3.2.2 双曲线的简单几何性质 学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2·双曲线的简单几何性质 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、掌握双曲线的简单几何性质，包括范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等 2、理解双曲线离心率的定义及其对双曲线形状的影响，能根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程 3、体会利用代数方法研究几何图形性质的思想 通过分析双曲线的几何性质，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用双曲线几何性质解决相关问题，提升数学运算、直观想象素养 重点 双曲线的简单几何性质 双曲线离心率的定义及其对双曲线形状的影响 难点 深入理解双曲线各几何性质之间的内在联系 结合双曲线的几何性质，解决与直线和双曲线位置关系相关的问题 知识导入 类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 可以从双曲线的标准方程 (数) 和图形 (形) 两方面进行研究，研究双曲线的范围、对称性、顶点和离心率. 知识清单 知识点一 双曲线的简单几何性质 双曲线的简单几何性质： 1.范围：双曲线上点的横坐标的范围是_____________或_____________，纵坐标的范围是_____________. 2.对称性：关于x轴、y轴和_____________都对称. 3.顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点，____________，它们叫做双曲线的顶点； 线段叫做双曲线的_____________，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长； 线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的_____________. 4.渐近线：_____________. 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 5.离心率：_____________. 例题讲解 例 1 求双曲线 9y2-16x2＝144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 例2双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图 (1))．它的最小半径为 12 m，上口半径为 13 m，下口半径为 25 m，高为 55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程 (精确到 1 m)． 例3 动点 M(x，y) 与定点 F(4，0) 的距离和它到定直线 l： 的距离的比是常数，求动点 M 的轨迹． 试题练习 1.已知双曲线C关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则C的实轴长为( ) A.3 B.6 C.4 D.8 2.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是( ) A. B. C. D. 3.已知双曲线，则当实数m变化时，这些双曲线有( ) A.相同的焦点 B.相同的实轴长 C.相同的离心率 D.相同的渐近线 4.已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是( ) A.的最大值为4 B.的最大值为2 C.的最小值为 D.的最小值为 5.若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则C的虚轴长为( ) A. B. C. D. 6.（多选）已知双曲线，则( ) A.双曲线E的实轴长为8 B.双曲线E的虚轴长为3 C.双曲线E的离心率为 D.双曲线E的渐近线的斜率为 7.若焦点在y轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，则的离心率为____. 8.双曲线的焦点到顶点的最小距离是_______. 9.已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且C的两顶点之间的距离为4.则C的方程为________. 课后练习 1.双曲线与椭圆的焦点相同，则( ) A.1 B. C.1或 D.2 2.已知双曲线（，）的焦距是虚轴长的4倍，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 3.若双曲线的焦距为6，则( ) A.5或-1 B.3 C.5 D.-1 4.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的焦距为( ) A. B. C. D. 5.已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( ) A.4 B.3 C.2 D. 6.满足双曲线的是( ) A.焦距是2 B.离心率是 C.渐近线是 D.实轴是4 7.焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 8.若椭圆C：的焦点和顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（ ） A. B. C. D. 9.（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若，e为C的离心率，则( ) A. B.C的虚轴长为 C. D.C的一条渐近线的斜率为 10.双曲线的渐近线方程________. 11.设双曲线的左、右焦点分别为，，且，则C的渐近线方程为______________. 12.若双曲线的离心率，则______________. 答案以及解析 知识清单 1. 2.原点 3. 实轴 虚半轴长 4. 5. 例题讲解 例题1 解：把双曲线的方程 9y2-16x2＝144 化为标准方程. 由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3；，焦点坐标是 (0，-5)，(0，5)；离心率 ；渐近线方程为 ． 例题2 解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图 (2) 所示的直角坐标系 Oxy，使小圆的直径 AA′ 在 x 轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径 CC′，BB′ 都平行于 x 轴，且 |CC′|＝13×2，|BB′|＝25×2． 解：设双曲线的方程为，点 C 的坐标为 (13，y)，则点 B 的坐标为 (25，y-55)． 因为直径 AA′ 是实轴，所以 a＝12．又 B，C 两点都在双曲线上，所以 ．消去 y．得. 化简得 19b2＋275b-18 150＝0．　 解方程，得 b≈25 (负值舍去)． 因此所求双曲线的方程为 例题3 解：设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据题意，动点 M 的轨迹就是点的集合， 由此得． 将上式两边平方，并化简，得 7x2－9y2＝63，即. 所以，点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上，实轴长为 6、虚轴长为的双曲线 (如图)． 课堂练习 1.答案：B 解析：由题意设双曲线C的方程为， 则，解得，故所求实轴长为. 故选B. 2.答案：D 解析：因为双曲线的离心率为， 所以，故，即，， 解得，故，即渐近线方程是，故D正确. 故选：D. 3.答案：D 解析：当时，方程可化为，则，，，双曲线C的焦点在x轴上，实轴长为，离心率为，渐近线方程为；当时，方程可化为，则，，，双曲线C的焦点在y轴上，实轴长为，离心率为，渐近线方程为.所以这些双曲线有相同的渐近线.故选D. 4.答案：D 解析：根据题意，得，，设，，则，又，所以，因为，所以当时，取得最小值，没有最大值.故选D. 5.答案：B 解析：对于双曲线， 其渐近线方程为，即. 点到渐近线（取这条渐近线计算，取另一条结果相同）的距离d， 已知距离，则. 即，两边同时平方可得，解得. 把代入可得虚轴长为. 故选：B. 6.答案：AD 解析：由得双曲线，， ， 实轴，虚轴，故A选项正确，B选项错误； 离心率，故C选项错误； 渐近线方程，则斜率为，故D选项正确. 故选：AD. 7.答案： 解析：双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为， 依题意可得， 所以的离心率. 故答案为：. 8.答案：1 解析：双曲线的焦点到顶点的最小距离为 ， 故答案为：1 9.答案： 解析：由题可得，故，因为C的一条渐近线方程为， 所以，即，故C的方程为. 故答案为：. 课后练习 1.答案：A 解析：因为双曲线的焦点在x轴上，所以椭圆的焦点在x轴上，依题意得解得. 故选：A. 2.答案：C 解析：因为C的焦距是虚轴长的4倍，所以， 则， 所以． 故选：C. 3.答案：D 解析:若双曲线的焦点在x轴上 依题意可得，解得； 若双曲线的焦点在y轴上， 依题意可得，解得. 综上可得：. 故选：D 4.答案：D 解析：双曲线的渐近线方程为， 所以，解得， 因此，双曲线的焦距为. 故选：D. 5.答案：C 解析：由题意，设、、， 则，， ， 则， 则. 故选：C. 6.答案：D 解析：由双曲线，则、、， 所以焦距为，离心率为，渐近线斜率为，实轴长为4. 故选：D. 7.答案：C 解析：令双曲线的实轴长为，焦距为，而虚轴长， 依题意，， 即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 8.答案：A 解析：由椭圆可得，，， 且焦点在y轴上， 可知椭圆的长轴顶点为，焦点为， 所以双曲线的焦点为，顶点为， 设双曲线方程为，可得，， 则， 所以双曲线C的方程为. 故选：A. 9.答案：ACD 解析：双曲线的左、右焦点分别为，， 若，可得，即， 所以，，，，渐近线的斜率为， 所以ACD正确，B不正确. 故选：ACD 10.答案： 解析：∵双曲线的，，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为 ∴双曲线的渐近线方程为 故答案为： 11.答案： 解析：设c为C的半焦距，则，由，解得， 又，故C的渐近线方程为. 故答案为：. 12.答案：48 解析：根据双曲线方程知，，并在双曲线中有， 离心率，，. 学科网（北京）股份有限公司 $