13.1 三角形的概念 （预习讲义）2025-2026学年数学人教版八年级上册

第13章 三角形 13.1 三角形的概念 （预习讲义） 学习目标 1. 了解三角形的基本概念，包括定义、边、顶点、内角。 2. 会用符号表示三角形及它的边、顶点、内角。 3. 理解三角形三边之间的关系，并能运用该关系判断三条线段能否组成三角形，以及解决简单的边长取值范围问题。 4. 了解三角形按边的相等关系进行分类。 知识点梳理 1. 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的基本要素 (1) 顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。 一个三角形有三个顶点。 (2) 边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。 一个三角形有三条边。 (3) 内角：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 一个三角形有三个内角。 3. 三角形的表示方法 (1) 三角形用符号“△”表示，顶点是 A、B、C 的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”。 (2) △ABC 的三条边，有时也用 a、b、c 来表示。一般地，顶点 A 所对的边记作 a，顶点 B 所对的边记作 b，顶点 C 所对的边记作 c。 (3) 三角形的三边也可以用顶点的两个大写字母表示，例如：边 AB、边 BC、边 CA。 4. 三角形三边关系 (1) 定理：三角形任意两边之和大于第三边。 也就是说，对于△ABC，有： AB + BC > AC AB + AC > BC AC + BC > AB (2) 推论：三角形任意两边之差小于第三边。 也就是说，对于△ABC，有： AB - BC < AC (假设 AB > BC) AB - AC < BC (假设 AB > AC) AC - BC < AB (假设 AC > BC) (3) 作用：判断三条线段能否组成一个三角形。方法：将三条线段中较短的两条线段长度相加，如果大于最长的那条线段长度，则能组成三角形；否则，不能组成。 5. 三角形按边的相等关系分类 (1) 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 (2) 等腰三角形：有两条边相等的三角形。（相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。） · 等边三角形（或正三角形）：三条边都相等的三角形。（等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形。） 知识点总结 1. 三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 2. 基本要素：三个顶点、三条边、三个内角。 3. 表示方法：△ABC，顶点：A、B、C；边：AB、BC、CA（或 a、b、c）；内角：∠A、∠B、∠C。 4. 三边关系： (1) 任意两边之和大于第三边。 (2) 任意两边之差小于第三边。 (3) （判断三条线段能否组成三角形：两短边之和大于最长边。） 5. 按边分类： (1) 不等边三角形 (2) 等腰三角形（包括等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形）。 巩固练习 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，B(3，2)，点C 在坐标轴上，若△ABC 是等腰三角形，则点C 的个数是(　　). A．3 B．4 C．7 D．8 2．已知△ABC 的三边长分别为4，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(　　). A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 3．如图，一个三角形纸片被一块长方形木板遮挡了一部分，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 4．如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得是以为顶角的等腰三角形，这样的格点C的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．一个等腰三角形两边长分别为2、5，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．9或12 D．11或12或13 6．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 7．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 8．观察下列图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 9．在△ABC中，∠A=15°，∠B=65°，则△ABC的形状是（　　） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 10．如图，在等腰中，，，，点在第四象限，与轴交于点，轴恰好平分，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在中，，以的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是(　　) A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 二、填空题 12．已知等腰三角形的一个角为70°，则底角等于 　 　． 13．如果等腰三角形一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长是. 14．等腰三角形有一个内角等于80°，则它的顶角等于　 　度． 15．如图，两个含30°角的三角尺拼成的三角形是　 　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”) 16．如图，在中，顶点B的对边是　 　． 17．图中以为边的三角形共有　 　个． 18．如图，等腰直角三角形中，，是的中点，于点，交的延长线于点，若，则的面积为　 　． 19．如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是等腰三角形时（），运动的时间是　 　秒． 20．如图，，以点为直角顶点，为腰作等腰直角．则点的坐标为　 　． 三、解答题 21．一个等腰三角形的周长是． （1）若腰长是底边长的2倍，求各边的长． （2）若其中一条边的长是，求另外两条边的长． 22．过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形； （1）其中以AB为一边可以画出　 　个三角形； （2）其中以C为顶点可以画出 　 　个三角形． 23．如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=16厘米，BC=12厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒4厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）． （1）用的代数式表示PC的长度； （2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 参考答案 1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．C 8．B 9．D 10．A 11．C 12．或 13．21或18 14．80 或20#20或80 15．锐角 16． 17．3 18． 19．4 20．或 21．（1），， （2），或， 22．（1）3 （2）6 23．（1）解：PC=BC﹣PB=12﹣4t （2）解：经过1秒后，△BPD与△CQP全等． ∵AB=16，点D为AB的中点， ∴BD=8， 经过1秒后，BP=CQ=4， ∵BC=12，BP=4， ∴CP=8， ∴CP=BD， 在△BPD和△CQP中， ， ∴△BPD≌△CQP （3）解：点P、Q的运动速度不相等时，△BPD与△CQP全等，则CP=BP， 即t= = 秒， ∵AB=16，点D为AB的中点， ∴BD=8， 则CQ=8， ∴点Q的运动速度a=8÷ = ， ∴当点Q的运动速度a为 厘米/秒时，△BPD与△CQP全等 学科网（北京）股份有限公司 $