开口向下， 又，， 时，y取最小值，最小值为：， 图象在轴上方， ， 解得， ； 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）若存在实数时，使成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．通过将不等式恒成立问题转化为求函数在给定区间上的最值问题，进而求解参数的取值范围；关键通过二次函数的对称轴公式，以及根据二次项系数的正负判断函数图象的开口方向和单调性． 解：∵存在实数时，使成立 ∴移项，得， 即：要大于函数，，在上的最大值， ∵，，， ∴对称轴为， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴函数在对称轴处取得最小值，在对称轴右侧函数单调递增， ∴当时，函数取得最大值， 将代入函数可得： ， ∵，在上的最大值， ∴的取值范围是． ∴当时，函数取得最小值， 将代入函数可得： ， ∵，在上的最小值， ∴的取值范围是， 综上，若存在实数时，使成立，则的取值范围为． 故选：B． （六）二次函数区间最值类型（4）动轴动区间 动轴动区间：二次函数有含有参数，同时区间也含有参数，在明确最值的前提条件下求参数或参数取值范围，这要问题往往把两个参数中求出一个参数或求出两个参数关系，再利用最值求出另一个参数，这样的题型综合性较强，一般都要进行分类讨论. 【题型7】动轴动区间——求参数或最值 【例题7】（2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可． 解：， ， 解得：或 （舍去）， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ， 当时，有最大值，， 当时，有最小值， ， ∴函数的最大值与最小值的差为， 故选：D． 【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．先求出顶点坐标为 ，可得当时，该函数的最小值为，再由二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，即可求解． 解：∵， ∴顶点坐标为 ， ∵，即抛物线开口向上， ∴最小值为， ∴当时，该函数的最小值为， ∵， ∴当时，函数取得最大值，为， ∵当时，该函数的最大值与最小值的差是， ∴， 解得：． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·山东威海·期中）已知抛物线，为实数，当时，的最大值为4，此时的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； 解：∵， ∴对称轴为，函数图象开口向上， ， ， ∴当时，取最大值4， ， 解得：， 故答案为：或． 【题型8】动轴动区间——求参数取值范围 【例题8】（2023·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题的关键． 解二次函数与直线的方程，由得，方程的根为，从而求出，所以函数解析式为，根据函数解析式求得顶点坐标与纵轴的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围． 解：令，即， 由题意，，即， 又方程的根为， 解得， 故函数是 ∴函数图象开口向下，顶点为， 与y轴交点为，由对称性，该函数图象也经过， 由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小， 且当时，函数的最小值为，最大值为， ∴， 故选：C． 【变式1】（2022·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，二次函数过点（4，3），若当0≤x≤a 时，y 有最大值 7， 最小值 3，则 a 的取值范围是 ． 【答案】2≤a≤4． 【分析】先求得抛物线的解析式，根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可得到a的取值范围． 解：∵二次函数y=-x2+mx+3过点（4，3）， ∴3=-16+4m+3， ∴m=4， ∴y=-x2+4x+3， ∵y=-x2+4x+3=-（x-2）2+7， ∴抛物线开口向下，对称轴是x=2，顶点为（2，7），函数有最大值7， 把y=3代入y=-x2+4x+3得3=-x2+4x+3，解得x=0或x=4， ∵当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3， ∴2≤a≤4． 故答案为：2≤a≤4． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（且），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于t的不等式组即可解决问题． 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，且顶点坐标为．抛物线开口向上， ∴和时的函数值相等， ∵，当时，函数取得最大值， ∴ ， 又∵当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，则函数的最大值是（   ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的最值，由得出二次函数的对称轴为直线，开口向下，即当时，随着的增大而增大，结合计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，为， 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）函数的最大值和最小值分别是（    ） A．4和 B．5和 C．5和 D．6和 【答案】C 【分析】先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 解：， ， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ， 时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：C． 【点拨】本题是一道有关二次函数图象性质的题，考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用． 3．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（    ） A．13 B．5 C．11 D．14 【答案】A 【分析】直接利用配方法求出二次函数最小值b，进而利用二次函数增减性得出a的值，即可得出答案． 解： 整理得： 故当时，y有最小值b为2； 当时，y有最大值a为11； 故； 故选：A． 【点拨】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键． 4．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴，分和，两种情况进行分析，求得m的值即可． 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得． ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴，解得： 故选：C． 5．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且时，的最大值为9，则的值为（   ） A．或1 B．或 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，y的最大值为9，可得时，函数值为9，解方程即可求出a． 解：二次函数（其中是自变量）， 对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， 抛物线开口向上，， 当时，的最大值为9， 当时，取最大值为9， 即， 解得（不合题意，舍去）， ， 故选：D． 6．（24-25九年级上·吉林四平·期末）函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为m，最小值为n，则的值是（   ） A．24 B．18 C．16 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题是要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由抛物线为，从而可得对称轴是直线，故当时，有最小值，；当时，有最大值，，计算可得． 解：∵抛物线为， ∴对称轴是直线． ∵对称轴是直线， ∴当时，有最小值3，当时，有最大值21， ， ， 故选：A． 二、填空题 7．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）当时，关于的二次函数有最小值2，则实数的值为 ． 【答案】或3 【分析】本题考查二次函数的最值．分，三种情况进行讨论求解即可．掌握二次函数的增减性，是解题的关键． 解：∵， ∴对称轴为，函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ①当时：当，函数有最小值为，解得：或（舍去）； ②当，函数的最小值为1，不符合题意； ③当时，函数有最小值为，解得：或（舍去）； 综上：或； 故答案为：或3． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据当时，的最小值为，得出，根据二次函数的最值求出当时，的最大值为． 解：∵当时，该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，的最小值为， ∴当时，有最小值为： ， ∵， ∴当时，的最大值为． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，将二次函数的解析式配方成顶点式，求出当的情况即可． 解：， 故该抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，且时，函数的最大值为， 即时，， 代入，求得， 的值为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的最大值与最小值的差为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围，进而求解即可． 解：∵，， ∴当时，y有最小值2， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值3，最小值2， ∴， ∴m的最大值为2，最小值为1， ∴， ∴m的最大值与最小值的差为1． 故答案为：1． 11．（24-25九年级上·辽宁营口·期末）已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分与时两种情况，根据二次函数的性质列式解答即可．本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分与两种情况讨论求解，有一定的难度． 解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当时，抛物线开口向上，在对称轴直线右侧y随x的增大而增大， 当时y有最大值5， ， 解得：， 当时，抛物线开口向下，时y有最大值5， ， 解得， 故答案为：1或． 12．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）如果二次函数图象对称轴为直线，那么二次函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数图象对称轴为直线，可以求得的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可求得函数的最小值． 解：二次函数图象对称轴为直线， ，解得， ， 当时，y取得最小值，此时． 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的性质、最值，解答本题的关键是明确题意，求出的值，利用二次函数的性质解答． 三、解答题 13．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知二次函数． （1）当，时，求该函数图象的顶点坐标． （2）在（1）条件下，当时，求y的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用配方法解答即可； （2）利用数形结合思想，根据函数的增减性，最值解答即可． 本题考查了抛物线顶点坐标计算，二次函数的增减性应用，二次函数的最值应用，熟练掌握二次函数的增减性应用，二次函数的最值应用是解题的关键． 解：（1）解：当，时， 抛物线解析式为， ∴， ∴函数图象的顶点坐标为． （2）解：由（1）得函数解析式为， ∵抛物线开口向下， ∴函数有最大值，且当时，取得最大值，最大值为7， 当时，， 当时，， ∴． 14．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 【答案】（1）直线；（2）11 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）根据对称轴为直线代入求解即可． （2）根据二次函数的图像和性质可得出当时，，进而求出a的值，再得出当时，取的最大值，代入计算即可． 解：（1）解：抛物线的对称轴为直线： ． （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线， ∴当时，y有最小值， ∵当时，的最小值是， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵当比当离对称轴近， ∴当时，取的最大值， 此时． 15．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数（为常数）． （1）若该函数图象经过点，试求的值和图象的顶点坐标； （2）在（1）的情况下，当时，求的取值范围； 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，把二次函数的一般式化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把点代入中，解得，即可求出图象的顶点坐标； （2）先结合的开口向上，对称轴为直线，越远离对称轴的所对应的函数值越大，又因为，则函数的最小值为，最大值为，即可作答． 解：（1）解：依题意，， 顶点为， 把点代入中 得：， 解得：， ∴ 抛物线的顶点为； （2）解：由（1）得 ∴二次函数解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线，越远离对称轴的所对应的函数值越大 ∵，且 ∴函数在时取最小值为， 在时取最大值为， 故的取值范围为． 16．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数与函数，定义新函数． （1）若，则新函数_______； （2）若新函数y的表达式为，则_______，_______； （3）设新函数y顶点为． ①当k为何值时，n有大值，并求出最大值； ②求n与m的函数表达式． 【答案】（1）；（2）5，；（3）①当时，；② 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题： （1）将代入函数，得，即可求出结果； （2）根据定义求出新函数得，和题目所给的对比，从而求出k和b的值； （3）①利用配方法将（2）中的新函数解析式写成顶点式，得到顶点坐标的表达式，即可求出n的最大值； ②根据①中的关系式，将代入即可求出结果． 解：（1）解：当时，， ∵函数，定义新函数， ∴， 故答案为：； （2）解：∵函数与函数，定义新函数， ∴新函数的解析式为， ∵新函数的解析式为， ∴，， ∴，， 故答案为：5，； （3）解：①由（2）知，新函数解析式为， ∵新函数顶点为， ∴， ∴， ∵， 当时，； ②由①知，， 将代入得： ∴． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·云南昭通·期末）当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键． 利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：当时，有， 解得：． ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大， ∵当时，函数有最小值， 分两种情况讨论： 若时，当时，的最小值是， ； 若时，当时，的最小值是， ， 解得：， 综上，或， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数，在时有最小值，则（   ） A．5 B．5或 C．5或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的增减性和对称性，注意分类讨论是解题的关键．结合二次函数的图象增减性，对称性，分和两种情况分别进行讨论即可． 解：当时， 二次函数的开口向上， 此时该函数对称轴为直线， 即当时，函数有最小值， ∵二次函数（）在时有最小值， ∴， 解得，； 当时， 二次函数的开口向下， 此时该函数对称轴为直线， 即当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∵二次函数的自变量x的取值范围为， ∴当时，函数有最小值， ∵二次函数（）在时有最小值， ∴， 解得，； 综上，或， 故选：C． 3．（2025·江苏宿迁·一模）二次函数在的范围内的最小值为6，则实数的值为（   ） A．3 B．或3 C．或1 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图象上点的特征找出时自变量的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的特征找出时自变量的值，结合时，函数值的最小值为1，可得到关于的一元一次方程，解即可． 解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为， ∴二次函数在实数范围内的最小值为， 令，则， 解得：，， 时，函数值的最小值为6， 或， 或． 故选：D． 4．（2025·陕西渭南·一模）已知二次函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之差是（   ） A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求得二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质求得当时，函数的最大值与最小值即可求解． 解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∵时，， 时，， ∴当时，函数的最大值为7，最小值为1， ∴函数的最大值与最小值之差是6． 故选：C． 5．（24-25九年级下·福建福州·期中）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最小值为，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，解题的关键是将二次函数的解析式化为顶点式．根据题意，将二次函数的解析式化为顶点式，当时，最小值为，即可求解． 解：将二次函数解析式化为顶点式，即（为常数，且）， 则该二次函数图像的对称轴为，且开口向上， ∵当时，函数的最小值为， ， 解得， 故选：D． 6．（2025·陕西榆林·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值，且函数的最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可求解． 解：， 二次函数的对称轴为，最小值为， 又当时，函数的最小值为， ， ，且当时，函数取得最大值， ， 解得：， 综上所述，m的取值范围是． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，在时取得最小值，再结合二次函数最值情况进行求解，即可解题． 解：， ， 二次函数开口向上，在时取得最小值， 当，函数的最小值为2， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值为或． 8．（2025九年级下·全国·学业考试）函数的最小值为m，则当m达到最大时， ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的最值列式表示出，然后整理成顶点式解析式，再根据二次函数的最值求出的值，然后代入取得最小值时的的表达式，计算即可得解． 解：∵， ∴当时，函数取最小值，最小值， ∴当时，m取得最大值，最大值为6，此时， 故答案为：． 9．（2025·浙江杭州·三模）若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 解：∵二次函数有最大值为4， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标为，则最小值为； 故答案为：． 10．（24-25九年级上·全国·期中）已知函数，当时，该函数的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．将二次函数进行配方，利用二次函数的图像和性质确定最大值． 解：， ， 当时，该函数有最大值，最大值是， 故答案为：． 11．（2025·广西·一模）已知抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值的差为2，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函效的性质、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．根据题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法即可求解． 解：， 抛物线对称轴为：直线，顶点坐标为． ， 抛物线开口向下． 当时，； 当时，． ①当，即时，如图1． 当时，， 当时，， ， 解得，（不合题意，舍去）； ②当，即时，如图2． 当时，， 当时，， ， 解得，（不合题意，舍去）； ③当，即时，如图3． 当时，最大值， 当时，， ， 解得（不合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． 12．（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先利用交点式写出抛物线解析式为，再利用配方法得到，则当时，y有最小值为，再解方程得，，即自变量为或7时，函数值为12，然后利用该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，从而确定的取值范围． 解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线解析式为， 即， ∵， ∴当时，y有最小值为， 当时，， 解得，， ∵该函数在的范围内有最小值为，最大值为12， ∴． 故答案为：． 三、解答题 13．（2025·云南楚雄·二模）已知二次函数为常数，且 （1）若函数图象过点，求a的值． （2）当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键． （1）把点代入解析式即可求得a的值； （2）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点为，即可求得时，，进而求得当时，，然后分两种情况列出关于a的方程，解方程即可． 解：（1）解：二次函数的图象过点， ， （2）解：由题意，， 抛物线的顶点为， 时，， 当时，， 当时，当时，，， ， ， 当时，当时，，， ， ， 的值为或 14．（2025·云南楚雄·三模）已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）． （2）当时，二次函数的最小值为，求此时二次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象性质． （1）将函数解析式化成顶点式，即可求解； （2）根据抛物线开口向上．对称轴为直线，得出在对称轴的左侧，则当时，y最小为，得出，解得．再根据，则，得到，代入即可求解． 解：（1）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为． （2）解：∵1＞0， ∴抛物线开口向上． ∵对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧， ∴当时，y最小为， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 此时二次函数的解析式为． 15．（2025·浙江绍兴·二模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其对称轴是直线，点的坐标为． （1）求此二次函数的表达式． （2）若，当时，求二次函数的最小值（用含有的代数式表示）． （3）当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的增减性，对称轴的知识是关键． （1）根据题意，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意若，当时，的最小值在时取到，代入计算即可； （3）根据二次函数对称轴，增减性分类讨论，即可求解． 解：（1）解：的图象对称轴是直线， ，， 在其图象上， ，， 此二次函数的表达式为． （2）解：∵的图象对称轴是直线， 若，当时，， ∴的最小值在时取到， ∴， ． （3）解：当时， ， ，， 二次函数的最大值比最小值大2， ， ； 当时， ， ，， 二次函数的最大值比最小值大2， ， ； 当时， ， ， ， 若， 解得，不符合； 若， 解得，不符合． 或． 16．（2025·河北邯郸·三模）如图，已知抛物线经过点，平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式； （3）若点在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值． 【答案】（1）；（2）或；（3）3 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）设的顶点的横坐标为，即的顶点坐标为，再利用配方法和原点对称可得，即可解得． （3）代入点可得，根据，，即可得，利用二次函数增减性可得当时，取得最大值，最大值为． 解：（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴， ∴的顶点坐标为； （2）解：设的顶点的横坐标为， ∵的顶点在直线上， ∴的顶点坐标为， ∴的解析式为， 点关于坐标原点的对称点为， 将代入， 得， 整理得， 解得， ∴抛物线的解析式为或； （3）解：由（2）可设抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 由（2）知的顶点的纵坐标为，且随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴抛物线顶点纵坐标的最大值为3． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $