1.2 课时3 直线与圆的位置关系 导学案-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

1.2 课时3 直线与圆的位置关系 【学习目标】 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.(直观想象) 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.(逻辑推理) 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.(数学建模) 【自主预习】 1.我们已经学习了直线与圆的位置关系，怎样用几何法判断直线与圆的位置关系? 2.如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系? 3.用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果直线与圆组成的方程组有解，那么直线与圆相交或相切. (　　) (2)直线x+2y-1=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交. (　　) (3)过圆内一点一定能作圆的两条切线. (　　) (4)若一条直线与圆相交，所得的弦长是圆的弦中最长的，则这条直线一定过圆心. (　　) 2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(　　). A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 3.圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线l：x-y-5=0所得的弦长等于(　　). A. B. C.1 D.5 4.过点P(4，1)作圆C：(x-2)2+(y+3)2=4的切线，则切线方程为(　　). A.3x-4y-8=0 B.3x-4y-8=0或x=4 C.3x+4y-8=0 D.3x+4y-8=0或x=4 【合作探究】 探究1　直线与圆的位置关系 　　“海上生明月，天涯共此时”表达了诗人望月怀人的深厚情谊.在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采. 问题1：在这个过程中，将月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，则月出的过程中体现了直线与圆的几种位置关系? 问题2：直线与圆相交有几个交点?圆心到直线的距离比半径大还是小? 1.直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有________公共点  相切 只有________公共点  相离 ________公共点  2.判断直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d= d____r  d____r  d____r  代数法：直线与圆的方程联立，消元得到一元二次方程的根的判别式Δ Δ____0  Δ____0  Δ____0  例1　已知直线：mx-y-m-1=0，圆：x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点? (2)只有一个公共点? (3)没有公共点? 【方法总结】判断直线与圆位置关系的两种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断. (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. (多选题)已知直线l：kx-y+(2-k)=0，圆C：(x+2)2+(y-1)2=1，则下列说法正确的是(　　). A.l与圆C不一定存在公共点 B.圆心C到l的最大距离为 C.若l与圆C相交，则-<k<0 D.当k=-1时，圆C上仅有一个点到l的距离为2-1 探究2　求弦长 　　我们知道直线与圆有三种位置关系，其中相交是常考的一种，如图所示. 问题1：如何求图中AB的长度? 问题2：除了解直角三角形，还有其他求弦长的方法吗? 　　求弦长常用的三种方法： (1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系l2+d2=r2解题； (2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； (3)利用弦长公式，设直线l：y=kx+b与圆的两交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2|==·. 例2　求直线l：3x+y-6=0被圆C：x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 【方法总结】求弦长常用的三种方法：(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系解题；(2)先求交点坐标，再直接用两点间距离公式计算弦长；(3)利用弦长公式求解. 在平面直角坐标系内，已知A(3，0)，B(-1，0)，C为动点，若·=5. (1)求点C的轨迹E的方程； (2)已知直线l过点(1，2)，求曲线E截直线l所得的弦长的最小值. 探究3　圆的切线问题 问题1：过平面一点P可作几条圆的切线? 问题2：设切线方程要注意什么? 　　求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 (1)几何法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k，切线方程即可求出. (2)代数法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即y=kx-kx0+y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ=0，求得k，切线方程即可求出. (3)图象法：数形结合分析，是否有斜率不存在的切线. 例3　已知圆C的圆心为(-1，2)，且该圆截直线l：2x-y-1=0所得的弦长为4. (1)求该圆的方程； (2)求过点P(-4，-2)的该圆的切线方程. 【方法总结】过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的k值只有一个时，另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出. 已知点M(3，1)，直线ax-y+4=0及圆C：(x-1)2+(y-2)2=4. (1)若直线ax-y+4=0与圆C相切，求实数a的值； (2)求过点M的圆C的切线方程. 【随堂检测】 1.直线3x+4y-15=0与圆x2+y2=4的位置关系是(　　). A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 2.已知点M在圆x2+y2=2上，点N在直线l：y=x-3上，则|MN|的最小值是(　　). A. B. C. D.1 3.从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2，3)向圆引切线，则切线长为________.  4.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①过点(-1，2)；②与直线3x-4y+2=0平行；③与直线4x+3y-1=0垂直. 问题：已知直线l过点M(3，5)，且________.  (1)求l的方程； (2)若l与圆x2+y2-4x-6y+9=0相交于点A，B，求弦AB的长. 参考答案 1.2 课时3 直线与圆的位置关系 自主预习·悟新知 预学忆思 1.利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断它们之间的位置关系.若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交. 2.①如果直线l和圆C的方程分别为Ax+By+C=0，(x-a)2+(y-b)2=r2，那么可以用圆心C(a，b)到直线的距离d=与圆C的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系.②把直线与圆的交点个数问题转化为直线与圆的对应方程组成的方程组的解的个数问题，这样当方程组无解时，直线与圆相离；当方程组有一组解时，直线与圆相切；当方程组有两组解时，直线与圆相交. 3.“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系是从不同的方面，不同的思路来判断的.“几何法”侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”. 自学检测 1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.B　【解析】由题意得圆心(0，0)到直线3x+4y-5=0的距离d==1.∵d=r，∴直线与圆相切. 3.A　【解析】(法一)圆的方程可化为(x-2)2+(y+2)2=2， 则圆的半径r=，所以圆心(2，-2)到直线l的距离d==， 所以直线l被圆截得的弦长为2=2=. (法二)设直线l与圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2). 由得2x2-10x+11=0， 则x1+x2=5，x1x2=， 所以|AB|=×=. 4.B　【解析】若切线的斜率不存在，则过点P的直线方程为x=4， 此时圆心C(2，-3)到此直线的距离为2，即为圆的半径，故直线x=4为圆的切线. 若切线的斜率存在，设切线方程为y=k(x-4)+1，即kx-y+1-4k=0， 则2=，解得k=， 故此时的切线方程为3x-4y-8=0. 综上，切线方程为x=4或3x-4y-8=0. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：三种，分别是相交、相切和相离. 问题2：有两个交点，比半径小. 新知生成 1.两个　一个　没有 2.<　=　>　>　=　< 新知运用 例1　【解析】(法一)将直线方程mx-y-m-1=0代入圆的方程，化简整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0， 则Δ=4m(3m+4). (1)当Δ>0，即m>0或m<-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. (2)当Δ=0，即m=0或m=-时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点. (3)当Δ<0，即-<m<0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点. (法二)圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4， 则圆心为C(2，1)，半径r=2. 圆心C(2，1)到直线mx-y-m-1=0的距离d==. (1)当d<2，即m>0或m<-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. (2)当d=2，即m=0或m=-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. (3)当d>2，即-<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 巩固训练　ABD　【解析】l：kx-y+(2-k)=0，即k(x-1)-(y-2)=0，所以直线l过定点A(1，2)，圆C的圆心为C(-2，1)，半径为1，如图所示. 根据图象易得l与圆C不一定存在公共点，A正确；当直线l变化时，圆心C到l的最大距离为|AC|，且|AC|==，B正确；若l与圆C相交，则有<1，解得0<k<，C错误；当k=-1时，直线l：x+y-3=0，此时，圆心到直线的距离d==2，又圆C的半径为1，所以圆C上仅有一个点到l的距离为2-1，D正确. 探究2　情境设置 问题1：如图，过圆心作OC⊥AB，C为垂足，则AB=2. 问题2：有，求出交点A，B的坐标，利用两点间距离公式求解. 新知运用 例2　【解析】(法一)圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5， 其圆心坐标为(0，1)，半径r=. 圆心到直线l的距离d==， 则l=2=，所以截得的弦长为. (法二)设直线l与圆C交于A，B两点. 由得交点A(1，3)，B(2，0)， 所以|AB|==. (法三)设直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点. 由消去x，得y2-3y=0，所以y1+y2=3，y1y2=0， 所以|AB|=· =×3=. 巩固训练　【解析】(1)设点C的坐标为(x，y)，=(x-3，y)，=(x+1，y)， ∴·=(x-3)(x+1)+y2=5，∴点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=9. (2)∵(1-1)2+22=4<9，∴点(1，2)在圆内. 当直线l垂直于点(1，2)与圆心的连线时，截得的弦长|CD|最短，|CD|min=2=2. 故曲线E截直线l所得的弦长的最小值为2. 探究3　情境设置 问题1：当点P在圆内时，切线不存在；当点P在圆上时，只能作一条圆的切线；当点P在圆外时，可作两条圆的切线. 问题2：设切线方程时要注意斜率是否存在，切记切线的斜率不存在的情况，不要漏解. 新知运用 例3　【解析】(1)设圆C的方程是(x+1)2+(y-2)2=r2(r>0)，d为圆心到直线2x-y-1=0的距离， 则d==， ∴弦长为2=4，∴r2=9，∴圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=9. (2)当切线的斜率存在时，设切线方程为y+2=k(x+4)，即kx-y+4k-2=0， 由=3，得k=， ∴切线方程为7x-24y-20=0， 当切线的斜率不存在时，切线方程为x=-4. 故圆的切线方程为7x-24y-20=0或x=-4. 巩固训练　【解析】由题意知，圆心C的坐标为(1，2)，r=2. (1)由题意得=2，解得a=0或a=. (2)过点M且斜率不存在的直线为x=3，与圆C相切. 过点M且斜率存在的直线，设其方程为y-1=k(x-3)，即kx-y-3k+1=0， 则=2，解得k=， 故所求切线的方程为x-y-=0，即3x-4y-5=0. 综上，所求切线的方程为x=3或3x-4y-5=0. 随堂检测·精评价 1.C　【解析】圆心(0，0)到直线3x+4y-15=0的距离d==3.∵d>r，∴直线与圆相离. 2.B　【解析】由题意可知，圆心坐标为(0，0)， 圆心(0，0)到直线l：y=x-3的距离为=，所以|MN|的最小值为-r=-=. 3.2　【解析】点P(2，3)到圆心(1，1)的距离为=， 则切线长为=2. 4.【解析】(1)选条件①：∵直线l过点(3，5)及(-1，2)，∴直线l的斜率k=， 依题意，直线l的方程为y-5=(x-3)，即3x-4y+11=0. 选条件②：∵直线3x-4y+2=0的斜率为，直线l与直线3x-4y+2=0平行， ∴直线l的斜率为，依题意，直线l的方程为y-5=(x-3)，即3x-4y+11=0. 选条件③：∵直线4x+3y-1=0的斜率为-， 又直线l与直线4x+3y-1=0垂直，∴直线l的斜率为， 依题意，直线l的方程为y-5=(x-3)，即3x-4y+11=0. (2)圆的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4，∴圆心坐标为(2，3)，半径为2， ∴圆心到直线3x-4y+11=0的距离d==1，∴|AB|=2=2. 学科网（北京）股份有限公司 $