3.2.1单调性与最大（小）值12题型分类（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.2.1单调性与最大（小）值12题型分类 一、函数的单调性及其符号表达 (1)函数单调性的概念 函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性． (2)函数单调性的符号表达 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 二、增函数、减函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 三、单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求： (1)属于同一个区间D； (2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替； (3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2. 2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝它的定义域为Z，但不具有单调性． 3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性． 5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点． 四、函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 1．对函数最值的三点说明 (1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方． (3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点． 2．函数最值与函数值域的关系 函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值． 3．利用单调性求最值的常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)． （一） 证明或判断函数的单调性 定义法证明单调性的步骤 判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作． 利用定义法判断函数的单调性的步骤如下： 注意：对单调递增的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0. 对单调递减的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. 题型1：利用函数单调性定义证明单调性 1．（2025高一·全国·专题练习）证明：函数在区间上单调递增． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，试判断在区间上的单调性． 3．（2025高一·全国·专题练习）证明：在区间上单调递增． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知函数.判断函数在上的单调性，并证明； 5．（2025高一·全国·课后作业）讨论函数，在上的单调性 6．（2025高一·全国·专题练习）已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数. 题型2：判断函数的单调性 7．（2025高一·天津北辰·阶段练习）下列函数中，在区间上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 9．（2025高一·全国·课后作业）设函数，在区间上都是增函数，则在区间上，下列说法中： ①是增函数；     ②是增函数； ③是增函数；       ④是增函数． 所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （二） 求函数的单调区间 求函数单调区间的三种方法 方法一：转化为已知的函数(如一次函数、二次函数等)的单调性判断． 方法二：定义法，即先求出定义域，再利用单调性的定义进行判断求解． 方法三：图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间． 注：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 题型3：求函数的单调区间 10．（2025高一·全国·专题练习）求函数的单调减区间． 11．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减． (1)； (2)； (3)． 12．（2025高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ． 13．（2025高一·广东深圳·期中）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 14．（2025高一·安徽六安·期中）函数的单调递减区间为 ． （三） 函数单调性的应用 1、由函数单调性求参数范围的处理方法是： (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性. 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 2、利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)利用抽象函数的单调性求范围． ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)<f(b)⇔ ②方法：依据函数的单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． 题型4：利用函数单调性求参数的取值范围 15．（2025高一·江西南昌·期中）若在上单调递减，则实数满足 （    ） A． B． C． D． 16．（2025高一·全国·专题练习）已知函数．若函数在区间上单调，求实数a的取值范围． 17．（2025高一·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数的图象过点和，求的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围． 18．（2025高一·全国·课后作业）若函数f(x)=在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2025高一·安徽安庆·期中）若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是 . 20．（2025高一·海南海口·期中）（多选）已知函数是上的增函数，则a的值可以是（    ） A． B． C． D．1 题型5：利用函数的单调性比较大小 21．（25-26高一·全国·课前预习）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 22．（2025高一·山东潍坊·期中）（多选）已知函数的定义域是，且在区间上是增函数，在区间上是减函数，则以下说法一定正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 23．（2025高一·全国·课后作业）已知函数在上是递减函数，且，则有（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 25．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 题型6：利用函数单调性解不等式 26．（2025高一·全国·专题练习）函数在区间上是增函数，且，求实数x的取值范围． 27．（2025高一·全国·课后作业）已知是定义在上的增函数，且，则满足的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 28．（2025高一·浙江嘉兴·开学考试）函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．（2025高一·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2025高一·湖北武汉·期中）函数是定义在上的增函数，若对于任意正实数，恒有，且，则不等式的解集是 . （四） 利用图象求函数最值 1、利用图象求函数最值的一般步骤 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值． 2、图象法求最值的步骤 题型7：利用图象求函数最值 31．（2025高一·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如下图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是 ． 32．（2025高一·广西南宁·期中）（多选）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．的单调递减区间为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的单调递增区间为和 33．（2025高一·广东韶关·期中）已知函数，则下列说法正确的是 . （1） 函数在上是单调递增 （2） 函数在上是单调递增 （3） 当时，函数有最大值 （4） 当或时，函数有最小值 34．（2025高一·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 （五） 利用单调性求函数最值 1、利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性； (2)利用函数的单调性求出最大(小)值． 2、函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 题型8：利用单调性求函数最值 35．（2025高一·全国·专题练习）求函数在区间上的最大值与最小值． 36．（2025高一·全国·专题练习）求函数在区间上的最大值与最小值． 37．（2025高一·全国·专题练习）求函数在上的最值． 38．（2025高一·全国·专题练习）函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 39．（2025高二·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 题型9：根据函数的最值求参数 40．（2025高一·北京海淀·阶段练习）函数，的最小值为0，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（2025高一·上海闵行·期末）已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值. 42．（2025高一·江苏南通·期中）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 43．（2025高三·全国·专题练习）若函数的最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（2025高三·北京·开学考试）已知函数，若存在最大值，则的取值范围是 . （六） 求二次函数的最值 二次函数最值的求法 (1)探求二次函数y＝f(x)在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得． (2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内． 题型10：求二次函数的最值 45．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，求在区间上的最大值． 46．（2025高一·全国·课前预习）已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 47．（2025高一·广东深圳·期中）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若，求时的最小值． 48．（2025高一·河北廊坊·阶段练习）已知函数（） (1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 49．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)设函数，求函数在区间上的最小值. 50．（2025高一·天津东丽·期中）已知是二次函数，且满足，. (1)求的解析式； (2)直接写出的单调区间； (3)求在区间上的最大值和最小值. （七） 一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； ②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． ③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 题型11：函数不等式恒成立问题 51．（25-26高三·福建龙岩·阶段练习）已知二次函数． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (2)解关于的不等式（其中）． 52．（25-26高三·北京顺义·阶段练习）已知，且的解集为. (1)求t，m的值； (2)若在上恒成立，求的最大值. 53．（25-26高三·吉林长春·开学考试）已知，若不等式对于任意恒成立，则的最小值为 . 54．（2025高二·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是 ． 55．（25-26高三·重庆南岸·阶段练习）三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数．已知三叉戟函数的图象经过点，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若，都有恒成立，求实数m的求值范围． 题型12：函数不等式有解问题 56．（2025高二·福建泉州·期末）已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 57．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 . 58．（2025高一·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 59．（2025高一·四川泸州·期中）已知函数的定义域为，，且.若关于x的不等式在上有解，则a的取值范围为 . 一、单选题 1．（2025高一·全国·课后作业）下列函数在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一·河南信阳·阶段练习）若函数在上单调递增,则a的取值范围是(     ) A． B． C． D． 4．（2025高一·河北秦皇岛·阶段练习）已知函数是R上的增函数，，是其图象上的两点，则的解集是（　　） A． B． C． D． 5．（2025高一·广东佛山·阶段练习）函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，且f（2）＝﹣1，则满足f（2x﹣4）＞﹣1的实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·课后作业）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·课后作业）函数f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（    ）    A．－1，0 B．0，2 C．－1，2 D．，2 8．（2025高一·湖北武汉·阶段练习）已知函数，其定义域是，，则下列说法正确的是　　 A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，无最小值 D．有最大值2，最小值 9．（2025高一·全国·专题练习）求函数,，的值域（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一·全国·课后作业）当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·全国·课后作业）已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2025高一·全国·课后作业）函数在上取得最大值3，最小值2，则实数的值为（   ） A．0或1 B．1 C．2 D．以上都不对 13．（2025高一·天津和平·期中）设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（2025高一·江苏南通·期中）已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是（    ） A．函数在上不具有单调性 B．当时，在上递减 C．若的单调递减区间是，则a的值为 D．若在区间上是减函数，则a的取值范围是 15．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．是减函数 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上的最小值为0 16．（25-26高一·河南驻马店·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 三、填空题 18．（2025高一·全国·专题练习）函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ． 19．（2025高一·全国·课后作业）已知在[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围为 ． 20．（2025高一·江西南昌·期中）与在上都是减函数，则的取值范围是 ． 21．（2025高一·全国·课后作业）已知是定义在上的增函数，，，则不等式的解集为 ． 22．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为 ． 23．（2025高一·河南许昌·阶段练习）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）.若该公司在两地共销售辆，则能获得的最大利润为 万元. 24．（2025高一·全国·课后作业）已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为 ． 25．（2025高一·河南安阳·阶段练习）已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 26．（2025高一·全国·课后作业）画出下列函数的图象，并写出单调区间： (1)； (2)． 27．（2025高一·福建福州·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数在上单调性,并用定义证明; (2)当时,有,求的范围. 28．（2025高一·全国·课后作业）设f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))，F(x)＝g(x)－λf(x)．问是否存在实数λ，使F(x)在区间上是减函数且在区间上是增函数？ 29．（2025高一·全国·专题练习）已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值． 30．（2025高一·山东临沂·期末）某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算.该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中. (1)求，并说明的实际意义： (2)若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益. 31．（2025高一·浙江杭州·期中）已知，函数． (1)当，请直接写出函数的单调递增区间（不需要证明）； (2)记在区间上的最小值为，求的表达式； (3)对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.2.1单调性与最大（小）值12题型分类 一、函数的单调性及其符号表达 (1)函数单调性的概念 函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性． (2)函数单调性的符号表达 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 二、增函数、减函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 三、单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求： (1)属于同一个区间D； (2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替； (3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2. 2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝它的定义域为Z，但不具有单调性． 3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性． 5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点． 四、函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 1．对函数最值的三点说明 (1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方． (3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点． 2．函数最值与函数值域的关系 函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值． 3．利用单调性求最值的常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)． （一） 证明或判断函数的单调性 定义法证明单调性的步骤 判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作． 利用定义法判断函数的单调性的步骤如下： 注意：对单调递增的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0. 对单调递减的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. 题型1：利用函数单调性定义证明单调性 1．（2025高一·全国·专题练习）证明：函数在区间上单调递增． 【答案】证明见解析 【解析】任取，，且， 则． ，，，， ，即． 函数在上是增函数． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，试判断在区间上的单调性． 【答案】单调递减 【解析】函数在上单调递减． 证明如下：任取，，且， 则． 因为，所以，，， 所以，即．所以函数在上单调递减． 3．（2025高一·全国·专题练习）证明：在区间上单调递增． 【答案】证明见解析 【解析】证明  任取，，且， 则， 因为，所以，，所以， 所以，即，因此函数在上单调递增． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知函数.判断函数在上的单调性，并证明； 【答案】函数在上单调递减，理由见详解 【分析】利用定义法即可证明函数的单调性. 【解析】函数在上单调递减；理由如下： 取，规定， 则， 因为，， 所以， 所以， 所以函数在上单调递减. 5．（2025高一·全国·课后作业）讨论函数，在上的单调性 【答案】答案见解析 【分析】对分离常数，利用单调性的定义，对参数进行分类讨论，即可判断函数单调性. 【解析】∵函数= ∴任取，且， 则 =- = ， ∴当，即时， ，即，是减函数； 当，即 时， ，即，是增函数. 6．（2025高一·全国·专题练习）已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性定义，设，则，得证. 【解析】设，则， 从而，即， 又， 即， 故f（x）在R上是增函数. 题型2：判断函数的单调性 7．（2025高一·天津北辰·阶段练习）下列函数中，在区间上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数解析式直接得到函数的单调性，得到正确答案. 【解析】A选项，在R上单调递减，A错误； B选项，在R上单调递增，满足要求，B正确； C选项，在上单调递减，C错误； D选项，在上单调递减，D错误. 故选：B 8．（2025高一·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 【答案】C 【分析】分别判断出，，和的单调性，即可判断． 【解析】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误； 对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误； 对于C：在是增函数，在是减函数， ，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确； 对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数； 设定义域为，取， 则， 当时，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递减， 同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误， 故选：C． 9．（2025高一·全国·课后作业）设函数，在区间上都是增函数，则在区间上，下列说法中： ①是增函数；     ②是增函数； ③是增函数；       ④是增函数． 所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据单调性的性质判断①，利用反例判断②③④. 【解析】因为函数，在区间上都是增函数，所以在区间上是增函数，故①正确； 对于②：令，，，显然、在上单调递增， 当时在上单调递减，故②错误； 对于③、④：令，，，显然、在上单调递增， 则在上单调递减，故③错误； 则在上单调递减，故④错误； 故选：A （二） 求函数的单调区间 求函数单调区间的三种方法 方法一：转化为已知的函数(如一次函数、二次函数等)的单调性判断． 方法二：定义法，即先求出定义域，再利用单调性的定义进行判断求解． 方法三：图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间． 注：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 题型3：求函数的单调区间 10．（2025高一·全国·专题练习）求函数的单调减区间． 【答案】，． 【解析】函数的定义域为，任取，，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即． 所以函数在上单调递减，同理函数在上单调递减． 综上，函数的单调递减区间是，． 11．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)在，上都单调递增． (2)在上单调递减，在上单调递增． (3)在，上单调递增，在，上单调递减． 【解析】（1）函数的单调区间为，，其在，上都单调递增． （2）当时，单调递增；当时，单调递减，所以的单调区间为，，并且函数在上单调递减，在上单调递增． （3）因为．根据解析式可作出函数的图象如图所示， 由图象可知，函数的单调区间为，，，． 在，上单调递增，在，上单调递减． 12．（2025高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ． 【答案】 【解析】．其图象如图所示， 则的单调递增区间是，单调递减区间是． 13．（2025高一·广东深圳·期中）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，先判断函数的奇偶性，然后分段画出图像，即可读取单调减区间. 【解析】由已知，函数为偶函数， 当时，；当时，； 可画出函数图像，图下图所示： 所以函数的单调递减区间为、， 故选：A. 14．（2025高一·安徽六安·期中）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域为，利用复合函数单调性，同增异减的原则，先确定外函数的单调性，再确定内函数的单调性即可得到答案. 【解析】令，解得， 设，， 外函数为增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间， ，对称轴为，其开口向下，故其减区间为. 故答案为：. （三） 函数单调性的应用 1、由函数单调性求参数范围的处理方法是： (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性. 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 2、利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)利用抽象函数的单调性求范围． ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)<f(b)⇔ ②方法：依据函数的单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． 题型4：利用函数单调性求参数的取值范围 15．（2025高一·江西南昌·期中）若在上单调递减，则实数满足 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的图象是开口向上，且以为对称轴，则，解不等式即可得出答案. 【解析】函数的图象是开口向上， 且以为对称轴，若在上单调递减， 所以，解得：. 故选：B. 16．（2025高一·全国·专题练习）已知函数．若函数在区间上单调，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】解：由在区间上单调可知或，即或． 所以，实数a的取值范围是． 17．（2025高一·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数的图象过点和，求的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）过点和，，解得，． （2）由在区间上不单调可知，即，所以实数a的取值范围为． 18．（2025高一·全国·课后作业）若函数f(x)=在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将函数化成，结合反例函数的单调性可求的取值范围. 【解析】由题设可得， 因为函数在区间单调递减， 所以，故， 故选：A . 【点睛】易错点睛：已知含参数的函数在给定范围上的单调性求参数的取值范围时，既要考虑函数的单调性，也要考虑定义域满足的要求，后者往往容易忽视. 19．（2025高一·安徽安庆·期中）若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意在区间上是增函数，同时在区间上恒成立，即可求出结果. 【解析】因为在区间上是增函数， 所以在区间上是增函数， 则，即， 同时在区间上恒成立， 又在区间上是增函数， 所以，即， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 20．（2025高一·海南海口·期中）（多选）已知函数是上的增函数，则a的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】BC 【分析】由二次函数的性质及分段函数的单调性即可得，即可得解. 【解析】由题意，函数的图象开口朝下，对称轴为， 因为函数是上的增函数， 所以，解得. 所以实数的取值可以是，. 故选：BC. 题型5：利用函数的单调性比较大小 21．（25-26高一·全国·课前预习）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性，结合和的符号的可能性即可得解. 【解析】由题意得，即， 由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立． 故选：D 22．（2025高一·山东潍坊·期中）（多选）已知函数的定义域是，且在区间上是增函数，在区间上是减函数，则以下说法一定正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】AD 【分析】根据函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【解析】函数区间上是增函数，在区间上是减函数，则， 函数的最大值为， 、的大小关系不确定，、的大小关系不确定， 故AD选项正确，BC选项错误. 故选：AD. 23．（2025高一·全国·课后作业）已知函数在上是递减函数，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单调性求解. 【解析】是减函数，，； 故选：D. 24．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 【答案】 【解析】因为，函数在区间上单调递减，所以． 25．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【解析】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 题型6：利用函数单调性解不等式 26．（2025高一·全国·专题练习）函数在区间上是增函数，且，求实数x的取值范围． 【答案】 【解析】解：在上是增函数，且，，即． 所以实数x的取值范围为． 27．（2025高一·全国·课后作业）已知是定义在上的增函数，且，则满足的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性进行求解即可. 【解析】因为，所以由， 因为是定义在上的增函数， 所以有， 故选：A 28．（2025高一·浙江嘉兴·开学考试）函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，可知在上单调递减，又，所以,解不等式即可得解. 【解析】由题意,，不失一般性不妨假设，则，所以在上单调递减， 又，所以, 解不等式得,则正实数的取值范围为. 故选：B. 29．（2025高一·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象与性质得到函数在上单调递减，从而得到，即可求解. 【解析】由题意得：当时，， 则函数在上单调递减，且 当时，，则函数在上单调递减， 且， 所以函数在上是减函数， 又， 所以，解得：， 实数的取值范围是. 故选：C. 30．（2025高一·湖北武汉·期中）函数是定义在上的增函数，若对于任意正实数，恒有，且，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据抽象函数的关系将不等式进行转化，利用赋值法将不等式进行转化结合函数单调性即可得到结论． 【解析】，， ， 则不等式等价为， 函数在定义域上为增函数， 不等式等价为， 即，解得， 不等式的解集为， 故答案为：. （四） 利用图象求函数最值 1、利用图象求函数最值的一般步骤 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值． 2、图象法求最值的步骤 题型7：利用图象求函数最值 31．（2025高一·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如下图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是 ． 【答案】，. 【分析】根据函数图象即可求解最大值和最小值. 【解析】由图可知：当时，取最大值，当时，取最小值， 故答案为：， 32．（2025高一·广西南宁·期中）（多选）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．的单调递减区间为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的单调递增区间为和 【答案】ACD 【分析】根据图象直接判断单调区间和最值即可. 【解析】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，D正确． 故选：ACD 33．（2025高一·广东韶关·期中）已知函数，则下列说法正确的是 . （1） 函数在上是单调递增 （2） 函数在上是单调递增 （3） 当时，函数有最大值 （4） 当或时，函数有最小值 【答案】（2）（4） 【分析】作出函数图象，结合图象分析即可得出答案. 【解析】，作出函数的图象如下： 由图象可知函数在上是单调递减，在上是单调递增， 故（1）错误，（2）正确； 由图象可知在或时，函数有最小值，没有最大值， 故（3）错误，（4）正确； 故答案为：（2）（4）. 34．（2025高一·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【解析】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. （五） 利用单调性求函数最值 1、利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性； (2)利用函数的单调性求出最大(小)值． 2、函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 题型8：利用单调性求函数最值 35．（2025高一·全国·专题练习）求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】， 【解析】任取， 则． 因为，所以，，， 所以，所以， 所以在区间上单调递减， 所以，． 36．（2025高一·全国·专题练习）求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】最小值为，最大值为2 【解析】任取，且， 则． 因为，所以． 又，所以， 所以函数在上单调递减． 所以在区间上的最小值是，最大值是2． 37．（2025高一·全国·专题练习）求函数在上的最值． 【答案】最小值为4，最大值为5 【解析】任取，，且， 则 ． ，，，， ，在上单调递减． 同理在上单调递增． 当时，取得最小值4；当或时，取得最大值5． 38．（2025高一·全国·专题练习）函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 【答案】B 【分析】先根据二次函数求出的最小值，无最大值，再根据反比例函数的单调性求解函数的最值，即可得解. 【解析】令，则． 又,故在上单调递减，当，即时，函数有最大值8，无最小值. 故选：B． 39．（2025高二·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求函数单调性，即可得最值. 【解析】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 题型9：根据函数的最值求参数 40．（2025高一·北京海淀·阶段练习）函数，的最小值为0，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性可求的取值范围，注意结合定义域分类讨论. 【解析】， 因为，故， 若，则在为减函数， 故的最小值为，解得， 故. 若，则在为减函数， 故的最小值为，解得，矛盾. 故选：D. 41．（2025高一·上海闵行·期末）已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值. 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分，两种情况，进行分类讨论，根据最大值列出方程，求出实数的值. 【解析】，对称轴为，开口向上， 当时，在上单调递增， 故当时，取得最大值，，解得：，满足， 当时，在上单调递减， 故当时，取得最大值，，解得：，与矛盾，舍去； 综上：. 42．（2025高一·江苏南通·期中）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【解析】当时，，当且仅当时取等号，即取等号；此时函数的最小值为； 当时，， 当时，， 要想函数的最小值为，只需，而，所以； 当时，，显然，符合题意， 综上所述：实数的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用二次函数的性质分类讨论是解题的关键. 43．（2025高三·全国·专题练习）若函数的最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是函数的最小值可得，再由求解即可. 【解析】当时，，因为的最小值为， 所以在单调递减，故，且，在上恒成立. 又，当且仅当时等号成立，所以，解得. 综上，的取值范围是. 故选：A. 44．（2025高三·北京·开学考试）已知函数，若存在最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数有最大值，结合一次函数、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【解析】当时，在上值域为，显然不存在最大值； 当时，在上，而在上最大值为，满足题设； 当时，在上值域为， 若时，在上最大值为， 此时，故存在最大值，满足题设； 若时，在上最大值为， 此时只需，则，即， 故，存在最大值，满足题设； 综上，. 故答案为： （六） 求二次函数的最值 二次函数最值的求法 (1)探求二次函数y＝f(x)在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得． (2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内． 题型10：求二次函数的最值 45．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，求在区间上的最大值． 【答案】 【分析】由分类讨论法解决二次函数定轴动区间最大值问题即可. 【解析】． 当，即时，； 当，即时，； 当时，． 综上所述，． 46．（2025高一·全国·课前预习）已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的对称轴为，由二次函数的单调性，即可求解. （2）分类讨论定区间与对称轴的关系，结合二次函数的图象与性质，可得答案. 【解析】（1）∵函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上单调递减，在上单调递增，且． ∴，． （2）由（1）知对称轴为直线， ①当，即时， ，． ②当，即时， ，． ③当，即时， ，． ④当，即时， ，． 设函数的最大值为，最小值为， 则有， . 47．（2025高一·广东深圳·期中）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若，求时的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质列不等式，从而求得的取值范围. （2）对进行分类讨论，从而求得. 【解析】（1）的开口向上，对称轴为， 由于函数在上是增函数， 所以， 所以的取值范围是. （2）当时，，开口向上，对称轴为， 所以，当时，在时取得最小值，即； 当，时，在时取得最小值， 即； 当时，在时取得最小值，即. 所以. 48．（2025高一·河北廊坊·阶段练习）已知函数（） (1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为，分类讨论，求得函数的最大值，进而求得的表达式； （2）当时，求得，转化为当，恒有，令，得到，分类讨论，求得的取值范围，即可求解. 【解析】（1）解：函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 所以的表达式为. （2）解：当时，可得，可得， 因为当，恒有成立， 所以当，恒有， 令，则， 当时，即时，，解得，所以； 当时，即时，，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 49．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)设函数，求函数在区间上的最小值. 【答案】(1)； (2)详见解析. 【分析】(1)设函数的解析式为，利用待定系数法求解函数的解析式可得； (2)结合(1)的结论可知，对称轴为，分类讨论求解即可. 【解析】（1）设，因为，所以， ，即，得， 所以； （2）由题意知，对称轴为， 当即时，在上单调递增 ，； 当即时，； 当即时，在上单调递减，. 综上，. 50．（2025高一·天津东丽·期中）已知是二次函数，且满足，. (1)求的解析式； (2)直接写出的单调区间； (3)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3)答案见详解 【分析】（1）设，利用待定系数法即可求出解析式； （2）由，二次函数图象开口向上，且对称轴为，可得单调区间； （3）通过讨论，，时，即可求得二次函数在区间上的最值. 【解析】（1）因为是二次函数， 设， ∴， 所以， ∵，即， ∴，即， 又∵，∴， 所以. （2）由（1）知，， 因为，函数图象开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，在区间上单调递减， 所以， ； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， ； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 综上，当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为，最小值为. （七） 一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； ②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． ③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 题型11：函数不等式恒成立问题 51．（25-26高三·福建龙岩·阶段练习）已知二次函数． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (2)解关于的不等式（其中）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）等价变形给定不等式，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可. （2）分类讨论求解含参数的不等式. 【解析】（1）不等式， 当时，恒成立，而， 当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围是. （2）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 52．（25-26高三·北京顺义·阶段练习）已知，且的解集为. (1)求t，m的值； (2)若在上恒成立，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）问题化为的两个根为，且，应用根与系数关系求参数值； （2）问题化为在上恒成立，结合对勾函数的性质求右侧最小值，即可得. 【解析】（1）由题设的两个根为，且，则，可得； （2）由（1）及题设知在上恒成立， 根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，即的最大值为. 53．（25-26高三·吉林长春·开学考试）已知，若不等式对于任意恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，代入，可得，进而验证可以取到即可. 【解析】令，，则不等式为对于任意恒成立， 取，则，即，解得， 当时，则，即， 由于的最小值为， 当时，则满足恒成立，此时符合题意， 故可以取到， 故答案为： 54．（2025高二·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的图像特征，然后根据知道的图像是图像左移个单位长度，要使恒成立，通过分析图像找到相切时的情况，从而确定的取值范围. 【解析】易知函数图象如图所示，因为， 所以函数图象即为函数图象左移个单位长度，    当曲线与直线相切时， 令，即， 则，解得：， 故，恒成立时，由图像可知，. 故答案为：. 55．（25-26高三·重庆南岸·阶段练习）三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数．已知三叉戟函数的图象经过点，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若，都有恒成立，求实数m的求值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用选定系数法求出函数解析式. （2）等价变形给定恒成立的不等式，分离参数并构造函数，利用基本不等式及不等式性质求出最小值即可. 【解析】（1）由函数的图象经过点，得， 由，得，解得， 所以函数的解析式为. （2），不等式恒成立， 令函数，而当时，，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号，则，解得， 所以实数m的取值范围是. 题型12：函数不等式有解问题 56．（2025高二·福建泉州·期末）已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两个函数的值域，再根据题意判断两值域间的包含关系解得. 【解析】因为，对，有. 同理，对，有. 由，，使得，得 ，得. 故选：B. 57．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】由题意可得，分，和三种情况讨论即可求解. 【解析】对任意，总存在使得成立，等价于. 当时，单调递减，. 当时，图象的对称轴为直线. ①当时，在上单调递增， ，，解得； ②当时，在上单调递减， ，，解得； ③当时，，， 解得或，这与相矛盾，故舍去. 综上所述，或. 故答案为：或. 58．（2025高一·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【解析】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 59．（2025高一·四川泸州·期中）已知函数的定义域为，，且.若关于x的不等式在上有解，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用赋值法求出函数的解析式，再代入，转化不等式为在上有解，参变分离转化为求函数的最值问题即可求解. 【解析】令，则， 令，则，则， 所以在上有解，即在上有解， 即存在，使得即， 而函数在上单调递减， 当时，取得最小值，因此， 所以a的取值范围为. 故答案为：. 一、单选题 1．（2025高一·全国·课后作业）下列函数在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别判断选项中的函数在上的单调性即可. 【解析】对于A，反比例函数在上单调递增，当时，函数没有意义，故A不符合题意； 对于B，反比例函数在上单调递减，当时，函数没有意义，故B不符合题意； 对于C，时，，在上单调递增，故C符合题意； 对于D，由二次函数性质可知，在上先减后增，故D不符合题意． 故选：C． 2．（2025高一·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可. 【解析】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 3．（2025高一·河南信阳·阶段练习）若函数在上单调递增,则a的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况进行讨论即可 【解析】当时，则，在上单调递增，满足题意； 当时，的对称轴为， 要使函数在上单调递增，只需，解得 综上，a的取值范围是 故选：D 4．（2025高一·河北秦皇岛·阶段练习）已知函数是R上的增函数，，是其图象上的两点，则的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数单调性可解. 【解析】由已知，得， 则， 在R上单调递增，. 故选：B. 5．（2025高一·广东佛山·阶段练习）函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，且f（2）＝﹣1，则满足f（2x﹣4）＞﹣1的实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，结合单调性及函数的定义域可得不等式，结不等式即可得答案． 【解析】∵，且， ∴， 又∵在上是减函数， ∴，解得，即实数的取值范围是， 故选C. 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，考查数学转化思想方法，是基础题． 6．（2025高一·全国·课后作业）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【解析】由于函数是上的减函数， 则函数在上为减函数，所以，，解得. 且有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题. 7．（2025高一·全国·课后作业）函数f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（    ）    A．－1，0 B．0，2 C．－1，2 D．，2 【答案】C 【分析】根据图象观察即可. 【解析】根据图象观察知， 故选： 8．（2025高一·湖北武汉·阶段练习）已知函数，其定义域是，，则下列说法正确的是　　 A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，无最小值 D．有最大值2，最小值 【答案】A 【分析】将化为，判断在，的单调性，即可得到最值． 【解析】解：函数 即有在，递减， 则处取得最大值，且为， 由取不到，即最小值取不到． 故选：． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于基础题． 9．（2025高一·全国·专题练习）求函数,，的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定最值，即得值域. 【解析】因为，又，所以，即函数的值域为，故选B． 【点睛】本题考查二次函数值域，考查基本求解能力. 10．（2025高一·全国·课后作业）当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据恒成立问题结合二次函数最值分析求解. 【解析】记，则． 而， 当时，， 所以实数a的取值范围是. 故选C． 11．（2025高一·全国·课后作业）已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在上为单调递增函数，求得取得最小值，结合题意，即可求解. 【解析】由题意，函数在上为单调递增函数， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 要使得当时，恒有成立，所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求最值，以及不等式的恒成立问题的求解，着重考查转化思想，以及运算能力. 12．（2025高一·全国·课后作业）函数在上取得最大值3，最小值2，则实数的值为（   ） A．0或1 B．1 C．2 D．以上都不对 【答案】B 【分析】判断二次函数的单调性即可得出结论. 【解析】因为函数，对称轴为，开口方向向上， 所以在上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得， 即，故． 故选：B 13．（2025高一·天津和平·期中）设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别当和求出的范围和解析式，再分别求出每段的值域，然后求其并集可得答案 【解析】当,即，时,或, , 因为，所以， 因此这个区间的值域为. 当时,即，得, 其最小值为， 其最大值为， 因此这区间的值域为. 综上，函数值域为:. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查的值域的求法.解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用. 分类讨论思想的常见类型 ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的； ⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 二、多选题 14．（2025高一·江苏南通·期中）已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是（    ） A．函数在上不具有单调性 B．当时，在上递减 C．若的单调递减区间是，则a的值为 D．若在区间上是减函数，则a的取值范围是 【答案】BD 【解析】对于A，取可判断；对于B，可得的单调递减区间为，即可判断；对于C，由题可得无解，即可判断；对于D，讨论和即可求出. 【解析】对于A，当时，在上单调递减，故A错误； 对于B，当时，对称轴为，开口向上，的单调递减区间为，，在上递减，故B正确； 对于C，若的单调递减区间是，则无解，故C错误； 对于D，当时，在上单调递减，满足题意；当时，若在区间上是减函数，则，解得；综上，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查含参二次函数的单调性问题，解题的关键是求出函数的对称轴和开口方向，根据二次函数的图象和性质列不等式求解. 15．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．是减函数 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上的最小值为0 【答案】AC 【分析】根据一次函数、二次函数、对勾函数的单调性，结合函数单调性的性质逐一判断即可. 【解析】因为，所以函数是减函数，故A正确； 函数在上单调递增，且此时有， 根据复合函数的单调性可知在上单调递减，故B错误； 由对勾函数的性质可知在上单调递增，故C正确； 函数的图象的对称轴为直线且，又函数的图象开口向上， 所以在上的最小值为，故D错误． 故选：AC 16．（25-26高一·河南驻马店·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】先分析每一段函数的单调性，然后再分析分段点处函数值的大小关系，由此求解即可. 【解析】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：ABC. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可. 【解析】对于A，根据函数图象可知函数在上单调递增，故A正确， 对于B，根据函数图象可知函数在上单调递减，故B正确， 由图象可知，，因此不能说函数在上单调递增，C错误； 由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上单调递减，D正确．. 故选：ABD. 三、填空题 18．（2025高一·全国·专题练习）函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】根据函数的单调性可得，解不等式组即可求解. 【解析】由题意得，解得． 所以实数的取值范围是. 故答案为： 19．（2025高一·全国·课后作业）已知在[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围为 ． 【答案】m≤0或m≥4 【分析】求出二次函数的对称轴，利用二次函数的单调性质，可以得到两个不等式，解不等式即可求出实数m的取值范围. 【解析】根据题意，为二次函数，其对称轴为x，若f（x）在[1，3]上是单调函数，则有1或3，解可得m≤0或m≥4，即m的取值范围为m≤0或m≥4，故答案为m≤0或m≥4． 【点睛】本题考查了二次函数的单调性质，考查了数学运算能力. 20．（2025高一·江西南昌·期中）与在上都是减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】函数在区间上是减函数，可得区间是其减区间的子集，进而求出的范围；函数在上是减函数，由幂函数的性质求出的范围. 【解析】函数的对称轴为 ，在区间上是减函数， 函数的单调减区间为， 又其在区间上是减函数， ； 函数在上是减函数， ， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，属于常考题. 21．（2025高一·全国·课后作业）已知是定义在上的增函数，，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】依题意，不等式等价于，利用函数单调性求解即可. 【解析】由可得． 因为，所以不等式，即为． 因为是定义在上的增函数，所以，解得． 故不等式的解集为． 故答案为： 22．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为 ． 【答案】-4 【解析】试题分析：由题意，得在上为减函数，则在也为减函数；所以当时， . 考点：函数的单调性与最值. 23．（2025高一·河南许昌·阶段练习）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）.若该公司在两地共销售辆，则能获得的最大利润为 万元. 【答案】120 【分析】设在甲地销售量,则在乙地销售为,再列出利润函数求最大值即可. 【解析】设在甲地销售量,则在乙地销售为, 则利润为 因为二次函数对称轴为,故当时均取得最大值. 故答案为120 【点睛】本题主要考查方程的思想以及二次函数的最值问题. 24．（2025高一·全国·课后作业）已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为 ． 【答案】或－5 【分析】根据函数解析式确定函数对称轴和定点，数形结合确定最大值点，建立等量关系求解a的值． 【解析】根据所给二次函数解析式可知，对称轴为x=﹣1，且恒过定点（0，1）， （1）当a＜0时，函数在[﹣2，﹣1]上单调递增，在[﹣1，3]上单调递减， 所以函数在x=﹣1处取得最大值，因为f（﹣1）=﹣a+1=6，所以a=﹣5． （2）当a＞0时，函数在[﹣2，﹣1]上单调递减，在[﹣1，3]上单调递增， 所以函数在x=3处取得最大值， 因为f（3）=15a+1=6，所以a=， 故答案为﹣5或． 【点睛】本题考查二次函数的性质，对于给出最值求参题目，一般要结合题中所给解析式大致确定函数图象、分类讨论来研究，属于中档题． 25．（2025高一·河南安阳·阶段练习）已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对任意的,总存在,使成立,转化为两个函数值域的包含关系,进而根据关于的不等式组,解不等式组可得答案． 【解析】由题意，函数．． 根据二次函数的性质，可得当时, ,记． 由题意当时,在上是增函数, ∴,记． 由对任意,总存在,使成立，所以 则，解得： 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象和性质的应用，以及存在性问题求解和集合包含关系的综合应用，其中解答中把对任意的,总存在,使成立,转化为两个函数值域的包含关系是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题． 四、解答题 26．（2025高一·全国·课后作业）画出下列函数的图象，并写出单调区间： (1)； (2)． 【答案】(1)图象见解析;单调递增区间为和，无单调递减区间 (2)图象见解析;单调递增区间为，单调递减区间为和 【分析】（1）根据函数的解析式可作出其图象，即可得单调区间； （2）化简函数的解析式为，结合二次函数性质可作出其图象，即可得单调区间. 【解析】（1）画出的图象如图所示， 可得其单调递增区间为和，无单调递减区间． （2） ，作出该函数的图象如图所示， 观察图象，知该函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． 27．（2025高一·福建福州·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数在上单调性,并用定义证明; (2)当时,有,求的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用函数的单调性定义进行证明即可; (2)根据的取值范围确定和的范围,再依据(1)的结论列出不等式组进行求解即可. 【解析】（1）函数在上为增函数, 证明：设,, , ,, ,, , 则, , 即, 函数在上为增函数. （2）当时,, 且由(1)知,函数在上为增函数, , 解得, 所以m的范围为. 28．（2025高一·全国·课后作业）设f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))，F(x)＝g(x)－λf(x)．问是否存在实数λ，使F(x)在区间上是减函数且在区间上是增函数？ 【答案】存在这样的实数λ(λ＝3). 【分析】先整理函数，进行换元，利用二次函数单调性求参数值即可. 【解析】解：假设存在这样的实数λ，则由f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))， 得g(x)＝(x2＋1)2＋1＝x4+2x2＋2， 所以F(x)＝g(x)－λf(x)＝x4＋(2－λ)x2＋2－λ. 令t＝x2，则t＝x2在(－∞，0)上递减，且当x∈时，t＞；当x∈时，0＜t＜.故要使F(x)在上递减，在上递增， 则函数φ(t)＝t2＋(2－λ)t＋2－λ在上递增，在上递减， 所以函数φ(t)＝t2＋(2－λ)t＋2－λ的图像的对称轴t＝为t＝， 即＝，则λ＝3. 故存在这样的实数λ(λ＝3)，使F(x)在区间上是减函数且在区间上是增函数． 【点睛】本题考查了利用函数单调性求参数的问题，属于中档题. 29．（2025高一·全国·专题练习）已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值． 【答案】最大值为1，最小值为0. 【分析】根据题意作出函数的图象，进而根据图象得到函数的最值. 【解析】作出函数f(x)的图象(如图)．    由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 30．（2025高一·山东临沂·期末）某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算.该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中. (1)求，并说明的实际意义： (2)若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益. 【答案】(1)；发车时间间隔为分钟时，载客量为 (2)发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元． 【分析】（1）将代入函数的解析式，可计算出，结合题意说明的实际意义； （2）求出函数的解析式，分别求出该函数在区间和上的最大值，比较大小后可得出结论. 【解析】（1），实际意义为：发车时间间隔为分钟时，载客量为； （2）， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，当时，取得最大值； 当时，，该函数在区间上单调递减， 则当时，取得最大值． 综上所述，当发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元． 31．（2025高一·浙江杭州·期中）已知，函数． (1)当，请直接写出函数的单调递增区间（不需要证明）； (2)记在区间上的最小值为，求的表达式； (3)对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，将函数的解析式表示为分段函数的形式，可直接写出函数的单调递增区间； （2）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，即可得出的表达式； （3）令，分、两种情况讨论，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【解析】（1）解：当时，， 所以，函数的单调递增区间为. （2）解：由题意可知， ①当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，； ②当时，函数在上单调递减，则. 综上所述，. （3）解：当，时，令，则， ①若，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 此时，，此时； ②若时，当时，函数在上单调递减， 此时，，此时. 综上所述，. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $