1.1 课时1 直线的方程、直线的倾斜角和斜率 导学案-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

1.1 课时1 直线的方程、直线的倾斜角和斜率 【学习目标】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(直观想象) 2.掌握过两点的直线的斜率公式.(数学运算) 3.通过对直线的倾斜角和斜率的学习，培养学生数学抽象的核心素养. 【自主预习】 　　我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图，过一点P可以作无数条直线a，b，c，…，由此可见，答案是否定的. 阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 1.a，b，c，…这些直线有什么联系呢? 它们的倾斜程度相同吗? 2.一个点和一个方向能确定一条直线吗? 3.下图中标的倾斜角α对不对? 4.刻画直线倾斜程度的量，除了倾斜角，还有其他的吗?坡度是斜率吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角，都存在斜率. (　　) (2)平分坐标轴直角的直线的斜率一定为1. (　　) (3)若一条直线的倾斜角为α，则α∈R. (　　) (4)直线斜率的取值范围是(-∞，+∞). (　　) 2.若直线l经过原点和(-1，1)，则它的倾斜角是(　　). A.45° B.135° C.45°或135° D.-45° 3.已知直线l经过原点和点(3，)，则直线l的斜率为(　　). A. B. C.1 D. 4.已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1，1)，B(1，1)，C(1，-1)，求直线AB，BC，AC的斜率. 【合作探究】 探究1　直线的倾斜角 　　小明常在无聊的时候将笔放在手指上不停地转圈，他的同桌也学了起来，但手指头总是不够协调，拿着水笔在手上还没转足半圈，就“啪嗒”一声掉在桌子上. 问题1：若把图中的笔看成一条直线绕着一个点P转动，把点P放在平面直角坐标系内，不论直线怎么旋转，它对x轴的相对位置有几种情形? 问题2：直线的倾斜角能不能是0°?能否大于平角? 问题3：在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角吗? 1.倾斜角的概念 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示. 2.倾斜角的范围 当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角α的取值范围为[0，π). 特别提醒：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. 例1　 设直线l过坐标原点O，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点O按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　). A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α+45°或α-135° 【方法总结】求直线的倾斜角的方法及两个注意点 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角. (2)两个注意点：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为；②注意直线倾斜角的取值范围是[0，π). 一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　). A.α B.180°-α C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α 探究2　直线的斜率 　　环法自行车赛是知名的年度多阶段公路自行车运动赛事，主要在法国举办，但也经常出入周边国家(如英国、比利时和西班牙等). 下图是某次比赛中所经过的某段公路的示意图. 问题1：OA，AB两段公路中哪段路更陡峭?为什么?用什么来刻画山坡的倾斜程度?怎样将“直观”量化? 问题2：所有直线都有斜率吗?若直线没有斜率，则这条直线的倾斜角为多少? 问题3：在斜率公式k=中，为什么规定x1≠x2? 1.改变量 在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx=x2-x1(Δx≠0)，Δy=y2-y1，即横坐标的改变量为Δx，纵坐标的改变量为Δy.比值k=反映了直线l的倾斜程度.k=的大小与两点P1，P2在直线上的位置关系无关. 2.斜率的定义 称k=(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率. 3.(1)倾斜角是的直线没有斜率，倾斜角不是的直线都有斜率. (2)直线的倾斜角与斜率的关系：①直线的斜率与倾斜角既有区别又有联系.它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的.但倾斜角是角度，是倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便.②倾斜角可为正，可为零，不可为负，而斜率k不仅可为正，可为零，而且可以为负. 例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在，求其斜率. (1)A(2，3)，B(4，5)； (2)C(-2，3)，D(2，-1)； (3)P(-3，1)，Q(-3，10). 【方法总结】已知两点坐标求斜率，常用两点斜率公式k=(x1≠x2)求解，注意x1=x2的情形. 若直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率为(　　). A. B. C.- D.- 已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB=4，则点B的坐标为________.  已知直线l过点P(-4，-6)，且其斜率k=. (1)判断点A(2，0)，B(-1，-4)是否在直线l上； (2)若点C(2m-3，m)在直线l上，求m的值. 【随堂检测】 1.直线l的倾斜角α的取值范围是(　　). A.0°≤α<180° B.0°<α≤180° C.0°<α<180° D.0°≤α<180°且α≠90° 2.给出下列结论： ①若α是直线l的倾斜角，则sin α∈[0，1]； ②若k是直线的斜率，则k∈R； ③任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确结论的个数是(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知点A(a，2)，B(5，1)，C(-4，2a)在同一直线上，则a的值为________.  4.已知A(m，-m+3)，B(2，m-1)，C(-1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值. 参考答案 1.1 课时1 直线的方程、直线的倾斜角和斜率 自主预习·悟新知 预学忆思 1.它们都经过点P，它们的倾斜程度不相同. 2.能. 3.都不对. 4.有，如斜率也能刻画直线的倾斜程度.坡度不是斜率，当直线的倾斜角是锐角时，直线的斜率与坡度是类似的. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.B　【解析】作出直线l，如图所示，由图易知，应选B. 3.A　【解析】由题意可知，直线l的斜率k==. 4.【解析】已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等.kAB==0，kAC==-1.∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：如图，有4种情形. 问题2：能是0°，不能大于平角. 问题3：每一条直线都有倾斜角. 新知运用 例1　D　【解析】根据题意，画出图形，如图所示： 由于0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意. 通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α+45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°. 故选D. 巩固训练　D　【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°+α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°-α.故选D. 探究2　情境设置 问题1：AB段路更陡峭，因为AB与水平面的夹角大于OA与水平面的夹角，可以利用斜坡倾斜角的正切值将“直观”量化，也可以利用坡度量化. 问题2：不是，当直线与x轴垂直时，直线没有斜率.若直线没有斜率，则其倾斜角为90°. 问题3：当x1=x2时，直线没有斜率. 新知运用 例2　【解析】(1)存在.直线AB的斜率kAB==1. (2)存在.直线CD的斜率kCD==-1. (3)不存在.因为xP=xQ=-3，所以直线PQ的斜率不存在. 巩固训练1　C　【解析】斜率k==-. 巩固训练2　(2，0)或(0，-8)　【解析】设B(x，0)(x≠3)或B(0，y)， ∴kAB=或kAB=， ∴=4或=4， ∴x=2或y=-8， ∴点B的坐标为(2，0)或(0，-8). 巩固训练3　【解析】(1)因为kPA==1≠，kPB==，所以点A不在直线l上，点B在直线l上. (2)因为点C在直线l上，所以kPC=，所以=，解得m=16. 随堂检测·精评价 1.A　【解析】由倾斜角的定义和规定知0°≤α<180°. 2.C　【解析】由直线的倾斜角的定义及斜率与倾斜角的关系可知，①②③正确. 3.2或　【解析】∵5≠-4，∴三点所在直线的斜率存在， ∴kAB==，kBC==. ∵点A，B，C在同一直线上，∴kAB=kBC， ∴=，解得a=2或a=. 4.【解析】由题意知，直线AC的斜率存在，即m≠-1， ∴kAC=，kBC=， ∴=3·， 整理得-m-1=(m-5)(m+1)，即(m+1)(m-4)=0， ∴m=4或m=-1(舍去)，∴m=4. 学科网（北京）股份有限公司 $