3.1.1函数的概念（3知识点+11题型）-2025-2026学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

本讲义聚焦函数概念及其相关核心知识，系统构建从函数定义、三要素到区间表示、抽象与复合函数的完整认知链条，前后衔接紧密，由具体到抽象层层递进，为后续学习函数性质与应用奠定坚实基础。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言三大核心素养。通过“垂直直线检验法”直观判断函数图像，强化几何直观；借助抽象函数定义域求解的逻辑推理，培养严谨推理能力；用区间符号表达数集，提升数学语言精准性。例如第16题复合函数定义域求解，需结合内层函数值域与外层定义域进行逻辑推导，既训练运算能力又发展理性思维。课中可辅助教师精讲突破难点，课后学生能依题型分类查漏补缺，实现高效巩固与迁移应用。

3.1.1 函数的概念 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数的概念 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 2.具体函数的定义域和值域 (1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R，值域为R. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R，当a>0时，值域是；当a<0时， 值域是. (3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}. 3.同一个函数的判断 判断两个函数为同一个函数的注意点： (1)判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数. (2) 若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数. (3)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (4)在化简解析式时，必须是等价变形. 注意点： (1)A，B是非空的实数集，定义域是A，值域是集合B的子集. (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. (3)“y=f(x)”是数学符号之一，体现变量y与变量x的对应关系，不表示y等于f与x的乘积.其中的f表示对应关系，f(x)可以是解析式的形式，也可以是图象或表格的形式. (4)函数三要素：定义域、对应关系与值域. 知识点2 区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，+∞) {x|x>a} (a，+∞) {x|x≤b} (-∞，b] {x|x<b} (-∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 注意点： (1)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立，但因为区间的左端点必须小于右端点，所以区间只能表示连续的数集. (2)区间的开闭是由端点值能否取到来决定的，所以区间的开闭不能混淆，这要求我们用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. (3)“∞”是一个符号，而不是一个数. 知识点3 抽象函数与复合函数 1.抽象函数的定义：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 2.复合函数的定义 如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，那么当⊆时，称函数为与在上的复合函数，其中叫作中间变量，叫作内层函数，叫作外层函数． 【注】由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的真子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域． 3.抽象函数或复合函数的定义域 （1）函数的定义域是指的取值所组成的集合； （2）函数的定义域是指的取值范围，而不是的取值范围． （3）同一对应法则下，括号内的取值范围相同，即，，三个函数中的，，的取值范围相同． （4）已知函数的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范围（值域）为，求的取值范围； （5）已知的定义域为，求的定义域,其实质是已知中的的取值范围为，求的取值范围（值域），此范围就是的定义域． 思路方法总结 1.函数关系的判断 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)判断图形是否为函数关系的步骤 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 2.求函数的定义域与值 (1)求定义域的依据：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，0次幂的底数不为0等，如果解析式中含有多个式子，则定义域是使得各式子都有意义的数的集合.另外，在实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义. (2)函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示. (3)函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式求f(a)(a在定义域之内)的值时，只需用a替换表达式中的x即得. ②已知f(x)与g(x) 求f(g(a))的值，应遵循由内往外的原则，即先计算g(a)的值，再将该值作为f(x)的自变量去替换表达式中的x进行求解. (3)抽象函数的定义域 ①若函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集. ②若函数f(g(x))的定义域为[c，d]，则f(x)的定义域即为g(x)在[c，d]上的值域. 3.求简单函数的值域的方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法. (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域. (4)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域. 典例·举一反三 题型一 函数关系的判断 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 2．下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 3．下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义逐项分析即可判断. 【详解】对于A，对于变量的每一个值，变量不是唯一的值与它对应，故y不是x的函数，符合题意； 对于B，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于C，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于D，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 故选：A. 4．若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    【答案】AD 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确； 对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确. 故选：AD. 5．已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】依次判断选项中函数图像对应的定义域是否为且，且每一个自变量是否都有唯一确定的值在集合且中与之对应，或者根据已知判断图象与轴的相对位置关系、图象是否连续得出结论即可. 【详解】解法一：图A中函数是集合且到且的函数，故A错误； 图B中函数是集合且到且的函数，故B错误； 图C中函数是集合且到且的函数，故C正确； 图D中函数是集合且到且的函数，故D正确； 故选：CD． 解法二：图A中函数图象与轴有交点，设交点为，当时按照图中对应关系对应函数值0，而，故选项A错误； 图B中函数图象在区间上是连续的，所以函数在处有意义，即在定义域内，而，故选项B错误；而CD中的函数的定义域和值域均符合题设要求， 故选：CD． 题型二 区间的定义与表示 6．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 7．已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间的定义，即可列式求解. 【详解】根据区间的定义，可知，得. 故选：A 8．用区间表示集合 . 【答案】 【分析】利用区间的定义即可求解. 【详解】集合的区间表示为. 故答案为：. 9．若为一确定区间，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】因为为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围. 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 10．用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据集合与区间的关系求得正确答案. 【详解】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 题型三 具体函数的而定义域 11．函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D 12．函数的定义域为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根号下非负结合分式不等式的解法可求函数的定义域. 【详解】由，可得， 即，解得， 即函数的定义域为， 故选：C． 13．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有意义，列出不等式组即可. 【详解】由题可得且，则且， 故函数的定义域为. 故选：B. 14．下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由具体函数的定义域求法即可解答. 【详解】函数的定义域为，A正确； 由知的定义域为，B错误； 对于C，D，易知的定义域为，C，D错误． 故选：A. 15．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数特征得到不等式组，求出定义域. 【详解】由，解得，且． 所以的定义域为． 故答案为： 题型四 抽象函数的定义域 16．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【详解】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 17．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的意义列出不等式，求解即得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为： 18．（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】（1）由的定义域可得到，进而求解即可得到的定义域； （2）设，先根据的定义域求得的定义域，进而即可求出的定义域． 【详解】（1）设． 因为的定义域为， 所以要使有意义，必须，解得， 所以的定义域为，即的定义域为． （2）设，考查函数． 因为的定义域为， 所以，得， 所以的定义域为． 设，要使有意义， 必有，解得． 故的定义域为． 故答案为：；． 19．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 20．（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】（1）根据抽象函数定义域的解法，列出不等式求解即可； （2）先求出的范围，可得的定义域，然后根据抽象函数定义域的解法，列出不等式求解的定义域． 【详解】（1）函数的定义域为， 由，解得， 所以函数的定义域为． （2）函数的定义域为， 则，可得的定义域为． 由，即且， 即且，解得或． 所以函数的定义域为． 题型五 具体函数的函数值计算 21．已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 【答案】B 【分析】代入运算得解. 【详解】. 故选：B. 22．已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 【答案】A 【分析】令，求出，然后代入解析式中即可求出的值. 【详解】令，则， 得． 故选：A． 23．若函数，则 ． 【答案】3 【分析】将 代入函数表达式即可得到答案. 【详解】将 代入函数表达式： . 故答案为：3 24．已知，则 ． 【答案】15 【分析】令，即，即可得． 【详解】令，即，得． 故答案为：15． 25．已知定义在上的函数满足，则 ， ． 【答案】 1 【详解】因为，令，得，所以．令，得①，令，得②，，得，解得． 题型六 抽象函数的函数值计算 26．已知定义在上的函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】通过赋值法先求出，继而求得. 【详解】由得， 令，则，得； 令，则，得； 令，则，得. 故选：A. 27．已知函数对任意x，都满足，且，则（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】令可求出，令、可求出. 【详解】令，则， 令，，则． 故选：C 28．设函数的定义域为，若，则 ． 【答案】 【分析】令得，再令得，最后令，利用赋值法即可求解. 【详解】令，则，即，可得； 令，则，即，可得； 令，可得. 故答案为：. 29．设定义在R上的函数满足，则= ． 【答案】3 【分析】由已知条件确定函数周期，即可求解. 【详解】由可得 所以，所以的周期为6， 所以 故答案为：3 30．已知函数的定义域为，且，，则 ． 【答案】2 【分析】取特殊值，取，代入题干关系式即可得结果. 【详解】由，取可得，又，所以． 故答案为： 题型七 已知函数值求参数 31．已知函数，. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据解析式直接求值即可得到结果； （2）根据已知条件解方程即可得到结果. 【详解】（1） （2）因为，所以，所以 32．已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 33．已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，再用计算即可. 【详解】令，解得，则，则． 故选：D. 34．如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为 ． 【答案】1或2 【分析】根据图中所给对应关系，直接判断即可. 【详解】由图可知，，，，， 若，则或. 故答案为：或. 35．若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】从外到内逐步求值． 【详解】根据题意，， 则，所以. 故选：B 题型八 简单函数的值域 36．求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 【点睛】方法点晴：（1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． （2）配方法．求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围． （3）分离常数法．形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是． （4）换元法．形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． （5）均值不等式法．若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 37．下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可. 【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确； 的定义域为，值域为，B错误； 的定义域为R，值域为，C错误； 的定义域为R，值域为，D错误. 故选：A 38．下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解． 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确； 对于B，函数，值域为，B正确； 对于C，函数的定义域为，值域为，C错误； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误． 故选：AB． 39．函数的值域 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 40．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 题型九 同一函数的判断 41．下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可. 【详解】函数的定义域为，对应关系为 的定义域为，但对应关系不同，A错误； ，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，即或，D错误． 故选：B. 42．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 43．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 44．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数. 【详解】对于A选项，两个函数的定义域相同， ，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数； 对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同， 故得到两个函数是同一函数； 对于C，两个函数的定义域相同为， 且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数； 对于D，两个函数定义域相同，， 对应法则相同，故两个函数是同一函数. 故选：A. 45．下列四组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】比较两个函数的定义域和解析式是否相等，判断即可。 【详解】对于A：的定义域为的定义域为，A中两个函数不表示同一个函数； 对于B：两个函数的对应关系不一致，中两个函数不表示同一个函数； 对于C：与，解析式相同，且两个函数的定义域均为，中两个函数表示同一个函数； 对于D：两个函数的定义域不一致，中两个函数不表示同一个函数； 故答案为：C。 【点睛】考查同一个函数的判断方法 题型十 复杂函数的值域 46．下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【详解】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 47．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 48．已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】令，求得，结合基本不等式，求得，进而求得函数的值域，得到答案. 【详解】由函数，可得且，解得， 又由，则，可得， 因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得， 所以函数的值域是. 故答案为：. 49．求函数的值域． 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用绝对值的三角不等式列式求出值域. 【详解】函数的定义域为R， 由，当且仅当时取等号， 因此， 所以函数的值域是. 50．求函数的值域. 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式将问题转化为动点到，两点的距离之差最小或最大． 【详解】， 问题转化为动点到，两点的距离之差最小或最大.    当A，B，P三点共线，且点位于点和点之间时距离之差最小， 所以； 当点P的横坐标x趋向于负无穷大时，直线趋近于重合，此时接近于， 即距离之差的最大值趋近于5， 所以， 函数的值域为：. 题型十一 已知值域求定义域 51．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域. 【详解】令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A 52．已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先作出函数图象；再利用数形结合思想，注意区间端点，即可得出答案. 【详解】先作出函数在R上的图象，如图所示：    结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确. 故选：AD. 53．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出函数的图象，求出的最大值和最小值，即可得解. 【详解】， 当时，若，即，解得或； 当时，若，即，解得或，此时. 所以，，作出函数的图象如下图所示： 因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值； 当时，区间的长度取最大值. 所以，区间的长度的取值范围是. 故选：BC. 54．若函数的值域是，则此函数的定义域为 . 【答案】 【分析】分类讨论分两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，∴； 当时，，∴，∴. 故答案为：. 55．已知函数 的值域为，则的定义域可以是 【答案】（答案不唯一） 【分析】解分式不等式得到范围，写出符合题意的定义域即可. 【详解】令，解得或， 则的定义域可以是， 故答案为：（答案不唯一）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 函数的概念 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数的概念 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 2.具体函数的定义域和值域 (1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R，值域为R. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R，当a>0时，值域是；当a<0时， 值域是. (3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}. 3.同一个函数的判断 判断两个函数为同一个函数的注意点： (1)判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数. (2) 若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数. (3)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (4)在化简解析式时，必须是等价变形. 注意点： (1)A，B是非空的实数集，定义域是A，值域是集合B的子集. (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. (3)“y=f(x)”是数学符号之一，体现变量y与变量x的对应关系，不表示y等于f与x的乘积.其中的f表示对应关系，f(x)可以是解析式的形式，也可以是图象或表格的形式. (4)函数三要素：定义域、对应关系与值域. 知识点2 区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，+∞) {x|x>a} (a，+∞) {x|x≤b} (-∞，b] {x|x<b} (-∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 注意点： (1)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立，但因为区间的左端点必须小于右端点，所以区间只能表示连续的数集. (2)区间的开闭是由端点值能否取到来决定的，所以区间的开闭不能混淆，这要求我们用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. (3)“∞”是一个符号，而不是一个数. 知识点3 抽象函数与复合函数 1.抽象函数的定义：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 2.复合函数的定义 如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，那么当⊆时，称函数为与在上的复合函数，其中叫作中间变量，叫作内层函数，叫作外层函数． 【注】由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的真子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域． 3.抽象函数或复合函数的定义域 （1）函数的定义域是指的取值所组成的集合； （2）函数的定义域是指的取值范围，而不是的取值范围． （3）同一对应法则下，括号内的取值范围相同，即，，三个函数中的，，的取值范围相同． （4）已知函数的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范围（值域）为，求的取值范围； （5）已知的定义域为，求的定义域,其实质是已知中的的取值范围为，求的取值范围（值域），此范围就是的定义域． 思路方法总结 1.函数关系的判断 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)判断图形是否为函数关系的步骤 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 2.求函数的定义域与值 (1)求定义域的依据：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，0次幂的底数不为0等，如果解析式中含有多个式子，则定义域是使得各式子都有意义的数的集合.另外，在实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义. (2)函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示. (3)函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式求f(a)(a在定义域之内)的值时，只需用a替换表达式中的x即得. ②已知f(x)与g(x) 求f(g(a))的值，应遵循由内往外的原则，即先计算g(a)的值，再将该值作为f(x)的自变量去替换表达式中的x进行求解. (3)抽象函数的定义域 ①若函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集. ②若函数f(g(x))的定义域为[c，d]，则f(x)的定义域即为g(x)在[c，d]上的值域. 3.求简单函数的值域的方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法. (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域. (4)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域. 典例·举一反三 题型一 函数关系的判断 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．下列图象中，可以表示函数的为（    ） A．B．C． D． 3．下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 4．若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    5．已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二 区间的定义与表示 6．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 7．已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．用区间表示集合 . 9．若为一确定区间，则a的取值范围是 ． 10．用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 题型三 具体函数的而定义域 11．函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 12．函数的定义域为（　　） A．或 B．或 C． D． 13．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 14．下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 15．函数的定义域为 ． 题型四 抽象函数的定义域 16．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 17．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 18．（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 19．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 20．（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 题型五 具体函数的函数值计算 21．已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 22．已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 23．若函数，则 ． 24．已知，则 ． 25．已知定义在上的函数满足，则 ， ． 题型六 抽象函数的函数值计算 26．已知定义在上的函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-2 27．已知函数对任意x，都满足，且，则（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 28．设函数的定义域为，若，则 ． 29．设定义在R上的函数满足，则= ． 30．已知函数的定义域为，且，，则 ． 题型七 已知函数值求参数 31．已知函数，. (1)求； (2)若，求的值. 32．已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 33．已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 34．如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为 ． 35．若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型八 简单函数的值域 36．求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 37．下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 38．下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 39．函数的值域 ． 40．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 题型九 同一函数的判断 41．下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 42．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 43．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 44．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 45．下列四组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 题型十 复杂函数的值域 46．下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 47．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 48．已知函数，则的值域为 . 49．求函数的值域． 50．求函数的值域. 题型十一 已知值域求定义域 51．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 52．已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 53．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ） A． B． C． D． 54．若函数的值域是，则此函数的定义域为 . 55．已知函数 的值域为，则的定义域可以是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $