专题11 乘法公式【十大题型】举一反三训练-2025-2026学年人教版八年级数学上册提优专题

专题 11 乘法公式【十大题型】(解析版) 【人教版】 【题型 1 判断运用乘法公式计算的正误】 1 【题型 2 利用完全平方式确定系数】 2 【题型 3 乘法公式的计算】 2 【题型 4 利用乘法公式求值】 2 【题型 5 利用面积法验证乘法公式】 3 【题型 6 乘法公式的应用】 3 【题型 7 平方差公式的几何背景】 3 【题型 8 完全平方公式的几何背景】 5 【题型 9 乘法公式中的新定义问题】 6 【题型 10 乘法公式的规律探究】 7 【知识点 乘法公式】 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。 这个公式叫做平方差公式。 完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方,等于它们的 平方和,加上(或减去)它们积的 2 倍。这两个公式叫做完全平方公式。 【题型 1 判断运用乘法公式计算的正误】 【例1】(2023春•织金县期末)计算(x﹣y+3)(x+y﹣3)时,下列各变形中正确的是( ) A.[(x﹣y)+3][(x+y)﹣3] B.[(x+3)﹣y][(x﹣3)+y] C.[x﹣(y+3)][x+(y﹣3)] D.[x﹣(y﹣3)][x+(y﹣3)] 【分析】本题是平方差公式的应用,x是相同的项,互为相反项是(y﹣3),对照平方差公式变形即可. 【解答】解:(x﹣y+3)(x+y﹣3)=[x﹣(y﹣3)][x+(y﹣3)], 故选:D. 【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及平方差公式的应用.运用平方差公式(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2计算时,关键要找相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项的平方. 【变式1-1】(2023春•宁波期中)在下列多项式的乘法中,不可以用平方差公式计算的是( ) A.(x+y)(x﹣y) B.(﹣x+y)(x+y) C.(﹣x﹣y)(﹣x+y) D.(x﹣y)(﹣x+y) 【分析】根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差,由此进行判断即可. 【解答】解:A、B、C选项都是两个数的和与这两个数的差相乘,可以使用平方差公式, D选项变形后为﹣(x﹣y)2,不能使用平方差公式; 故选:D. 【点评】本题考查平方差公式.熟练掌握平方差公式是关键. 【变式1-2】(2021春•高州市期中)下列多项式不是完全平方式的是( ) A.x2﹣4x﹣4 B.m2+m C.a2+2ab+b2 D.t2+4t+4 【分析】根据完全平方式的公式进行答题. 【解答】解:A、应为x2﹣4x+4=(x﹣2)2,故A不是完全平方公式,符合题意; B、原式=(m)2,是完全平方公式,不符合题意; C、原式=(a+b)2,是完全平方公式,不符合题意; D、原式=(t+2)2,是完全平方公式,不符合题意; 故选:A. 【点评】本题考查了完全平方公式,解决本题的关键是熟记两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式. 【变式1-3】(2023春•高邮市期末)若将多项式4a2﹣2a+1加上一个单项式成为一个完全平方式,则这个单项式可以是 ﹣2a(答案不唯一) .(只要写出符合条件的一个) 【分析】根据完全平方公式即可得出答案. 【解答】解:∵多项式4a2﹣2a+1加上一个单项式成为一个完全平方式, ∴该完全平方公式可以是(2a﹣1)2, ∵(2a﹣1)2=4a2﹣4a+1=4a2﹣2a+1﹣2a, ∴这个单项式可以是﹣2a, 故答案为:﹣2a(答案不唯一). 【点评】本题主要考查完全平方公式,熟练掌握完全平方公式是解题的关键. 【题型 2 利用完全平方式确定系数】 【例2】(2023春•开江县期中)若x2+2(m﹣3)x+1是完全平方式,x+n与x+2的乘积中不含x的一次项,则nm的值为 4或16. . 【分析】利用完全平方公式,以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值,代入原式计算即可求出值. 【解答】解:∵x2+2(m﹣3)x+1是完全平方式, ∴m﹣3= 1, ∴m=4或m=2, ∵x+n与x+2的乘积中不含x的一次项,(x+n)(x+2)=x2+(n+2)x+2n, ∴n+2=0, ∴n=﹣2, 当m=4,n=﹣2时,nm=(﹣2)4=16; 当m=2,n=﹣2时,nm=(﹣2)2=4, 则nm=4或16, 故答案为:4或16. 【点评】本题考查了完全平方式,以及多项式乘多项式,熟练掌握公式及法则是解本题的关键. 【变式2-1】(2021秋•铁东区期中)若9x2﹣(k﹣1)xy+25y2是关于x的完全平方式,则k= 31或﹣29 . 【分析】由9x2﹣(k﹣1)xy+25y2是关于x的完全平方式,得出9x2﹣(k﹣1)xy+25y2=(3x 5y)2,进而得出﹣(k﹣1)= 30,即可求出k的值. 【解答】解:∵9x2﹣(k﹣1)xy+25y2是关于x的完全平方式, ∴9x2﹣(k﹣1)xy+25y2=(3x 5y)2, ∴﹣(k﹣1)= 30, 解得:k=31或﹣29, 故答案为:31或﹣29 【点评】本题考查了完全平方式,掌握完全平方式的特点,考虑两种情况是解决问题的关键. 【变式2-2】(2022秋•晋江市期中)已知B是含字母x的单项式,要使是完全平方式,那么B= x . 【分析】根据完全平方公式即可求出答案. 【解答】解:∵(x )2=x2 x, ∴B= x, 故答案为: x. 【点评】本题考查完全平方公式,解题的关键是熟练运用完全平方公式,本题属于基础题型. 【题型 3 乘法公式的计算】 【例3】(2021秋•昭阳区期末)计算: (1)(2m﹣n+3p)(2m+3p+n); (2)化简求值:(x﹣3)(x+3)﹣(x2﹣2x+1),其中x. 【分析】(1)先把原式化为[(2m+3p)﹣n][(2m+3p)+n],再利用平方差公式和完全平方公式计算即可; (2)先利用平方差公式和去括号法则展开,再合并同类项,最后求值即可. 【解答】解:(1)原式=[(2m+3p)﹣n][(2m+3p)+n] =(2m+3p)2﹣n2 =4m2+12mp+9p2﹣n2; (2)原式=x2﹣9﹣x2+2x﹣1 =2x﹣10, 当x时, 原式=1﹣10 =﹣9. 【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值,熟练掌握平方差公式和完全平方公式是关键. 【变式3-1】(2023春•河口区期末)利用整式乘法公式计算. (1)1002﹣98 102; (2)(a+b+3)(a+b﹣3); (3)(﹣2m+3)(﹣2m﹣3); (4). 【分析】(1)先将原式变形后运用平方差公式,再计算加减; (2)根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题; (3)直接利用平方差公式解答即可; (4)直接利用完全平方公式解答即可. 【解答】解:(1)1002﹣98 102 =1002﹣(100﹣2) (100+2) =1002﹣(1002﹣4) =1002﹣1002+4 =4; (2)(a+b+3)(a+b﹣3) =[(a+b)+3][(a+b)﹣3] =(a+b)2﹣32 =a2+2ab+b2﹣9; (3)原式=(﹣2m)2﹣32 =4m2﹣9; (4)原式(2y)2 2xy+4y2. 【点评】此题考查了实数及整式的混合运算能力,关键是能准确确定运算顺序,并能进行正确地计算. 【变式3-2】运用乘法公式计算: (1); (2)1.352+2 1.35 2.65+2.652. 【分析】(1)原式变形为,再利用平方差公式计算即可得出答案; (2)利用完全平方公式计算即可得出答案. 【解答】解:(1)原式 ; (2)原式=(1.35+2.65)2 =42 =16. 【点评】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算,熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键. 【题型 4 利用乘法公式求值】 【例4】(2023秋•德城区期末)设 a=x﹣2022,b=x﹣2024,c=x﹣2023.若 a2+b2=16,则 c2 的值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【分析】由a=x﹣2022,b=x﹣2024,c=x﹣2023,可得a﹣1=c=b+1,a﹣b=2,根据完全平方公式求出ab的值,再代入计算即可. 【解答】解:∵a=x﹣2022,b=x﹣2024,c=x﹣2023, ∴a﹣1=x﹣2023=c=b+1,a﹣b=2, ∵a2+b2=16, ∴(a﹣b)2+2ab=16, ∴ab=6, ∴c2=(a﹣1)(b+1) =ab+a﹣b﹣1 =6+2﹣1 =7, 故选:C. 【点评】本题考查完全平方公式,掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提. 【变式4-1】(2023•武胜县模拟)若x﹣y﹣7=0,则代数式x2﹣y2﹣14y的值等于 49 . 【分析】根据x﹣y﹣7=0,得出x=y+7,两边平方移项即可得出x2﹣y2﹣14y的值. 【解答】解:∵x﹣y﹣7=0, ∴x=y+7, ∴x2=(y+7)2=y2+14y+49, ∴x2﹣y2﹣14y=49, 故答案为:49. 【点评】本题主要考查因式分解的应用,熟练利用因式分解将已知等式变形是解题的关键. 【变式4-2】同学们知道,完全平方公式是:(a+b)2=a2+b2+2ab,(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,由此公式我们可以得出下列结论: ab[(a+b)2﹣(a2+b2)](1) (a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab (2) 利用公式(1)和(2)解决下列问题: 已知m满足(3m﹣2015)2+(2014﹣3m)2=5 (1)求(2015﹣3m)(2014﹣3m)的值; (2)求(6m﹣4029)2的值. 【分析】(1)根据ab[(a+b)2﹣(a2+b2)],可得答案; (2)根据完全平方公式,可得答案. 【解答】解:(1)原式{[(3m﹣2015)+(2014﹣3m)]2﹣[(3m﹣2015)2+(2014﹣3m)2]} [(﹣1)2﹣5] =2; (2)原式=[(3m﹣2015)+(3m﹣2014)]2 =(3m﹣2015)2+(3m﹣2014)2+2(3m﹣2015)(3m﹣2014) =(3m﹣2015)2+(3m﹣2014)2+2(2014﹣3m)(2015﹣3m) =5+2 2 =9. 【点评】本题考查了完全平方公式,利用ab[(a+b)2﹣(a2+b2)]是解(1)的关键,利用拆项法得出[(3m﹣2015)+(3m﹣2014)]2是解题关键. 【题型 5 利用面积法验证乘法公式】 【例5】(2024春•九江期末)如图,阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形,将阴影部分通过割、拼,形成新的图形.给出下列2种割拼方法,其中能够验证平方差公式的是( ) A.① B.② C.①② D.①②都不能 【分析】利用面积法,分别计算左图与右图的阴影部分面积进而可得结论. 【解答】解:如图①,左图的阴影部分的面积为a2﹣b2,右图的阴影部分是上底为2b,下底为2a,高为(a﹣b)的梯形,因此面积为(2b+2a)(a﹣b)=(a+b)(a﹣b), 所以有a2﹣b2=(a+b)(a﹣b), 因此图①方法可以验证平方差公式, 如图②,左图的阴影部分的面积为a2﹣b2,右图的阴影部分是底为(a+b),高为(a﹣b)的平行四边形,因此面积为(a+b)(a﹣b), 所以有a2﹣b2=(a+b)(a﹣b), 因此图②方法也可以验证平方差公式, 故选:C. 【点评】本题考查平方差公式的几何背景,理解拼图前后各个部分之间的关系,掌握阴影部分面积的计算方法是得出答案的前提. 【变式5-1】(2023秋•丹江口市期末)在下面的正方形分割方案中,可以验证(a+b)2=(a﹣b)2+4ab的图形是( ) A. B. C. D. 【分析】根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案. 【解答】解:由A选项可得:(a﹣b)2+2ab=a2+b2,故本选项不符合题意; 由B选项可得:(a+b)2=(a﹣b)2+4ab,故本选项符合题意; 由C选项可得:(a+b)2=a2+b2+2ab,故本选项不符合题意; 由选项D可得:(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故本选项不符合题意, 故选:B. 【点评】此题考查了完全平方公式的几何应用,熟练运用数形结合的方法是解答本题的关键. 【变式5-2】(2023春•福鼎市期中)下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是( ) A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a+b)(b+c)=ab+ac+b2+bc C.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc D.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 【分析】利用图形面积直接得出等式,从而可选择. 【解答】解:等式(a+b)2=a2+2ab+b2是由边长为(a+b)的正方形推导而出,故A可验证,不符合题意; 等式(a+b)(b+c)=ab+ac+b2+bc是由长为(b+c),宽为(a+b)的长方形推导而出,故B可验证,不符合题意; 等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc是由边长为(a+b+c)的正方形推导而出,故C可验证,不符合题意; 等式(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,图中找不到有关于a﹣b的面积,故D不可验证,符合题意. 故选:D. 【点评】本题考查多项式的乘法与图形面积.利用数形结合的思想是解题关键. 【变式5-3】(2023秋•方城县月考)课本再现:如图1,2是“数形结合”的典型实例,应用“等面积法”验证乘法公式. (1)图1验证的是 (a+b)2=a2+2ab+b2 ,图2验证的是 (a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 . (2)应用公式计算: ①已知x+y=3,xy=﹣1,求x2+y2的值. ②求20232﹣2022 2024的值. 【分析】(1)利用等面积法进行计算,即可解答; (2)①利用完全平方公式进行计算,即可解答; ②利用平方差公式进行计算,即可解答. 【解答】解:(1)图1验证的是(a+b)2=a2+2ab+b2,图2验证的是(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2, 故答案为:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2; (2)①∵x+y=3,xy=﹣1, ∴x2+y2=(x+y)2﹣2xy=32﹣2 (﹣1)=9+2=11; ②20232﹣2022 2024 =20232﹣(2023﹣1) (2023+1) =20232﹣(20232﹣1) =20232﹣20232+1 =1. 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值,完全平方公式的几何背景,准确熟练地进行计算是解题的关键. 【题型 6 乘法公式的应用】 【例6】如图,为了美化校园,某校要在面积为30平方米长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD,若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形,现将图中阴影部分区域作为花圃,若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n,m>n,花圃区域AEGQ和HKCS总周长为14米,则m﹣n的值为( ) A.4米 B.7米 C.5米 D.3.5米 【分析】根据长方形的周长及面积计算公式,可找出关于m,n的方程组,变形后可得出(m﹣n)2=49,解之取其正值即可得出结论. 【解答】解:依题意得:, 由①可得:m+n=13, ∵(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn, ∴(m﹣n)2=49, ∴m﹣n=7或m﹣n=﹣7(不合题意,舍去). 故选:B. 【点评】本题考查了正方形的性质,矩形的性质,掌握完全平方公式的几何背景,牢记(a b)2=a2 2ab+b2是解题的关键. 【变式6-1】(2023春•碑林区期中)我们知道,将完全平方公式(a b)2=a2 2ab+b2适当的变形,可以解决很多数学问题,请你观察、思考,并解决以下问题: (1)若m+n=9,mn=10,求m2+n2的值; (2)如图,一农家乐准备在原有长方形用地(即长方形ABCD)上进行装修和扩建,先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形院子,再以AD、CD为边分别向外扩建正方形ADGH、正方形DCEF的空地,并在两块正方形空地上建造功能性花园,该功能性花园面积和为2000m2,求原有长方形用地ABCD的面积. 【分析】(1)根据完全平方公式变形得,m2+n2=(m+n)2﹣2mn,代入数值求得结果即可. (2)设AB=x m,BC=y m,先根据长方形用地ABCD的周长120m,求出x+y的值,再根据2xy=(x+y)2﹣(x2+y2)求出xy的值,即可得到结果. 【解答】解:(1)∵(m+n)2=m2+n2+2mn, ∴m2+n2=(m+n)2﹣2mn=92﹣2 10=61. (2)设AB=x m,BC=y m, 则2(x+y)=120, ∴x+y=60, 由题意得,x2+y2=2000, ∵(x+y)2=x2+y2+2xy, ∴2xy=(x+y)2﹣(x2+y2)=602﹣2000=1600, ∴xy=800, ∴S长方形ABCD=800m2, 答:原有长方形用地ABCD的面积为800m2. 【点评】本题考查了完全平方式的几何背景,掌握完全平方式的结构特征并进行适当变形是解题的关键. 【变式6-2】如图,某校一块边长为2a m的正方形空地是七年级四个班的清洁区,其中分给七年级一班的清洁区是一块边长为(a﹣2b)m的正方形. (1)分别求出七年级二班、三班的清洁区的面积; (2)七年级四班的清洁区的面积比七年级一班的清洁区的面积多多少平方米? 【分析】(1)用代数式表示七年级二班的清洁是长、宽,根据面积计算方法进行计算即可; (2)用代数式表示七年级四班,七年级一班的面积即可. 【解答】解:(1)大正方形的边长为2a m,七年级一班的清洁区是边长为(a﹣2b)m的正方形, 所以七年级二班的清洁是长为2a﹣(a﹣2b)=a+2b,宽为a﹣2b的长方形,因此面积为(a+2b)(a﹣2b)=(a2﹣4b2)m2; 七年级三班的清洁是长为2a﹣(a﹣2b)=a+2b,宽为a﹣2b的长方形,因此面积为(a+2b)(a﹣2b)=(a2﹣4b2)m2; (2)七年级四班的清洁区是边长为a+2b的正方形,七年级一班的清洁区是边长为a﹣2b的正方形, 因此七年级四班的清洁区的面积比七年级一班的多(a+2b)2﹣(a﹣2b)2=8ab(m2), 答:七年级四班的清洁区的面积比七年级一班的清洁区的面积多8ab平方米. 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景,用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键. 【变式6-3】(2023秋•玄武区期中)如图,某体育公园有一块长为90米,宽为70米的长方形运动场地.场地中间有两块运动区域,分别记作①号和②号区域.阴影部分为人行通道,两条横向通道和三条纵向通道的宽度均相等.已知①号区域的形状是正方形,边长为a米,②号区域的形状是长方形. (1)当a=60时,人行通道的宽度为 5 米; (2)求②号区域的周长(用含a的代数式表示). 【分析】(1)利用长方形与正方形的性质,利用大长方形的宽减去正方形的边长即得到两条人行通道的宽度; (2)利用(1)中的方法求得人行通道的宽度,利用图中数据求得②号区域的宽,再利用正方形的周长公式解答即可. 【解答】解:(1)当a=60时, 人行通道的宽度为:(70﹣60) 2=5(米), 故答案为:5; (2)由题意得:人行通道的宽度为:(70﹣a) 2,②号区域的长与①号区域的长相同, ∵两条横向通道和三条纵向通道的宽度均相等, ∴②号区域的宽为:90﹣a﹣3, ∴②号区域的周长=2(a) =2a+a﹣30 =(3a﹣30)米. 答:②号区域的周长为(3a﹣30)米. 【点评】本题主要考查了列代数式,求代数式的值,正方形与长方形的性质,熟练掌握长方形与正方形的性质是解题的关键. 【题型 7 平方差公式的几何背景】 【例7】(2020秋•大荔县月考)将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形(如图1),将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分,将①和②两部分拼成一个长方形(如图2). (1)设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2,请用含a、b的式子表示S1和S2; (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式? (3)利用(2)中得到的公式,解答下列问题: ①已知9x2﹣4y2=24,3x+2y=6,求3x﹣2y的值; ②计算:20202﹣2019 2021. 【分析】(1)根据图象利用长方形与正方形的面积公式进行列式即可. (2)根据S1与S2的面积相等可以验证平方差公式. (3)利用平方差公式进行变形,再进行计算即可. 【解答】解:(1)根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得: ,S2=(a+b)(a﹣b); (2)由题可知S1与S2的面积相等, 故用上面的结果可以验证的乘法公式是 (a+b)(a﹣b)=a2﹣b2; (3)①∵(3x+2y)(3x﹣2y)=9x2﹣4y2, 9x2﹣4y2=24,3x+2y=6, ∴3x﹣2y=24 6=4. ②20202﹣2019 2021 20202﹣(2020﹣1) (2020+1) =20202﹣(20202﹣1) =20202﹣20202+1 =1. 【点评】本题考查平方差公式的应用,掌握平方差公式是解题的关键. 【变式7-1】(2023春•济南期中)如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形. (1)在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 (a+b)(a﹣b) (写成多项式乘法的形式);在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 a2﹣b2 ;(写成两数平方差的形式); (2)比较图2与图3的阴影部分面积,可以得到的等式是 B ; A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 (3)请利用所得等式解决下面的问题: ①已知4m2﹣n2=12,2m+n=4,则2m﹣n= 3 ; ②计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(232+1)+1的值,并直接写出该值的个位数字. 【分析】(1)根据图形面积计算方法可得答案, (2)由(1)可得等式; (3)①根据平方差公式可得答案; ②配上因式(2﹣1)后连续利用平方差公式即可. 【解答】解:(1)图2中长方形的长为(a+b),宽为(a﹣b),因此面积为(a+b)(a﹣b), 图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差,即a2﹣b2, 故答案为:(a+b)(a﹣b),a2﹣b2; (2)由(1)得(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2; 故选:B; (3)①因为4m2﹣n2=12,所以(2m+n)(2m﹣n)=12, 又因为2m+n=4, 所以2m﹣n=12 4=3, 故答案为:3; ②原式=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)+1 =(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1+…(232+1)+1 =(24﹣1)(24+1)(28+1)…(232+1)+1 =…… =264﹣1+1 =264, 而21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256……,其个位数字2,4,8,6,重复出现,而64 4=16,于是“2、4、8、6”经过16次循环, 因此264的个位数字为6, 答:其结果的个位数字为6. 【点评】本题考查平方差公式的几何背景以及数字的变化规律,掌握平方差公式的结构特征,理解平方差公式的几何背景是解决问题的关键. 【变式7-2】(2023春•邗江区期末)(1)【知识生成】我们已经知道,通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式,例如:从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1,然后将剩余部分拼成一个长方形如图2. 图1中阴影部分面积为 a2﹣b2 ,图2中阴影部分面积为 (a+b)(a﹣b) ,请写出这个乘法公式 (a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 ; (2)【知识应用】应用(1)中的公式,完成下面任务: 若m是不为0的有理数,已知P=(m2+2m+1)(m2﹣2m+1),Q=(m2+m+1)(m2﹣m+1),比较P、Q大小. (3)【知识迁移】事实上,通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式,图3表示的是一个棱长为x的正方体,挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体,请你根据图3中图形的变化关系,写出一个代数恒等式 x3﹣x=x(x+1)(x﹣1) . 【分析】(1)分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可; (2)利用平方差公式,计算P﹣Q的差即可; (3)分别用代数式表示图3中左图、右图的体积即可. 【解答】解:(1)图1中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差,即a2﹣b2, 图2是长为a+b,宽为a﹣b的长方形,因此面积为(a+b)(a﹣b), 因此有a2﹣b2=(a+b)(a﹣b), 故答案为:a2﹣b2,(a+b)(a﹣b),a2﹣b2=(a+b)(a﹣b); (2)P﹣Q=(m2+2m+1)(m2﹣2m+1)﹣(m2+m+1)(m2﹣m+1) =(m2+1)2﹣4m2﹣(m2+1)2+m2 =﹣3m2, ∵m是不为0的有理数, ∴﹣3m2<0, 即P﹣Q<0, ∴P<Q; (3)图3左图的体积为x•x•x﹣1 1 x=x3﹣x, 图3右图是长为x+1,宽为x,高为x﹣1的长方体,因此体积为(x+1)•x•(x﹣1), 因此有x3﹣x=x(x+1)(x﹣1), 故答案为:x3﹣x=x(x+1)(x﹣1). 【点评】本题考查平方差公式的几何背景,掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提,利用代数式表示图形的面积和体积是正确解答的关键. 【变式7-3】(2022秋•大同期中)【实践操作】 (1)如图①,在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把图①中L形的纸片按图②剪拼,改造成了一个大长方形如图③,请求出图③中大长方形的面积; (2)请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为: (a﹣b)(a+b)=a2﹣b2 . 【应用探究】 (3)利用(2)中验证的公式简便计算:499 501+1; (4)计算:. 【知识迁移】 (5)类似地,我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④,将一个棱长为a的正方体中去掉一个棱长为b的正方体,再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤,利用立体图形的体积,可得恒等式为:a3﹣b3= (a﹣b)a2+(a﹣b)b2+(a﹣b)ab或(a﹣b)(a2+b2+ab) .(结果不需要化简) 【分析】(1)利用长方形的面积等于长乘以宽即可; (2)图③中大长方形的面积等于图①的阴影部分面积,分别计算即可得出:(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2; (3)观察(2)的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差,故将499拆成500﹣1,将501拆成500+1即可; (4)利用a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)将各个因其进行因式分解后,再将各因式通分相加,发现每相邻两个的乘积为0,故答案为第一个因式乘以最后一个因式; (5)将立体图形分割成三部分,分别为:a2(a﹣b)、b2(a﹣b)、ab(a﹣b),其和为a2(a﹣b)+b2(a﹣b)+ab(a﹣b),恰等于a3﹣b3. 【解答】解:(1)长方形的面积为: =(a﹣b)(a﹣b+2b) =(a﹣b)(a+b) =a2﹣b2; (2)图③整个大长方形的面积等于图①阴影部分的面积: ∴(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2; 故答案为:(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2; (3)原式=(500﹣1) (500+1)+1 =5002﹣12+1 =250000; (4)原式 ; (5)将立体图形分割成三部分,分别为:a2(a﹣b)、b2(a﹣b)、ab(a﹣b),其和为a2(a﹣b)+b2(a﹣b)+ab(a﹣b)=a3﹣b3. 故答案为:a2(a﹣b)+b2(a﹣b)+ab(a﹣b). 【点评】本题考查了“数形结合”中的乘法公式及其灵活运用,解题的关键是善于发现规律并总结规律. 【题型 8 完全平方公式的几何背景】 【例8】(2023春•瓯海区期中)图1,是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形. (1)图2中的阴影部分的面积为 (m﹣n)2 ; (2)观察图2,三个代数式(m+n)2,(m﹣n)2,mn之间的等量关系是 (m+n)2﹣4mn=(m﹣n)2 ; (3)若x+y=﹣6,xy,则x﹣y= 5 .(直接写出答案) 【分析】(1)表示出阴影部分的边长,即可得出其面积; (2)大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积,也可得出三个代数式(m+n)2、(m﹣n)2、mn之间的等量关系. (3)根据(2)所得出的关系式,可求出(x﹣y)2,继而可得出x﹣y的值. 【解答】解:(1)图2中的阴影部分的面积为(m﹣n)2, 故答案为:(m﹣n)2; (2)(m+n)2﹣4mn=(m﹣n)2, 故答案为:(m+n)2﹣4mn=(m﹣n)2; (3)∵(x﹣y)2=(x+y)2﹣4xy36﹣11=25, ∴x﹣y= 5. 故答案为: 5. 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景,属于基础题,注意仔细观察图形,表示出各图形的面积是关键. 【变式8-1】(2023春•凤城市期中)完全平方公式:(a b)2=a2+2ab+b2适当的变形,可以解决很多的数学问题. 例如:若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解:因为a+b=3,所以(a+b)2=9即a2+2ab+b2=9, 又因ab=1,所以a2+b2=7. 根据上面的解题思路与方法,解决下列问题: (1)若x+y=8,x2+y2=40,则xy的值为 12 ; (2)拓展:若(4﹣x)x=3,则(4﹣x)2+x2= 10 . (3)应用:如图,在长方形ABCD中,AB=20,BC=12,点E、F是BC、CD上的点,且BE=DF=x,分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN,若长方形CEPF的面积为160,求图中阴影部分的面积和. 【分析】(1)利用完全平方公式进行计算,即可解答; (2)设4﹣x=a,x=b,则a+b=4,ab=3,然后完全平方公式进行计算,即可解答; (3)根据题目的已知易得FC=20﹣x,CE=12﹣x,然后设FC=20﹣x=a,CE=12﹣x=b,则a﹣b=8,ab=160,最后利用完全平方公式进行计算,即可解答. 【解答】解:(1)∵x+y=8,x2+y2=40, ∴2xy=(x+y)2﹣(x2+y2) =82﹣40 =64﹣40 =24, ∴xy=12, 故答案为:12; (2)设4﹣x=a,x=b, ∴a+b=4﹣x+x=4, ∵(4﹣x)x=3, ∴ab=3, ∴(4﹣x)2+x2=a2+b2 =(a+b)2﹣2ab =42﹣2 3 =16﹣6 =10, 故答案为:10; (3)∵四边形ABCD是长方形, ∴AB=CD=20,AD=BC=12, ∵BE=DF=x, ∴FC=DC﹣DF=20﹣x,CE=BC﹣BE=12﹣x, 设FC=20﹣x=a,CE=12﹣x=b, ∴a﹣b=20﹣x﹣(12﹣x)=8, ∵长方形CEPF的面积为160, ∴FC•CE=(20﹣x)(12﹣x)=ab=160, ∴正方形CFGH的面积+正方形CEMN的面积 =CF2+CE2 =(20﹣x)2+(12﹣x)2 =a2+b2 =(a﹣b)2+2ab =82+2 160 =64+320 =384, ∴图中阴影部分的面积和为384. 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值,完全平方公式的几何背景,熟练掌握完全平方公式是解题的关键. 【变式8-2】(2024春•龙岗区月考)【知识生成】通常情况下,通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个恒等式.如图1,在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b).把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图2).图1中阴影部分面积可表示为:a2﹣b2,图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a﹣b),因为两个图中的阴影部分面积是相同的,所以可得到等式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b). 【拓展探究】图3是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形,然后按图4的形状拼成一个正方形. (1)用两种不同方法表示图4中阴影部分面积: 方法1: (a+b)2﹣4ab ,方法2: (a﹣b)2 ; (2)由(1)可得到一个关于(a+b)2、(a﹣b)2、ab的等量关系式是 (a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2 ; (3)若a﹣b=5,ab=2,则(a+b)2= 33 ; 【知识迁移】(4)如图5,正方形ABCD和正方形EFGH边长分别为a,b(a>b),若a+b=6,ab=6,E是AB的中点,则图中的阴影部分面积的和是 3 . 【分析】(1)根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积,阴影部分面积面积等于边长为(a﹣b)的小正方形的面积; (2)根据两种方法得到的面积相等列出等式; (3)根据完全平方公式变形求值即可求解. (4)根据阴影部分面积等于,进行化简,结合已知条件,根据完全平方公式变形求值即可求解. 【解答】解:(1)方法1:(a+b)2﹣4ab,方法2:(a﹣b)2, 故答案为:(a+b)2﹣4ab,(a﹣b)2; (2)(a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2,、 故答案为:)(a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2; (3)∵a﹣b=5,ab=2, ∴(a+b)2=(a﹣b)2+4ab=25+8=33, 故答案为:33. (4)阴影部分面积等于 , ∵a+b=6,ab=6, ∴(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab=62﹣4 6=12, ∴阴影部分面积等于12=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查了完全平方公式与几何图形面积,熟练掌握完全平方公式是解题的关键. 【变式8-3】(2024•玄武区模拟)【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积,可以得到一个等式,如图1,是用长为a,宽为b(a>b)的四个相同的长方形拼成的一个大正方形,用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积,可以得到(a﹣b)2、(a+b)2、ab三者之间的等量关系式: (a+b)2=(a﹣b)2+4ab ; 【知识迁移】类似地,用两种不同的方法计算同一个几何体的体积,也可以得到一个等式, 如图2,观察大正方体分割,可以得到等式:(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b). 利用上面所得的结论解答下列问题: (1)已知,求(x﹣y)2的值; (2)已知a+b=6,ab=7,求a3+b3的值. 【分析】(1)应用知识生成的公式,进行变形,代入计算即可; (2)直接代入(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)计算即可. 【解答】解:【知识生成】 如图1,方法一:已知边长直接求面积为(a﹣b)2; 方法二:阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积, ∴面积为(a+b)2﹣4ab, ∴由阴影部分面积相等可得(a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2; 故答案为:(a+b)2=(a﹣b)2+4ab; 【知识迁移】 方法一:正方体棱长为a+b, ∴体积为(a+b)3, 方法二:正方体体积是长方体和小正方体的体积和,即a3+b3+3a2b+3ab2, ∴(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2, (1)∵(a+b)2=(a﹣b)2+4ab, ∴(x+y)2=(x﹣y)2+4xy, ∴62=(x﹣y)2+4, ∴(x﹣y)2=25; (2)∵(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), ∴63=a3+b3+3 7 6, ∴a3+b3=90. 【点评】本题考查完全平方公式的几何意义;能够由面积相等,过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键. 【题型 9 乘法公式中的新定义问题】 【例9】(2023春•栾城区期中)新定义:如果a,b都是非零整数,且a=4b,那么就称a是“4倍数”.验证:嘉嘉说:232﹣212是“4倍数”,琪琪说:122﹣6 12+9也是“4倍数”,判断 嘉嘉 说得对(填“嘉嘉”、“琪琪”或“嘉嘉、琪琪”). 【分析】嘉嘉给的式子利用平方差公式进行变形后易得出结果是4的倍数;琪琪给的式子利用完全平方公式进行变形,计算出结果不是4的倍数. 【解答】解:232﹣212=(23+21) (23﹣21)=44 2=4 22,所以嘉嘉说的式子是“4倍数”;122﹣6 12+9=(12﹣3)2=92=81,所以琪琪给的式子不是“4倍数”. 故答案为:嘉嘉. 【点评】本题考查平方差公式与完全平方公式的应用,需熟练掌握这两个公式的特征及应用. 【变式9-1】(2023春•金华期末)定义:两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数,我们把这个新的自然数称为“完全数”.例如:22+32+2 2 3=25,其中“25”就是一个“完全数”,则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有( ) A.14个 B.15个 C.26个 D.60个 【分析】设任取的两个自然数为a,b,根据题意可得“完全数”为(a+b)2,再根据“完全数”小于200且a+b为非负整数即可求出共有15个. 【解答】解:设任取的两个自然数为a,b, 则可得到的“完全数”为:a2+b2+2ab=(a+b)2, ∵(a+b)2<200,且a+b为非负整数, ∴a+b可取0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14. ∴任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有15个. 故选:B. 【点评】本题考查因式分解的应用,设任取的自然数为a,b,表示出“完全数”后对这个式子因式分解是本题的关键. 【变式9-2】(2023春•揭阳期中)现定义一种运算“⊕”,对任意有理数m,n规定:m⊕n=mn(m﹣n),如:1⊕2=1 2(1﹣2)=﹣2,则(a+b)⊕(a﹣b)的值是 2a2b﹣2b3 . 【分析】先根据新运算进行变形,再根据整式的运算法则进行计算即可. 【解答】解:(a+b)⊕(a﹣b) =(a+b)(a﹣b)[(a+b)﹣(a﹣b)] =(a+b)(a﹣b)(a+b﹣a+b) =(a2﹣b2)•2b =2a2b﹣2b3. 故答案为:2a2b﹣2b3. 【点评】本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算,能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键. 【变式9-3】(2023春•市中区期末)对于任意有理数a、b、c、d,定义一种新运算:. (1) ﹣4 ; (2)对于有理数x、y,若是一个完全平方式,则k 2或﹣2 ; (3)对于有理数x、y,若x+y=10,xy=22. ①求的值; ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置,其中点B、C、G在同一条直线上,点E在边CD上,连接BD、BF.若AD=x,AB=nx,FG=y,EF=ny,图中阴影部分的面积为45,求n的值. 【分析】(1)直接根据计算即可; (2)根据新定义得出x2+y2﹣kxy,再根据结果是一个完全平方式,利用完全平方式的概念即可求出k; (3)①先根据化简,再利用完全平方公式变形求解即可; ②根据图形用含x,y的式子表示出阴影部分的面积,再根据①中的结果代入即可求出n. 【解答】解:(1)原式=12+(﹣1)2﹣2 3=﹣4. 故答案为:﹣4; (2)原式=x2+y2﹣kxy, ∵是完全平方公式, ∴k=2或﹣2. 故答案为:2或﹣2; (3)①原式=(2x﹣y)2+y2﹣(3x﹣y)(x﹣y) =4x2﹣4xy+y2+y2﹣(3x2﹣3xy﹣xy+y2) =x2+y2, ∵x+y=10,xy=22, ∴(x+y)2=100,2xy=44, ∴x2+y2=(x+y)2﹣2xy=100﹣44=56; ②由图知:S阴影=S DBC+S长方形ECGF﹣S BGF, ∴, 化简得nx2+ny2﹣xy=90, ∴n(x2+y2)﹣xy=90, 由①得,x2+y2=56,xy=22, ∴56n﹣22=90, ∴n=2. 【点评】本题考查了新定义,完全平方公式的变形求解,熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键. 【题型 10 乘法公式的规律探究】 【例10】(2024秋•孝感期末)下表为杨辉三角系数表的一部分,它的作用是指导读者按规律写出形如: (a+b)n(n为正整数)展开式的系数,请你仔细观察下表中的规律,填出(a+b)4展开式中所缺的系数. (a+b)=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+ 4 a3b+ 6 a2b2+ 4 ab3+b4. 【分析】根据杨辉三角,下一行的系数是上一行相邻两系数的和,然后写出各项的系数即可. 【解答】解:(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 故答案为:4,6,4. 【点评】本题考查了完全平方公式,能发现(a+b)n展开后,各项是按a的降幂排列的,系数依次是从左到右(a+b)n﹣1系数之和.它的两端都是由数字1组成的,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和. 【变式10-1】(2020春•竞秀区期末)仔细观察下列等式: 第1个:52﹣12=8 3 第2个:92﹣52=8 7 第3个:132﹣92=8 11 第4个:172﹣132=8 15 … (1)请你写出第6个等式: 252﹣212=8 23 ; (2)请写出第n个等式,并加以验证; (3)运用上述规律,计算:8 7+8 11+…+8 399+8 403. 【分析】(1)根据题目中的式子,可以发现数字的变化特点,从而可以写出第6个等式; (2)根据题目中式子的特点,可以写出第n个等式; (3)根据所求式子的特点和(2)中的结果,可以求得所求式子的值. 【解答】解:(1)根据式子的特点,可知第6个等式是: 252﹣212=8 23; 故答案为:252﹣212=8 23; (2)第n个等式是: (4n+1)2﹣(4n﹣3)2=8(4n﹣1). 验证:左边=(4n+1)2﹣(4n﹣3)2 =16n2+8n+1﹣16n2+24n﹣9 =32n﹣8 =8(4n﹣1) =右边; (3)8 7+8 11+…+8 399+8 403 =92﹣52+132﹣92+…+4012﹣3972+4052﹣4012 =4052﹣52 =(405+5)(405﹣5) =410 400 =164000. 【点评】本题考查的是数字的变化类,根据题中所给出的式子找出规律时解答此题的关键. 【变式10-2】(2022秋•金安区期末)观察下列等式: ①; ②; ③; ④; ⑤;…… (1)请按以上规律写出第⑥个等式; (2)猜想写出第n个等式,并说明猜想的正确性. 【分析】(1)观察五个等式,可知左边分母为4,分子为前项比后项大2,后项与序号书相等,右边为1加序号数,即可求解; (2)先将左边表示出来,再将右边表示出来,证明等式左右两边相等即可证明. 【解答】解:(1); (2), 证明:左边右边, 故原等式成立. 【点评】本题考查规律型﹣数字变化类,解题的关键是将等式与序号数联系起来,找出它们的关系. 1 学科网(北京)股份有限公司 $ 专题 11 乘法公式【十大题型】（原卷版） 【人教版】 【题型 1 判断运用乘法公式计算的正误】 1 【题型 2 利用完全平方式确定系数】 2 【题型 3 乘法公式的计算】 2 【题型 4 利用乘法公式求值】 2 【题型 5 利用面积法验证乘法公式】 3 【题型 6 乘法公式的应用】 3 【题型 7 平方差公式的几何背景】 3 【题型 8 完全平方公式的几何背景】 5 【题型 9 乘法公式中的新定义问题】 6 【题型 10 乘法公式的规律探究】 7 【知识点 乘法公式】 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 这个公式叫做平方差公式。 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的 平方和，加上(或减去)它们积的 2 倍。这两个公式叫做完全平方公式。 【题型 1 判断运用乘法公式计算的正误】 【例1】（2023春•织金县期末）计算（x﹣y+3）（x+y﹣3）时，下列各变形中正确的是（　　） A．[（x﹣y）+3][（x+y）﹣3] B．[（x+3）﹣y][（x﹣3）+y] C．[x﹣（y+3）][x+（y﹣3）] D．[x﹣（y﹣3）][x+（y﹣3）] 【变式1-1】（2023春•宁波期中）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（x+y） C．（﹣x﹣y）（﹣x+y） D．（x﹣y）（﹣x+y） 【变式1-2】（2021春•高州市期中）下列多项式不是完全平方式的是（　　） A．x2﹣4x﹣4 B．m2+m C．a2+2ab+b2 D．t2+4t+4 【变式1-3】（2023春•高邮市期末）若将多项式4a2﹣2a+1加上一个单项式成为一个完全平方式，则这个单项式可以是 　 　．（只要写出符合条件的一个） 【题型 2 利用完全平方式确定系数】 【例2】（2023春•开江县期中）若x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则nm的值为 　 　． 【变式2-1】（2021秋•铁东区期中）若9x2﹣（k﹣1）xy+25y2是关于x的完全平方式，则k＝　 ． 【变式2-2】（2022秋•晋江市期中）已知B是含字母x的单项式，要使是完全平方式，那么B＝　 　． 【题型 3 乘法公式的计算】 【例3】（2021秋•昭阳区期末）计算： （1）（2m﹣n+3p）（2m+3p+n）； （2）化简求值：（x﹣3）（x+3）﹣（x2﹣2x+1），其中x． 【变式3-1】（2023春•河口区期末）利用整式乘法公式计算． （1）1002﹣98×102； （2）（a+b+3）（a+b﹣3）； （3）（﹣2m+3）（﹣2m﹣3）； （4）． 【变式3-2】运用乘法公式计算： （1）； （2）1.352+2×1.35×2.65+2.652． 【题型 4 利用乘法公式求值】 【例4】（2023秋•德城区期末）设 a＝x﹣2022，b＝x﹣2024，c＝x﹣2023．若 a2+b2＝16，则 c2 的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-1】（2023•武胜县模拟）若x﹣y﹣7＝0，则代数式x2﹣y2﹣14y的值等于 　 　． 【变式4-2】同学们知道，完全平方公式是：（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，由此公式我们可以得出下列结论： ab[（a+b）2﹣（a2+b2）]（1） （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab （2） 利用公式（1）和（2）解决下列问题： 已知m满足（3m﹣2015）2+（2014﹣3m）2＝5 （1）求（2015﹣3m）（2014﹣3m）的值； （2）求（6m﹣4029）2的值． 【题型 5 利用面积法验证乘法公式】 【例5】（2024春•九江期末）如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　） A．① B．② C．①② D．①②都不能 【变式5-1】（2023秋•丹江口市期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（2023春•福鼎市期中）下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a+b）（b+c）＝ab+ac+b2+bc C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【变式5-3】（2023秋•方城县月考）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，应用“等面积法”验证乘法公式． （1）图1验证的是 　 　，图2验证的是 　 　． （2）应用公式计算： ①已知x+y＝3，xy＝﹣1，求x2+y2的值． ②求20232﹣2022×2024的值． 【题型 6 乘法公式的应用】 【例6】如图，为了美化校园，某校要在面积为30平方米长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m＞n，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为14米，则m﹣n的值为（　　） A．4米 B．7米 C．5米 D．3.5米 【变式6-1】（2023春•碑林区期中）我们知道，将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多数学问题，请你观察、思考，并解决以下问题： （1）若m+n＝9，mn＝10，求m2+n2的值； （2）如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形ABCD）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形院子，再以AD、CD为边分别向外扩建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为2000m2，求原有长方形用地ABCD的面积． 【变式6-2】如图，某校一块边长为2a m的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级一班的清洁区是一块边长为（a﹣2b）m的正方形． （1）分别求出七年级二班、三班的清洁区的面积； （2）七年级四班的清洁区的面积比七年级一班的清洁区的面积多多少平方米？ 【变式6-3】（2023秋•玄武区期中）如图，某体育公园有一块长为90米，宽为70米的长方形运动场地．场地中间有两块运动区域，分别记作①号和②号区域．阴影部分为人行通道，两条横向通道和三条纵向通道的宽度均相等．已知①号区域的形状是正方形，边长为a米，②号区域的形状是长方形． （1）当a＝60时，人行通道的宽度为 　 　米； （2）求②号区域的周长（用含a的代数式表示）． 【题型 7 平方差公式的几何背景】 【例7】（2020秋•大荔县月考）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）． （1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a、b的式子表示S1和S2； （2）用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ （3）利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值； ②计算：20202﹣2019×2021． 【变式7-1】（2023春•济南期中）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． （1）在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 　 　（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 　 　；（写成两数平方差的形式）； （2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 　 　； A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 （3）请利用所得等式解决下面的问题： ①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝　 　； ②计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）⋯（232+1）+1的值，并直接写出该值的个位数字． 【变式7-2】（2023春•邗江区期末）（1）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2． 图1中阴影部分面积为 　 　，图2中阴影部分面积为 　 　，请写出这个乘法公式 　 　； （2）【知识应用】应用（1）中的公式，完成下面任务： 若m是不为0的有理数，已知P＝（m2+2m+1）（m2﹣2m+1），Q＝（m2+m+1）（m2﹣m+1），比较P、Q大小． （3）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个棱长为x的正方体，挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式 　 　． 【变式7-3】（2022秋•大同期中）【实践操作】 （1）如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把图①中L形的纸片按图②剪拼，改造成了一个大长方形如图③，请求出图③中大长方形的面积； （2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：　 　． 【应用探究】 （3）利用（2）中验证的公式简便计算：499×501+1； （4）计算：． 【知识迁移】 （5）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④，将一个棱长为a的正方体中去掉一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤，利用立体图形的体积，可得恒等式为：a3﹣b3＝　 　．（结果不需要化简） 【题型 8 完全平方公式的几何背景】 【例8】（2023春•瓯海区期中）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中的阴影部分的面积为 　 　； （2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 　 　； （3）若x+y＝﹣6，xy，则x﹣y＝　 　.（直接写出答案） 【变式8-1】（2023春•凤城市期中）完全平方公式：（a±b）2＝a2+2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9即a2+2ab+b2＝9， 又因ab＝1，所以a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy的值为 　 　； （2）拓展：若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝　 　． （3）应用：如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 【变式8-2】（2024春•龙岗区月考）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：　 　，方法2：　 　； （2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是 　 　； （3）若a﹣b＝5，ab＝2，则（a+b）2＝　 　； 【知识迁移】（4）如图5，正方形ABCD和正方形EFGH边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝6，ab＝6，E是AB的中点，则图中的阴影部分面积的和是 　 　． 【变式8-3】（2024•玄武区模拟）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式：　 　； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式， 如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：（a+b）3＝a3+b3+3ab（a+b）． 利用上面所得的结论解答下列问题： （1）已知，求（x﹣y）2的值； （2）已知a+b＝6，ab＝7，求a3+b3的值． 【题型 9 乘法公式中的新定义问题】 【例9】（2023春•栾城区期中）新定义：如果a，b都是非零整数，且a＝4b，那么就称a是“4倍数”．验证：嘉嘉说：232﹣212是“4倍数”，琪琪说：122﹣6×12+9也是“4倍数”，判断 　 　说得对（填“嘉嘉”、“琪琪”或“嘉嘉、琪琪”）． 【变式9-1】（2023春•金华期末）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：22+32+2×2×3＝25，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（　　） A．14个 B．15个 C．26个 D．60个 【变式9-2】（2023春•揭阳期中）现定义一种运算“⊕”，对任意有理数m，n规定：m⊕n＝mn（m﹣n），如：1⊕2＝1×2（1﹣2）＝﹣2，则（a+b）⊕（a﹣b）的值是 　 　． 【变式9-3】（2023春•市中区期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． （1）　 　； （2）对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k 　 ； （3）对于有理数x、y，若x+y＝10，xy＝22． ①求的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边CD上，连接BD、BF．若AD＝x，AB＝nx，FG＝y，EF＝ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 【题型 10 乘法公式的规律探究】 【例10】（2024秋•孝感期末）下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如： （a+b）n（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）4展开式中所缺的系数． （a+b）＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+　 　a3b+　 　a2b2+　 　ab3+b4． 【变式10-1】（2020春•竞秀区期末）仔细观察下列等式： 第1个：52﹣12＝8×3 第2个：92﹣52＝8×7 第3个：132﹣92＝8×11 第4个：172﹣132＝8×15 … （1）请你写出第6个等式：　 　； （2）请写出第n个等式，并加以验证； （3）运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403． 【变式10-2】（2022秋•金安区期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； ⑤；…… （1）请按以上规律写出第⑥个等式； （2）猜想写出第n个等式，并说明猜想的正确性． 1 学科网（北京）股份有限公司 $