第1章 有理数 单元测试 2025-2026学年沪教版（五四制） 六年级数学上册

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第1章有理数单元测试（培优卷） 一、选择题 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 正数与负数互为相反数 B. 一个数的相反数是负数 C. 没有最小的负数 D. 有理数是正数、负数统称 2．下列说法正确的个数是（　　） ①0是最小的整数；②一个有理数，不是正数就是负数；③若a是正数，则﹣a是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正的就是负的；⑥一个有理数不是整数就是分数． A．1 B．2 C．3 D．4 3. 下列说法错误的是（ ） A. 相反数等于本身的数只有 B. 平方后等于本身的数只有， C. 立方后等于本身的数是， D. 绝对值等于本身的数只有， 4．有下列各数：，其中负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．若a2＝16，|b|＝5有意义，则a+b所有的可能值是（　　） A．﹣1 B．﹣1或﹣9 C．1或9 D．±1或±9 6.列说法正确的是（    ） A． B．若取最小值，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 7. 数轴上与点A距离3个单位长度的点表示的数是，则点A表示的数是_______． 8. 比较大小：_______（填“”、“”或“”）． 9. 如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是_____． 10. 若，则=________. 11．如果，则________． 12.将、、0、1、2、3、4、5、6这9个数分别填入图中的9个空格里，使每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数的和都相等，其中__． 13．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是　　． 14．若a＝25，b＝﹣3，试确定a2024+b2024的末位数字是 　． 15．一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝3，则C点表示的数是 　　． 16.下列图形由大小相等的等边三角形组成：图1为一个白三角形；图2在图1外部，画了3个黑三角形；图3在图2外部，画了6个白三角形；图4在图3外部，画了9个黑三角形；图5在图4外部，画了12个白三角形；……；以此类推，那么图（为大于1的整数）在前一个图外部，画了___个三角形（用含有的代数式表示） 三、解答题 19．把下列各数标在数轴上，并用“＜”连接起来， ﹣，﹣（﹣5），﹣0.5，0，﹣|﹣3|，+，﹣（+2） 20. 计算：． 21.计算： 22.计算：﹣12020+|﹣5|． 23.如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为5，求的值． 24.某仓库5月份前6天，每天粮食相对于前一天（单位：袋）变化如图，增加粮食记作“+”，减少粮食记作“﹣”． （1）通过计算说明前6天，仓库粮食总共的变化情况； （2）在1～7号中，如果前四天的仓库粮食变化情况是后三天变化精况的一半，求7号这天仓库粮食变化情况． 25.六年级智远团成员自主开展数学微项目研究，结合最近所学内容，他们开展了立方数的性质研究．根据背景素材，探索解决问题： 探索立方数的性质 素 材 古希腊数学家发现：一个正整数的三次幂总能表示成个连续奇数之和． 举例论证： （1）请按规律写出： 归 纳 数 学 规 律 （2）如果表示成个连续奇数之和时，其中有一个奇数是35， （3）当时，等号右边的式子的中间两个数（即第5个数和第6个数）是 应用数学规律 （4）利用这个结论计算： 26. 阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）的解为____________； （2）找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； （3）不等式的解集为____________． 27. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB=　 　，线段AB的中点表示的数为　 　； ②当t为　 　秒时，点P与点Q相遇． （2）①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　　　；点Q表示的数为　　　； ②若将数轴翻折，使点A与数轴上表示6的点重合，则此时点B与数轴上表示数　　　的点重合． （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第1章有理数单元测试（培优卷） 一、选择题 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 正数与负数互为相反数 B. 一个数的相反数是负数 C. 没有最小的负数 D. 有理数是正数、负数统称 【答案】C 【解析】 【分析】根据“仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0”可判断A，B，根据有理数的大小可判断C，根据有理数的概念可判断D，从而可得答案． 【详解】解：仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，故A，B不符合题意； 没有最小的负数，表述正确，故C符合题意； 正有理数，0，负有理数统称有理数，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是相反数的含义，有理数的大小比较，有理数的概念，掌握以上基础知识是解本题的关键． 2．下列说法正确的个数是（　　） ①0是最小的整数；②一个有理数，不是正数就是负数；③若a是正数，则﹣a是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正的就是负的；⑥一个有理数不是整数就是分数． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据整数包括正整数，0，负整数可以判断①⑤；根据有理数分为正有理数，0，负有理数可以判断②；根据相反数的意义可以判断③；根据自然数包括0和正整数可以判断④；根据整数和分数统称为有理数可以判断⑥． 【解析】解：因为整数有正整数也有负整数，所以0是最小的整数的说法是错误的，故①不正确； 因为0既不是正数也不是负数，但是有理数，所以一个有理数，不是正数就是负数的说法是错误的，故②不正确； 因为正数的相反数是负数，所以若a是正数，则﹣a是负数的说法是正确的，故③正确； 因为0是自然数，但0既不是正数也不是负数，所以自然数一定是正数的说法是错误的，故④错误； 因为0是整数，但0既不是正数也不是负数，所以一个整数不是正的就是负的说法是错误的，故⑤错误； 因为整数和分数统称为有理数，所以一个有理数不是整数就是分数的说法是正确的，故⑥正确． 所以说法正确的个数是2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的有关有理数的概念，解决此题的关键是正确理解0、自然数、有理数以及相反数的意义． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 相反数等于本身的数只有 B. 平方后等于本身的数只有， C. 立方后等于本身的数是， D. 绝对值等于本身的数只有， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，有理数的乘方运算和绝对值的意义；根据相反数的定义：两数之和为0，两数互为相反数，有理数的乘方运算，以及绝对值的意义逐一进行判断即可． 【详解】解：A．相反数等于本身的数只有0，选项正确，不符合题意； B．平方后等于本身的数只有0、1，选项正确，不符合题意； C．立方后等于本身的数是，，选项正确，不符合题意； D．绝对值等于本身的数是非负数，选项错误，符合题意； 故选：D． 4．有下列各数：，其中负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】利用相反数的意义，绝对值的意义，有理数的乘方的意义对每个有理数进行化简，再利用负数的意义解答即可． 【解析】解：∵﹣（﹣1）＝1是正数，﹣23＝﹣8是负数，＝是正数，﹣是负数，（﹣1）2023＝﹣1是负数，﹣|﹣4|＝﹣4是负数， ∴负数的个数为4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正数与负数，相反数的意义，绝对值的意义，有理数的乘方的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． 5．若a2＝16，|b|＝5有意义，则a+b所有的可能值是（　　） A．﹣1 B．﹣1或﹣9 C．1或9 D．±1或±9 【思路点拨】根据a2＝16，|b|＝5得到a＝±4，b＝±5，即可得到答案． 【解析】解：∵a2＝16，|b|＝5， ∴a＝±4，b＝±5， 当a＝4，b＝5时， a+b＝5+4＝9， 当a＝﹣4，b＝5时， a+b＝5+（﹣4）＝1， 当a＝4，b＝﹣5时， a+b＝﹣5+4＝﹣1， 当a＝﹣4，b＝﹣5时， a+b＝﹣5+（﹣4）＝﹣9， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的乘方、绝对值、有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6.列说法正确的是（    ） A． B．若取最小值，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】解：A．当时，，故该项错误； B．∵，∴当时取最小值，故该项错误； C．∵，∴，，∴，故该项错误； D．∵且，∴，∴，故该项正确； 故选：D． 二、填空题 7. 数轴上与点A距离3个单位长度的点表示的数是，则点A表示的数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及两点距离，熟练掌握数轴上有理数的表示及两点距离是解题的关键；由题意可分点A在1的左侧和右侧两种情况，然后问题可求解． 【详解】解：当点A表示的数在的左侧时，则与距离3个单位长度的数为； 当点A表示的数在的右侧时，则与距离3个单位长度的数为； 综上所述：点A表示的数是或； 故答案为或． 8. 比较大小：_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．据此求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 9. 如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是_____． 【答案】负数或0 【解析】 【分析】直接根据绝对值的意义求解． 【详解】∵一个数的绝对值等于这个数的相反数， ∴这个数为0或负数． 故答案为0或负数． 【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a． 10. 若，则=________. 【答案】25 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入计算即可. 【详解】∵， ∴x-2=0，y+5=0， ∴x=2，y=-5， ∴=(-5)2=25. 故答案为：25. 【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方. 11．如果，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．由绝对值的性质可得，，求解即可获得答案． 【详解】解：因为， 所以或， 解得或． 故答案为：4或． 12.将、、0、1、2、3、4、5、6这9个数分别填入图中的9个空格里，使每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数的和都相等，其中__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据有理数的加法计算后即可求得答案． 【详解】解：由题意可得，最中间的数为2， 则， 那么第一行的数分别为5，0，1， 第二行的数分别为，2，6， 第三行的数分别为3，4，， 则， 故答案为：． 13．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是　　． 【分析】此题要分三种情况进行讨论：①当x，y中有二正；②当x，y中有一负一正；③当x，y中有二负；分别进行计算． 【解答】解：①当x，y中有二正， 1+1﹣1＝1； ②当x，y中有一负一正， 1﹣1+1＝1； ③当x，y中有二负， 1﹣1﹣1＝﹣3． 故代数式的最大值是1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了绝对值，以及有理数的除法，关键是要分清分几种情况，然后分别进行讨论计算． 14．若a＝25，b＝﹣3，试确定a2024+b2024的末位数字是 　． 【解答】解：∵a＝25， ∴a1的个位数字是5，a2的个位数字是5，a3的个位数字是5，a4的个位数字是5，……， ∴a2024的个位数字是5； ∵31的个位数字是3，32的个位数字是9，33的个位数字是7，34的个位数字是1，35的个位数字是3，而2024÷4＝506， ∴32024的个位数字是1，（﹣3）2024的个位数字是1， ∴a2024+b2024的末位数字是5+1＝6． 故答案为：6． 15．一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝3，则C点表示的数是 　　． 【分析】设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，可以表示出AC的距离，在根据A′B＝3，表示出A′C，由折叠得，AC＝A′C，列方程求解即可． 【解答】解：设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x， ∵A′B＝3，B点表示的数为9， ∴点A′表示的数为9+3＝12， 根据折叠得，AC＝A′C ∴x+16＝12﹣x， 解得，x＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键，点A、B在数轴上表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|． 16.下列图形由大小相等的等边三角形组成：图1为一个白三角形；图2在图1外部，画了3个黑三角形；图3在图2外部，画了6个白三角形；图4在图3外部，画了9个黑三角形；图5在图4外部，画了12个白三角形；……；以此类推，那么图（为大于1的整数）在前一个图外部，画了___个三角形（用含有的代数式表示） 【答案】3(n-1). 【解析】 【分析】结合图形，通过5幅图中，后一幅图比前一幅增加的三角形数量与序数之间的关系总结规律即可解答. 【详解】解：观察图形可知， 第2幅图比第1幅图增加的三角形数量：3=3×1， 第3幅图比第2幅图增加的三角形数量：6=3×2， 第4幅图比第3幅图增加的三角形数量：9=3×3， 第5幅图比第4幅图增加的三角形数量：12=3×4， 如此可得规律为，图（为大于1的整数）比前一个图多了3(n-1)个三角形， 故答案为3(n-1). 【点睛】本题考查了规律的探索，通过示例图形，根据问题进行规律的总结是解题关键. 三、计算题 19．把下列各数标在数轴上，并用“＜”连接起来， ﹣，﹣（﹣5），﹣0.5，0，﹣|﹣3|，+，﹣（+2） 【解答】解：把各数表示在数轴上，如图所示： 则﹣＜﹣|﹣3|＜﹣（+2）＜﹣0.5＜0＜+＜﹣（﹣5）． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解：原式 21.计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘方，再算乘除，最后算加减．在计算中巧妙运用乘法运算律往往使计算更简便． 【详解】解： ． 22.计算：﹣12020+|﹣5|． 【解答】原式 ＝﹣1﹣8+2 ＝﹣7． 【点评】本题考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 23.如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为5，求的值． 【分析】根据题意可得a+b＝0，cd＝1，m＝±5即可． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为5， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝±5， 当a+b＝0，cd＝1，m＝5时，； 当a+b＝0，cd＝1，m＝﹣5时，； 所以原式的值为﹣7或3． 【点评】本题主要考查相反数，倒数，绝对值的性质，代数式的求值，分情况代入计算是解题的关键． 24.某仓库5月份前6天，每天粮食相对于前一天（单位：袋）变化如图，增加粮食记作“+”，减少粮食记作“﹣”． （1）通过计算说明前6天，仓库粮食总共的变化情况； （2）在1～7号中，如果前四天的仓库粮食变化情况是后三天变化精况的一半，求7号这天仓库粮食变化情况． 【分析】（1）由题意得，﹣4+2﹣6+5+3﹣7，计算可得； （2）设7号粮食变化x袋，由题意得，，解得x的值即为7号这天仓库粮食变化情况． 【解答】解：（1）﹣4+2﹣6+5+3﹣7＝﹣7 答：前6天，仓库粮食减少7袋； （2）设7号粮食变化x袋，由题意得， ， 解得：x＝﹣2 答：7号粮食减少2袋． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，关键是根据题意正确列式计算． 25.七年级智远团成员自主开展数学微项目研究，结合最近所学内容，他们开展了立方数的性质研究．根据背景素材，探索解决问题： 探索立方数的性质 素 材 古希腊数学家发现：一个正整数的三次幂总能表示成个连续奇数之和． 举例论证： （1）请按规律写出： 归 纳 数 学 规 律 （2）如果表示成个连续奇数之和时，其中有一个奇数是35， （3）当时，等号右边的式子的中间两个数（即第5个数和第6个数）是 应用数学规律 （4）利用这个结论计算： 【答案】（1）；（2）6 ；（3）99，101；（4）4356 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律． （1）设未知数列方程求解； （2）根据已知数据发现规律：表示成k个连续奇数之和时的第一个数是：，且共有k个连续的奇数，据此求解即可； （3）根据（2）中规律求出当时，第一个数，再计算第5个数和第6个数即可； （4）根据前面总结的规律进行计算即可． 【详解】解：（1）设， 解得：， ∴； 故答案为：； （2） ，，  ，， ，， ，， ∴表示成k个连续奇数之和时的第一个数是：，且共有k个连续的奇数， 又∵，，且， ∴35是分裂成连续奇数和中的一个， 故k的值为6， 故答案为：6； （3）当时，第一个数为，则第5个数为和第6个数为， 故答案为：99，101； （4） ． 26. 阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）的解为____________； （2）找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； （3）不等式的解集为____________． 【答案】（1）或 （2），，，0，1，2 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为表示的数，从而求解； （2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到的距离之和为5点即为表示的数，由此结合数轴求解即可； （3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到的距离之和大于7的的范围即可． 【小问1详解】 解：， 或， ∴或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和为5， ∵数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴， ∵为整数， ∴，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2； 【小问3详解】 解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和大于7， 首先在数轴上找出的解（如图）， 由（2）可知数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴要使得到2距离与到的距离之和等于7，则或， ∴解集为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及利用绝对值的几何意义解方程和不等式，熟练利用绝对值的几何意义和数轴分析是解题关键． 27. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB=　 　，线段AB的中点表示的数为　 　； ②当t为　 　秒时，点P与点Q相遇． （2）①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　　　；点Q表示的数为　　　； ②若将数轴翻折，使点A与数轴上表示6的点重合，则此时点B与数轴上表示数　　　的点重合． （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【答案】（1）①20，6；②4；（2）①﹣4+3t；16﹣2t；②﹣14；（3）线段MN的长度没有发生变化，线段MN的长为10． 【解析】 【分析】（1）①根据两点间的距离公式，中点坐标公式即可得到结论； ②根据时间=路程和÷速度和，列出算式计算即可求解； （2）①根据路程=速度×时间即可求解； ②先根据中点坐标公式求得翻折点，进一步求得点B对应的数； 当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t=2，于是得到当t=2时，P、Q相遇，即可得到结论； （3）由点M表示的数为=﹣4+t，点N表示的数为=6+t， 【详解】（1）①A、B两点间的距离AB=16﹣（﹣4）=20，线段AB的中点表示的数为（16﹣4）÷2=6； ②20÷（3+2）=4（秒）． 故当t为4秒时，点P与点Q相遇． （2）①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为﹣4+3t；点Q表示的数为16﹣2t；②（﹣4+6）÷2=1，16﹣（16﹣1）×2=﹣14． 故此时点B与数轴上表示数﹣14的点重合． （3）点M表示的数为=﹣4+t，点N表示的数为=6+t，MN=6+t﹣（﹣4+t）=10． 故线段MN的长度没有发生变化，线段MN的长为10． 故答案为20，6；4；﹣4+3t，16﹣2t；﹣14． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $