精品解析：上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高二上学期开学摸底检测数学试题A

2025学年 复旦大学附属中学高二上学期开学摸底检测试卷（A卷） 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1．本试卷的选择题均为单选题 2．解答题需要写出必要的计算说明过程 3．试卷共4页，答题纸共4页，请在答题纸上准确填写考号 4．请自备科学计算器 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 将小数化为最简分数：________． 2. 若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________． 3. 已知某等腰三角形一内角满足，则该等腰三角形的腰与底之比为________． 4. 已知，不共线，，，若平面内任意向量，其中，则实数的取值范围是_______． 5. 若两函数关于一三象限角平分线对称，则它们互为反函数，我们定义：若两函数关于二四象限角平分线对称，则它们互为“逆函数”，若某函数上的点P在其“逆函数”上的对应点为(2025，2026)，则点P的坐标为________． 6. 小顾同学学习了编程后，决定利用函数汇编一套输入法，如：— 可以用函数y=1的图像表示，请写出一个可以表示字母v的函数：________． 7. 设常数，已知函数的最小正周期为12，则的值为______． 8. 若两个向量在同一个非零向量方向上的数量投影的绝对值大小相等，则称这两个向量为方向上的“相似向量”，若存在两个相互垂直的非零向量，使得一个四边形四边所对应的八条向量均互为对应向量方向上的“相似向量”，则这个四边形的形状为________． 9. 已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为________． 10. 若在幂函数上且对任意均有，则x的值为________． 11. 为了求方程的虚根，我们可以把原方程变形为，则由此可以求得原方程的一个虚根，若的实部为某周长为的扇形的圆心角的余弦值，则该扇形的面积为________． 12. 已知重心为，过点作直线分别交边，于点，（均不与顶点重合），则的最小值为________． 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 已知函数，则角所处象限为（ ） A. 第一象限或第二象限 B. 第一象限或第三象限 C. 第二象限或第四象限 D. 第二象限或第三象限 14. 已知在中，角所对应的边为，则下列序号中， 的充要条件有（ ） ①：角成等比数列且成等差数列 ②：角成等差数列且成等比数列 A. ①② B. ① C. ② D. ①②都不是 15. 新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列称为的对应数列，称为数列的对应函数，则下列命题中所有真命题的序号为（ ） 命题①：对数函数的对应数列为等比数列 命题②：等比数列的对应函数可能为指数函数，指数函数的对应数列一定为等比数列 命题③：幂函数在第一象限的单调性与其对应数列相同 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ② 16. 在内，下列说法可能正确的个数是（ ） ①三个内角的正弦值之和为0 ②三个内角的余弦值之和为0 ③三个内角的正切值之和为0 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知复数在复平面上对应的向量为，复数在复平面上对应的向量为 （1）若，，，求： 与的夹角（用反三角形式表示）； （2）小苒同学发现：，请从代数角度予以证明并直接写出其几何意义． 18. 设是虚数，若复数是实数，其中. （1）若直线的斜率为，且复数在复平面上对应的点为，求：的值； （2）对于定义在上的函数，小张同学有下列两个命题，请选择其中的真命题并直接写出对应变化关系：命题①：函数的奇偶性会随的变化而变化；命题②：函数的单调性会随的变化而变化． 19. 已知复数，复数， （1）请完善的函数性质信息表，并根据表格在右侧画出其一个周期内的大致图像： 解析式： 定义域： 值域： 单调性： 奇偶性： 周期： 对称性： （2）当4时，求：． 20. 设，，设为锐角三角形，角所对的边 （1）求函数的单调增区间； （2）若，求：的值； （3）在（2）的条件下，若角所对的边，求的面积． 21. 新定义：已知函数，若的最小正周期为T，则称是“P级半周期函数对” （1）试判断：①：， ②：与是否为级半周期函数对； （2）若和定义域均为，求证：命题①：和是“0级半周期函数对” 是命题②：对于任意，都有和是“P级半周期函数对”的充要条件； （3）若和是“P级半周期函数对”，其中是奇函数，的定义域为，若已知数列的前n项和为，且当时满足，求：数列所有项的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年 复旦大学附属中学高二上学期开学摸底检测试卷（A卷） 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1．本试卷的选择题均为单选题 2．解答题需要写出必要的计算说明过程 3．试卷共4页，答题纸共4页，请在答题纸上准确填写考号 4．请自备科学计算器 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 将小数化为最简分数：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列前n项和公式求解. 【详解】. 故答案为： 2. 若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】设关于的方程的两根虚根为，则且，即可求出的值，再代入检验. 【详解】设关于的方程的两根虚根为，则且， 所以，又，所以， 当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意； 当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意； 所以. 故答案为： 3. 已知某等腰三角形一内角满足，则该等腰三角形的腰与底之比为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据特殊角的三角函数值和的范围求出的值，进而得到底角的值，再根据三角函数的定义求解即可. 【详解】因为某等腰三角形一内角满足，所以， 解得或，即或， 由可知为顶角， 设该等腰三角形的腰为，底为， 当顶角时，底角为， 所以，解得，即腰与底之比为； 当顶角时，底角为，所以， 因为， 所以，即腰与底之比为， 故答案为：或 4. 已知，不共线，，，若平面内任意向量，其中，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，与不共线，假设求出即可得出答案. 【详解】由题意可知，与不共线， 设与共线，因，则，使得， 即， 因为，不共线，结合平面向量基本定理可得，，则， 故实数的取值范围是. 故答案为： 5. 若两函数关于一三象限角平分线对称，则它们互为反函数，我们定义：若两函数关于二四象限角平分线对称，则它们互为“逆函数”，若某函数上的点P在其“逆函数”上的对应点为(2025，2026)，则点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】若与关于二四象限角平分线对称，得出坐标关系, 【详解】由二四象限角平分线对称，可得. 故答案为： 6. 小顾同学学习了编程后，决定利用函数汇编一套输入法，如：— 可以用函数y=1的图像表示，请写出一个可以表示字母v的函数：________． 【答案】(不唯一）. 【解析】 【分析】通过的形状得到可以为两对称直线，再结合所学知识，含绝对值的函数即可满足要求. 【详解】的图象满足对称，且形状与相似 故答案为：(不唯一）. 7. 设常数，已知函数的最小正周期为12，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据正切型函数的性质求出的值，然后利用诱导公式和两角差的正弦公式求解即可. 【详解】根据正切型函数性质，，求得， 当时，， 当时，. 故答案为：或 8. 若两个向量在同一个非零向量方向上的数量投影的绝对值大小相等，则称这两个向量为方向上的“相似向量”，若存在两个相互垂直的非零向量，使得一个四边形四边所对应的八条向量均互为对应向量方向上的“相似向量”，则这个四边形的形状为________． 【答案】菱形 【解析】 【分析】根据相似向量可得中两正两负且它们的绝对值相等，根据数量积的运算律及向量的线性运算可得垂直且平分，故可得四边形为菱形. 【详解】因为八条向量均互为对应向量方向上的“相似向量”， 故这八条向量与的数量积要么相等，要么互为相反数. 而，所以， 故中要么全为零，要么两正两负，且正数和负数互为相反数. 若全为零，则都和轴垂直， 这与题设中的四边形矛盾， 故中两正两负①. 不妨设为正，若为正， 则，，， 故即，故，即，故， 取的中点为，则即为， 故即，同理，故为共线向量， 故过的中点， 而在方向上的投影数量相同或相反， 故或， 若，则即，这与题设中的四边形矛盾. 若，则，故， 同理，结合为的中点可得， 故在向量方向上的投影数量的绝对值即为， 故，故相互垂直且平分，故四边形为菱形. 若为正， 则，，， 故且 所以且， 所以即，而， 故即，故共线，这与题设中四边形矛盾. 若为正，同理可证四边形为菱形. 综上，四边形为菱形， 故答案为：菱形. 9. 已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将求向量的模的最小值转换为求向量的平方的最小值，进而用的代数式表示，最后利用配方法求解. 【详解】 进而化简得 将代入上式， 得. 又因为，故，代入上式化简， 得 故当时，取最小值，即模的最小值为. 故答案为：. 10. 若在幂函数上且对任意均有，则x的值为________． 【答案】或或，. 【解析】 【分析】根据幂函数定义得出，从而建立方程，再结合二倍角公式求解，由以及正切函数的定义域的要求进行检查，得出符合题意的解. 【详解】由题，则有，而 化简得， 则有 故或或， 即或或或 解得或或或， 又对任意恒成立， 则有，，则，， 且，即，， 因此当时，； 当时，，当时，，则； 而时，满足且满足； 当或，或是符合题意的， 综上，或或，. 故答案为：或或，. 11. 为了求方程的虚根，我们可以把原方程变形为，则由此可以求得原方程的一个虚根，若的实部为某周长为的扇形的圆心角的余弦值，则该扇形的面积为________． 【答案】或或或， 【解析】 【分析】由已知可得，化简可求，，由此可求方程的虚根，再证明，，由此可得扇形的圆心角，由条件结合扇形弧长公式求扇形半径，再求扇形面积. 【详解】由已知， 所以 所以， 所以，故， 所以，故， 所以或， 当时，， 方程的判别式为， 方程的根为，， 方程的判别式为， 方程的根为，， 设扇形的圆心角为，则，或， 设锐角满足关系，因为， 所以，故， 所以，所以，， 又， ，所以， 所以，所以， 所以，所以，， 因为，或， 所以或或或， 设扇形的半径为， 当时，由已知可得， 所以，扇形的面积， 当时，由已知可得， 所以， 扇形的面积， 当时，由已知可得， 所以， 扇形的面积， 当时，由已知可得， 所以， 扇形的面积， 所以扇形的面积可能为或或或， 故答案为：或或或. 12. 已知重心为，过点作直线分别交边，于点，（均不与顶点重合），则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，先根据为的重心，明确的关系，根据，用表示出，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】如图： 设，.由题意，. 因为为的重心，所以. 又因为三点共线，所以. 又，所以，所以；同理. 因为，， 如图，延长交于点，则点为边的中点， 故，则得， 所以 因为（当且仅当即时取等号，此时.） 故得，即的最小值为. 故答案为： 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 已知函数，则角所处象限为（ ） A. 第一象限或第二象限 B. 第一象限或第三象限 C. 第二象限或第四象限 D. 第二象限或第三象限 【答案】B 【解析】 【分析】结合对数的定义列出不等式组，根据正弦、余弦函数的性质求解即可. 【详解】由题意，，则， 所以，则， 则为偶数时，角在第一象限， 为奇数时，角在第三象限， 所以角所处象限为第一象限或第三象限. 故选：B. 14. 已知在中，角所对应的边为，则下列序号中， 的充要条件有（ ） ①：角成等比数列且成等差数列 ②：角成等差数列且成等比数列 A. ①② B. ① C. ② D. ①②都不是 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理化简题干中的等式求出角，得到必要条件.然后分别以条件①②为条件求出角即可判断出充分必要条件.①利用等比等差数列得到相应等式，讨论等比数列的公比为1和不为1，分别得到角，作出判断；②由等差数列求得角，再由等比数列和正弦定理得到边的关系，结合余弦定理得到边的关系，即可求得角，作出判断. 【详解】由 和正弦定理，，整理得， 因，则.此时①②均成立； 下面判断由①能否推得 . 由成等差数列，可得，由正弦定理，， 两边取平方，整理得（*）， 又由角成等比数列，∴，设公比为，则， （1）当时，，显然成立； （2）由对称性，不妨设，则， 又由成等差数列可得，即， 构造函数，通过作图工具（或者计算器）可得该函数在仅有一个零点1，与假设不符（该处无法严格证明，如您能提供解析，请联系QQ：414440345，期待您的指导）； 故由①能推得. 故角成等比数列且成等差数列是 的充分必要条件； 下面判断由②能否推得 . 由角成等差数列，∴，又∵，即， 又由成等比数列，可得，由正弦定理，， 再由余弦定理，，代入化简得，故， 则有，故成立. 故角成等差数列且成等比数列是 的充要条件. 故选：A 15. 新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列称为的对应数列，称为数列的对应函数，则下列命题中所有真命题的序号为（ ） 命题①：对数函数的对应数列为等比数列 命题②：等比数列的对应函数可能为指数函数，指数函数的对应数列一定为等比数列 命题③：幂函数在第一象限的单调性与其对应数列相同 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ② 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义，利用等比数列、指数函数、对数函数、幂函数等知识分别分析每个命题，判断其真假性. 【详解】命题①，对于对数函数，当为正整数时，， 设对应数列为,， ，当变化时，不是常数，例如无意义，， 不是等比数列，命题①错误. 命题②，设等比数列为，公比为，， 当时，，此时为指数函数. 所以等比数列的对应函数可能为指数函数. 设指数函数为且，当为正整数时，， 设的对应函数为，则，， ，是常数，是等比数列. 所以指数函数的对应数列一定为等比数列，命题②正确. 命题③，设幂函数，当为正整数时，， 设对应数列为，则，， 幂函数在第一象限的单调性由的正负决定， 当时，在第一象限单调递增；当时，在第一象限单调递减. 由新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列称为的对应数列， 说明数列单调递增，则幂函数在第一象限的单调性与其对应数列不一定相同，命题③错误. 综上，只有命题②正确. 故答案：D 16. 在内，下列说法可能正确的个数是（ ） ①三个内角的正弦值之和为0 ②三个内角的余弦值之和为0 ③三个内角的正切值之和为0 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数的性质，结合和角的余弦、正切化简推理判断. 【详解】令的三内角分别为，不妨令，则均为锐角， 对于①，，则，①错误； 对于②， ，②错误； 对于③，若，则，无意义， 若，则 ，③错误， 所以命题正确的个数为0. 故选：A 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知复数在复平面上对应的向量为，复数在复平面上对应的向量为 （1）若，，，求： 与的夹角（用反三角形式表示）； （2）小苒同学发现：，请从代数角度予以证明并直接写出其几何意义． 【答案】（1） （2）证明见解析，平行四边形对角线平方和等于其四边平方和 【解析】 【分析】（1）根据题意，由向量的夹角公式代入计算，即可得到结果； （2）结合复数的模长公式代入计算，即可证明. 【小问1详解】 由题意可得，则， 因为，所以， 且， 即，解得， 所以， 所以， 设与的夹角为，则， 所以， 所以， 所以与的夹角为. 【小问2详解】 设，其中， 则， ， 则. 其几何意义表示平行四边形对角线平方和等于其四边平方和. 18. 设是虚数，若复数是实数，其中. （1）若直线的斜率为，且复数在复平面上对应的点为，求：的值； （2）对于定义在上的函数，小张同学有下列两个命题，请选择其中的真命题并直接写出对应变化关系：命题①：函数的奇偶性会随的变化而变化；命题②：函数的单调性会随的变化而变化． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意求出和表示出复数，代入复数，令其虚部为0，求解即可； （2）对于命题①，利用函数奇偶性的定义即可判断出函数的奇偶性；对于命题②，依次写出时，时，时，时函数的单调性即可. 【小问1详解】 直线的斜率， 再由复数在复平面上对应的点为知， 则，化简得： ， 因为复数是实数，所以，解得. 【小问2详解】 命题①错误，不论取何值，都有：，，，即函数始终为奇函数； 命题②正确，当时，函数在和上严格单调递增； 当时，函数在和上严格单调递减； 当时，函数在与上严格单调递增，在与上严格单调递减； 当时，函数在与上严格单调递减，在与上严格单调递增. 19. 已知复数，复数， （1）请完善的函数性质信息表，并根据表格在右侧画出其一个周期内的大致图像： 解析式： 定义域： 值域： 单调性： 奇偶性： 周期： 对称性： （2）当4时，求：． 【答案】（1）表格及作图见解析 （2） ，或 【解析】 【分析】（1）结合的定义，表达出函数的解析式，即可表达性质，得出答案； （2）结合已知，，化简可得，即可得解. 【小问1详解】 解析式： 定义域： 值域： 单调性： 单间区间： 单增区间： 奇偶性： 奇函数 周期： 对称性： 无对称轴，对称中心： 【小问2详解】 因为，化简可得，，此时，，解得. 20. 设，，设为锐角三角形，角所对的边 （1）求函数的单调增区间； （2）若，求：的值； （3）在（2）的条件下，若角所对的边，求的面积． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及三角函数的性质结合角的范围即可求解； （2）根据（1）结合已知及角的范围得出，最后应用正弦定理及合比定理计算求解； （3）根据已知条件及余弦定理，利用余弦定理的推论及三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以的单调增区间为且， 所以函数的单调增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为， 所以,即， 因为， 所以, 所以，即，又因为， 所以. 【小问3详解】 由余弦定理可知，， 将代入并整理得，解得或. 又因为为锐角三角形， 所以，即，解得, 所以. 所以的面积为. 21. 新定义：已知函数，若的最小正周期为T，则称是“P级半周期函数对” （1）试判断：①：， ②：与是否为级半周期函数对； （2）若和定义域均为，求证：命题①：和是“0级半周期函数对” 是命题②：对于任意，都有和是“P级半周期函数对”的充要条件； （3）若和是“P级半周期函数对”，其中是奇函数，的定义域为，若已知数列的前n项和为，且当时满足，求：数列所有项的和． 【答案】（1）①②都不是 （2）证明见解析 （3）数列所有项的和不存在. 【解析】 【分析】（1）结合定义判断即可； （2）先证明充分性，再证明必要性即可； （3）结合P级半周期函数对，可分析出定义域关于原点对称，进而解出，结合验证及求通项即可得解. 【小问1详解】 （1）①②都不是 ①无最小正周期 ②值不相等 【小问2详解】 （2）由周期性，若有满足和是“P级半周期函数对”，则可证明对任意x恒成立，即对任意P，和都是“P级半周期函数对”，充分性得证； 反之若对任意P，和都是“P级半周期函数对”，自然时满足和是“P级半周期函数对”，必要性得证； 【小问3详解】 因为和是“P级半周期函数对”， 由（2）知此时对任意的恒成立，又为奇函数， 所以也为奇函数，故函数的定义域关于原点对称， 所以，所以， 所以， 所以或或， 当时，函数的定义域为， 由已知，，所以， 所以，矛盾，故， 当时，函数的定义域为， 由已知，，所以， 所以， 所以，故，即， 又，故，故， 所以， 所以当为正偶数时，，当为正奇数时， 所以数列所有项的和不存在， 当时，函数的定义域为， 由已知，，所以， 所以， 所以，故，即， 又，故，故， 所以， 所以，，，，， 所以数列所有项的和不存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $