5.4 一元一次方程的应用 教学设计 2025-2026学年冀教版七年级上册数学

冀教版初中数学七年级上册 第五章 5.4 一元一次方程的应用 教学设计 一、内容和内容解析 内容 本节主要内容是一元一次方程在实际问题中的应用，包括利用一元一次方程解决鸡兔同笼问题、比例分配问题、工程合作问题、行程相遇问题、商品利润与利率问题等。通过列方程、解方程，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，并运用数学知识解决生活中常见的问题。 内容解析 一元一次方程是初中数学的核心内容之一，其应用贯穿于整个数学学习过程。本节内容是在学生已经掌握了一元一次方程的基本解法的基础上，进一步学习如何将实际问题转化为数学方程，并通过解方程得到实际问题的答案。教学中应注重引导学生理解等量关系的建立，培养学生分析问题、解决问题的能力，提升数学建模素养。 二、目标和目标解析 目标 1. 能够根据实际问题中的等量关系列出相应的一元一次方程。 1. 能够熟练解一元一次方程，并检验解的合理性。 1. 能够运用一元一次方程解决生活中的实际问题，提升数学应用意识。 目标解析 通过本节课的学习，学生应能够在理解题意的基础上，找出问题中的等量关系，合理设未知数，列出方程并求解。教学中应注重引导学生从具体问题中抽象出数学模型，并通过解方程得到实际问题的答案，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学学习的实用性和趣味性。 三、教学问题诊断分析 1. 等量关系理解不清：部分学生在实际问题中难以准确找出等量关系，导致无法正确列出方程。 1. 设未知数不合理：学生在设未知数时容易忽略单位或变量之间的关系，影响后续列式。 1. 解方程步骤混乱：部分学生在解方程过程中容易出现步骤错误或计算失误，导致答案错误。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1 《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？你能用小学学过的算术方法解决吗？ 问题2 如果我们设鸡有 只，你能用方程表示出鸡和兔的总足数吗？ 问题3 比较列算式和列方程两种方法，你觉得哪种更直观？为什么？ 设计意图 通过经典问题激发学生兴趣，引导学生从算术思维向代数思维过渡，理解方程在解决复杂问题时的优势，对应目标1和目标3。 （二）合作探究1 探究主题：比例分配问题建模 教师引导： “同学们，我们经常遇到需要按比例分配的问题。比如班级要组织活动，一部分同学负责宣传，其余同学参与实践。如何用数学方法解决这类问题呢？” 问题呈现： 某学校七年级同学参加一次公益活动，其中15%的同学去作保护环境宣传，剩下的170名同学去植树。七年级共有多少名同学参加了这次公益活动？ 探究过程： 教师：首先，我们需要找出问题中的关键信息。谁能告诉我题目中给出了哪些数据？ 学生：15%的同学作宣传，170名同学植树。 教师：很好。那么我们需要求的是什么？ 学生：七年级参加活动的总人数。 教师：正确。在数学中，我们通常如何表示未知的量？ 学生：用字母表示，比如设总人数为x。 教师：很好。那么，作宣传的同学有多少人？能用x表示吗？ 学生：作宣传的人数是15%x，也就是0.15x。 教师：那么植树的同学呢？ 学生：应该是总人数减去作宣传的人数，即x - 0.15x = 0.85x。 教师：非常好！现在根据题意，我们能得到什么等式？ 学生：植树的同学等于170人，所以0.85x = 170。 教师：现在请大家解这个方程。 学生：x = 170 ÷ 0.85 = 200。 教师：所以总人数是200人。我们能验证一下吗？ 学生：作宣传：200×15%=30人；植树：200-30=170人。符合题意！ 追问拓展： 如果作宣传的同学比植树的同学少80人，其他条件不变，应该如何列方程？ 学生思考： 作宣传人数：0.15x 植树的同学：0.85x 根据题意：0.85x - 0.15x = 80 即：0.7x = 80 解得：x = 80 ÷ 0.7 ≈ 114.29 教师引导： “这个结果合理吗？人数应该是整数，这说明什么问题？” 引导学生讨论实际问题中解的合理性检验。 （三）巩固练习1 1. 一个数的3倍与这个数的 的和等于6，求这个数。 · 答案：设该数为 ，则 ，解得 。 1. 某仓库存放大米运出25%后，还剩37 500 kg，原有大米多少千克？ · 答案：设原有大米 kg，则 ，解得 。 （四）合作探究2 探究主题：工程合作问题建模 情境创设： “同学们，生活中我们经常需要合作完成一项任务。比如大扫除时，有的同学擦窗户，有的同学扫地，合作就能更快完成任务。数学中如何表示这种合作效率呢？” 问题呈现： 一项工作，小李单独做需要6小时完成，小王单独做需要9小时完成。如果小李先做2小时后，再由两人合做，那么还需两人合做几小时才能完成？ 探究过程： 教师：首先，我们如何表示每个人的工作效率？ 学生：小李每小时完成的工作，小王每小时完成的工作。 教师：很好。这种将总工作量看作"1"的方法很重要。那么，小李先做2小时，完成了多少工作？ 学生：2 × () = 。 教师：剩余的工作量是多少？ 学生：1 - = 。 教师：现在两人合作，每小时能完成多少？ 学生： + = + =。 教师：设还需要合作x小时，那么合作完成的工作量是多少？ 学生：()x。 教师：根据什么来列方程？ 学生：合作完成的工作量应该等于剩余的工作量，所以()x = 。 教师：很好！现在解这个方程。 学生：x = ( ) ÷ () = ( ) × () = = 2.4小时。 验证猜想： 总工作量：小李单独做2小时：2×( )= 两人合作2.4小时：2.4×()= ×== 总计： + = 1，验证正确！ 现实联系： “在实际生活中，2.4小时相当于2小时24分钟。这提醒我们，数学计算的结果要转化为实际可理解的形式。” 研究延伸： 如果总工作量不是1，而是具体的数值，比如要完成120个零件，小李每小时做20个，小王每小时做15个，其他条件不变，应该如何解决？ 学生探究： 总工作量：120个 小李效率：20个/小时 小王效率：15个/小时 小李先做2小时：20×2=40个 剩余：120-40=80个 合作效率：20+15=35个/小时 所需时间：80÷35= ≈2.29小时 教师引导： “比较两种方法，你们发现了什么？” 引导学生发现无论是否将总工作量设为1，其实质都是相同的数学模型。 设计意图 通过工程合作问题的深入探究，让学生理解工作效率、工作时间和工作总量之间的关系，培养学生建立数学模型解决实际问题的能力。通过具体数值和抽象为1两种方法的对比，帮助学生深入理解数学建模的本质。对应目标1和目标2。 （五）典例分析 例1 甲、乙两人从相距14 km的两地相向而行，甲速度12 km/h，乙速度16 km/h，多久相遇？ 解：设相遇时间为 小时，则 解得 小时。 设计意图 通过行程问题巩固“路程=速度×时间”的关系，培养学生列方程解决实际问题的能力，对应目标1和目标3。 （六）巩固练习 1. 甲、乙两地相距49 km，某人以6 km/h和5 km/h的速度分两段走完，共用9小时，求两段路程。 · 答案：设第一段路程为 km，则第二段为 km，列方程： · 解得 ，第二段为25 km。 1. 小明读一本书，第一次读 多2页，第二次读 少1页，还剩31页，全书共多少页？ · 答案：设全书 页，列方程： · 解得 。 1. 一件上衣进价提高40%后打八折出售，仍盈利18元，求进价。 · 答案：设进价为 元，则 · 解得 。 设计意图 通过多类实际问题训练学生列方程和解方程的能力，提升数学应用意识，对应目标2和目标3。 （七）归纳总结 问题类型 等量关系示例 方程形式 鸡兔同笼 头数、足数关系 比例分配 部分+部分=整体 工程合作 效率×时间=工作量 行程相遇 路程和=总距离 商品利润 售价-进价=利润 （八）感受中考 1. （2024·河北）某商品按标价打八折出售，仍盈利20%，若进价为200元，则标价为多少元？ · 答案：300元 1. （2024·北京）甲、乙两人从A、B两地相向而行，甲速度5 km/h，乙速度4 km/h，相遇时甲比乙多走3 km，求A、B两地距离。 · 答案：27 km 1. （2025·天津）某水池有甲、乙两进水管，甲管单独注满需6小时，乙管需8小时。两管同时开2小时后，关闭甲管，乙管还需几小时注满？ · 答案： 小时 1. （2025·河北）某书店促销，所有图书打八折，小明买书花了96元，若按原价购买需多少元？ · 答案：120元 设计意图 通过中考真题训练学生应试能力，增强学习动力，明确考试方向。 （九）小结梳理 知识点 关键方法 典型问题 找等量关系 理解题意，提取数量关系 鸡兔同笼、比例分配 设未知数 合理设元，注意单位统一 工程问题、行程问题 列方程 依据等量关系列出方程 商品利润、利率问题 解方程 去分母、去括号、移项、合并 所有类型问题 检验答案 代入原题验证合理性 所有类型问题 （十）布置作业 必做题 1. 课本P171 练习第1、2题 1. 课本P173 习题A组第1、2题 选做题 1. 课本P175 习题B组第4题 1. 课本P176 习题C组第6题 五、教学反思 （课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $