3.2.1 双曲线及其标准方程 学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学学案聚焦“双曲线及其标准方程”核心知识点，通过类比椭圆中两圆相交轨迹，设置动点P在线段AB外运动时两圆交点轨迹的情境，衔接椭圆知识，构建从椭圆到双曲线的学习支架，引导学生发现双曲线的几何特征。 该资料注重数学抽象与逻辑推理，通过炮弹爆炸点轨迹等实际情境例题培养应用意识，习题层次分明覆盖定义理解、方程求解等，帮助学生用数学眼光观察现实世界，提升数学运算与直观想象素养，有效巩固知识并深化对圆锥曲线的理解。

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1·双曲线及其标准方程 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、了解双曲线的实际背景，掌握双曲线的定义，明确双曲线上的点满足的几何条件 2、推导并掌握双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程 3、体会从具体情境中抽象出双曲线几何特征 通过双曲线定义的学习与标准方程的推导，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用双曲线标准方程解决相关问题，提升数学运算、直观想象素养 重点 双曲线的定义 双曲线的标准方程 难点 深入理解双曲线标准方程推导过程中的代数运算与几何意义的结合 根据已知条件求双曲线的标准方程 知识导入 我们知道，当点 P 在线段 AB 上运动时，如果 | |PA|－|PB| |≤|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交， 其交点的轨迹是椭圆. 如图，在直线 l 上取两个定点 A，B，P 是直线 l 上的动点. 在平面内，取定点 F1，F2，以点 F1 为圆心、线段 PA 为半径作圆，再以 F2 为圆心、线段 PB 为半径作圆. 如图，在 |AB|＜|F1F2|≤|PA|＋|PB| 的条件下，让点 P 在线段 AB 外运动，这时动点 M 满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？ 知识清单 知识点一 双曲线的定义及其标准方程 1.双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的____________等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的____________. 2.双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程：____________，焦点坐标，，其中____________. （2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程：，焦点坐标____________，____________，其中. 例题讲解 例 1 已知双曲线的两个焦点分别为 F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点 P 与 F1，F2 的距离差的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程． 例 2 已知A，B 两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为 340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 课堂练习 1.若双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线E上，且，则等于( ) A.26或6 B.26 C.6 D.28 2.已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 3.已知圆和圆，动圆M同时与圆及圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 4.“”是“方程表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.（多选）已知方程（m为实数）表示的曲线C，则( ) A.曲线C不可能表示一个圆 B.曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C.曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D.曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 6.已知方程表示焦点在x上的双曲线，则实数m取值范围是________. 课后练习 1.已知双曲线，设M是双曲线E上的一点，，分别是双曲线E的左，右焦点，若，则( ) A.5 B.7 C.9 D.11 2.已知P是双曲线上的动点，则P到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为( ) A. B.4 C.8 D. 3.设，为定点，动点满足，则动点P的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 4.双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则的值为( ). A.9 B.1 C.1或9 D.2 5.已知点M为双曲线左支上的一点，，分别为C的左､右焦点，则( ) A.2 B.4 C.6 D.8 6.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则( ) A. B.1或2 C.1或 D.1 7.已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是( ). A. B. C. D.或5 8.（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是( ) A.当时，曲线C是椭圆 B.当或时，曲线C是双曲线 C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 9.已知方程表示焦点在x上的双曲线，则实数m取值范围是________. 10.已知椭圆和双曲线的焦点相同，则___________. 答案以及解析 知识清单 答案：1.差的绝对值 焦距 2. 例题讲解 解：因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为 由 2c＝10，2a＝6，得 c＝5，又 a＝3，因此 b2＝52－32＝16． 所以，双曲线的标准方程为 例题2 分析：先根据题意判断轨迹的形状．由声速及 A，B 两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知 A，B 两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸声在以 A，B 为焦点的双曲线上，因为爆炸点离 A 处比离 B 处远，所以爆炸点应在靠近 B 处的双曲线的一支上． 解：如图，建立平面直角坐标系 Oxy，使 A，B 两点在 x 轴上，并且原点 O 与线段 AB 的中点重合． 设炮弹爆炸点 P 的坐标为 (x，y)，则 |PA|－|PB|＝340×2＝680， 即 2a＝680，a＝340． 又 |AB|＝800，所以 2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44 400． 因为 |PA|－|PB|＝680＞0， 所以点 P 的轨迹是双曲线的右支，因此 x≥340． 所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为. 课堂练习 1.答案：B 解析：由题知，，，由双曲线的定义知，，解得或.又，，故选B. 2.答案：C 解析：由题意得：双曲线的焦点在y轴上， 设双曲线方程为， ，故，又， 故， 故双曲线的标准方程为：. 故选：C. 3.答案：D 解析：设动圆M的半径为r，因动圆M同时与圆及圆相外切， 则，， 则， 故动圆圆心M的轨迹是以，为两焦点的双曲线的左支. 又因，，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 4.答案：A 解析：因为方程表示双曲线， 故， 故， 而为的真子集， 故“”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 5.答案：ACD 解析：A：若，无解，故曲线C不能表示一个圆，对； B：若，无解， 故曲线C不能表示焦点在x轴上的椭圆，错； C：若，可得， 满足曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，对； D：若，可得， 满足曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，对. 故选：ACD 6.答案： 解析：因为方程表示焦点在x轴上的双曲线， 所以， 即实数m的取值范围为， 故答案为：. 课后练习 1.答案：B 解析：因为，所以， 因为M是双曲线E上的一点，所以， 即，解得（舍去），或. 故选：B. 2.答案：B 解析：由可得，即； 再由双曲线定义可得P到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为. 故选：B 3.答案：B 解析：， 动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，， ，双曲线的方程为. 故选：B. 4.答案：A 解析：因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 5.答案：B 解析：因为M为双曲线左支上的一点，，分别为C的左､右焦点， 所以，故，由于，，， 所以.故选B 6.答案：D 解析：双曲线的焦点在x轴上，依题意，，即， 又，解得， 所以. 故选：D. 7.答案：C 解析：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线， 则，解得. 故选：C. 8.答案：BD 解析：对于A，当时，曲线为，此时表示圆，故A错误， 对于B，当时，，，此时曲线表示焦点在y上的双曲线， 当时，，此时曲线表示焦点在x上的双曲线， 故当或时，曲线C是双曲线，B正确， 对于C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，故C错误， 对于D，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，，故，D正确， 故选：BD 9.答案： 解析：因为方程表示焦点在x轴上的双曲线， 所以， 即实数m的取值范围为， 故答案为：. 10.答案： 解析：对于双曲线，可知其半焦距，且焦点在x轴上， 对于椭圆可得，且，解得. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $