精品解析：2025-2026学年人教版八年级数学上册期中综合检测卷

期中综合检测 范围：第十三章至第十五章 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组中的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1， 2， 3 B. 1， 2， 4 C. 2， 2， 4 D. 4， 5， 6 2. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（ ） A. 中线 B. 边的垂直平分线 C. 高线 D. 角平分线 4. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，ABEF，AB＝EF，ACDE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（） A 1 B. C. 2 D. 3 6. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，在和中，，与相交于点P，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点， 与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是______． 12. 如图，相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，这个条件可以是______． 13. 如图，为了测量池塘两侧 ，间的距离，在点同侧选取点，经测量，然后在的一侧找到一点，使得为的平分线，且，若的长为米，则池塘两侧 ，之间的距离为__________． 14. 如图，轴是的对称轴，轴是的对称轴，点A的坐标为，则点C的坐标为_____． 15. 如图，在中，，，垂直平分，垂足为Q，交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线．若与的夹角为，则________°． 16. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则___________． 17. 如图，等边△ABC中，点分别在上，且，连接交于点，则的度数为______． 18. 在中，AH是BC边上的高，若CH- BH= AB，，则∠BAC= ______． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）过点D作，交的延长线于点F，求的度数． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）求出的面积； （3）已知为轴上一点，若的面积为2，求点的坐标． 21. 如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，． （1）求度数； （2）若平分，求的度数． 22. 如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． （1）若，求的周长． （2）试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 24. 若等腰三角形的顶角为，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在中，，点在边上，且． （1）如图，求的度数，并直接写出图中所有的黄金三角形； （2）若为线段上的点，过作直线于，分别交直线，于点，，如图，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 25. 在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，若等边三角形，点D在线段上，求证：． （2）若，点D在的延长线上，如图②，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 26. 如图，在中，过点A，B 分别作直线，，且，过点 C 作直线交直线于 D，交直线 于E． （1）如图1，若，分别平分和，求的度数． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． （3）如图2，若，且，是上一点，，连接，如果，，求长．（用含a，b的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中综合检测 范围：第十三章至第十五章 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组中的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1， 2， 3 B. 1， 2， 4 C. 2， 2， 4 D. 4， 5， 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，不能组成三角形，故C不符合题意； D、，能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 2. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意； B．图案成轴对称，故符合题意； C．图案不成轴对称，故不符合题意； D．图案不成轴对称，故不符合题意； 故你：B． 3. 如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（ ） A. 中线 B. 边的垂直平分线 C. 高线 D. 角平分线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，根据题意可得，即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，， 则是的角平分线， 故选：D． 4. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键． 5. 如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，ABEF，AB＝EF，ACDE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由ABEF得∠B＝∠F，由ACDE得∠ACB＝∠EDF，从而证明△ABC≌△EFD得BC＝FD，即可求得BD的长． 【详解】解：∵ABEF， ∴∠B＝∠F， ∵ACDE， ∴∠ACB＝∠EDF， 在△ABC和△EFD中， ， ∴△ABC≌△EFD（AAS）， ∴BC＝FD， ∴BC﹣DC＝FD﹣DC， ∴BD＝FC， ∴BD＝（BF﹣DC）＝（6﹣3）＝． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形全的判定及性质，熟练掌握三角形全的判定方法是解题的关键． 6. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质可得，再根据求解即可得． 【详解】解：是的平分线，且， ， ， ， ，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 7. 如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图所示，分以下情况讨论： ①当为等腰底边时，符合条件的点有个：； ②当为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个：； ∴点的个数是个， 故选：A． 8. 如图，在和中，，与相交于点P，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由条件可证，可求得，再利用三角形内角和求得，即可求解， 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点M，与OB交于点N，由线段垂直平分线性质可得出△PMN的周长就是P1P2的长，此时△PMN的周长最小． ∵OP=5，△PMN周长最小值是5cm， ∴OP2=OP1=OP=5． 又∵P1P2=5， ∴OP1=OP2=P1P2， ∴△OP1P2是等边三角形， ∴∠P2OP1=60°， ∴2（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°，即∠AOB=30°， 故选：B． 10. 如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点， 与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，先利用证明，8字型图，得到，证明，得到，进而证明是等边三角形即可． 【详解】解：∵与都是等边三角形，点、、在同一条直线上， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴是等边三角形，故④正确； 故选D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，理解三角形的稳定性是解题关键．根据“三角形具有稳定性”，即可获得答案． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 如图，相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，这个条件可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据已知得，，再根据全等三角形的判定合理添加即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； 当时，； 当，； 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，为了测量池塘两侧 ，间的距离，在点同侧选取点，经测量，然后在的一侧找到一点，使得为的平分线，且，若的长为米，则池塘两侧 ，之间的距离为__________． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，能够通过已知条件选择合适的判定定理证明三角形全等是解决本题的关键． 先通过角平分线的定义得到一组角相等，再根据全等三角形的判定定理“两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等（）”证明两个三角形全等，从而得到，进而求出的长度． 【详解】 为的平分线， ， 在和 中： ， 米， 即池塘两侧 ，之间距离为米． 故答案为：米． 14. 如图，轴是的对称轴，轴是的对称轴，点A的坐标为，则点C的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化特点，掌握关于x轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数成为解题的关键． 先利用关于x轴对称的点的坐标特征得到，然后根据关于y轴对称的点的坐标特征易得C点坐标即可． 【详解】解：∵轴是的对称轴，且点A的坐标为， ∴点A与点B关于x轴对称， ∴， ∵轴是的对称轴， ∴点B与点C关于y轴对称， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，垂直平分，垂足为Q，交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线．若与的夹角为，则________°． 【答案】55°． 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°，由角平分线的定义得∠2=35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠1+∠2=90°，从而可得∠1=55°，最后根据对顶角相等求出． 【详解】如图， ∵△ABC是直角三角形，∠C=90°， ， ， ， ∵是的平分线， ， 是垂直平分线， 是直角三角形， ， ， ∵∠α与∠1是对顶角， ． 故答案为：55°． 【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键． 16. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，，再根据线段垂直平分线的性质可得：，推出，进而得到是含角的直角三角形，所以，推出，即可得解． 【详解】解：， ， ∴； ∵是的垂直平分线， ∴， ； 又， ； ， 是含角的直角三角形， ， ， ∴； 故答案为：3． 17. 如图，等边△ABC中，点分别在上，且，连接交于点，则的度数为______． 【答案】120° 【解析】 【分析】易证△ABN≌△BCM，可得∠ABN=∠BCM，从而有∠OBC+∠OCB=60°，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】在△ABN和△BCM中，∵，∴△ABN≌△BCM，∴∠ABN=∠BCM，∴∠OBC+∠OCB=∠OBC+∠ABN=60°，∴∠BOC=180°－（∠OBC+∠OCB）=180°－60°=120°． 故答案为120°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 18. 在中，AH是BC边上的高，若CH- BH= AB，，则∠BAC= ______． 【答案】75°或35° 【解析】 【分析】当∠ABC为锐角时，过点A作AD=AB，交BC于点D，则可得出∠ADB=∠ABH=70°，BH=DH，结合AB+BH=CH、CH=CD+DH，可得出CD=AB=AD，进而求出∠C的度数，再求出∠BAC的度数；当∠ABC为钝角时，由AB+BH=CH可得出AB=BC，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求出∠BAC的度数．综上即可得出结论． 【详解】解：当∠ABC为锐角时，过点A作AD=AB，交BC于点D，如图1所示． ∵AB=AD， ∴∠ADB=∠ABH=70°，BH=DH． ∵AB+BH=CH，CH=CD+DH， ∴CD=AB=AD， ∴∠C=∠ADB=35°， ∴∠BAC=180°-∠ABH-∠C=75°． 当∠ABC为钝角时，如图2所示． ∵AB+BH=CH， ∴AB=BC， ∴∠BAC=∠ACB=∠ABH=35°． 故答案为75°或35°． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，分∠ABC为锐角及∠ABC为钝角两种情况考虑是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）过点D作，交的延长线于点F，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质求出的度数，然后根据角平分线定义求解即可； （2）根据三角形外角的性质求出的度数，然后根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又平分， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）求出的面积； （3）已知为轴上一点，若的面积为2，求点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是坐标系内描点画图，画轴对称图形，网格三角形的面积，利用方程思想解决三角形的面积问题是解本题的关键． （1）根据坐标先描出三点，再顺次连接即可，再确定关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可； （2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （3）设P点坐标为，由的面积为3，可得，再解方程即可． 【小问1详解】 解：如图，和为所作； 【小问2详解】 解：的面积； 故答案为4； 【小问3详解】 解：设P点坐标， ∵的面积为2， ∴， 解得或6， ∴P点坐标为或 21. 如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，三角形的外角，三角形的高，角平分线，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，得到，证明，求出，即可解答； （2）由平分，得到，可得到，即可解答． 【小问1详解】 解：，，， ， ， 是的高线， ∴， ， ； 【小问2详解】 平分，， ， ∵ 22. 如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键． （1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：在与中， ， 所以； 【小问2详解】 解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 23. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． （1）若，求的周长． （2）试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）12 （2）点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【小问1详解】 解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； 【小问2详解】 解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 24. 若等腰三角形的顶角为，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在中，，点在边上，且． （1）如图，求的度数，并直接写出图中所有的黄金三角形； （2）若为线段上的点，过作直线于，分别交直线，于点，，如图，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），黄金三角形有和 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由等腰三角形的性质和黄金三角形的定义即可得出结论； （2）证明得，借助已知利用线段的和差可得． 【小问1详解】 解：和都是黄金三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 和都是黄金三角形； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）知，，，即， ， ， 在和中， ， ， ， 即， 又，， ， ， ， 即． 25. 在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，若是等边三角形，点D在线段上，求证：． （2）若，点D在的延长线上，如图②，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）成立，见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）根据等边三角形的性质可得，，再根据证明，可得，进而证明出结论； （2）设与交于F点，根据证明，再根据角度关系证明即可． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（1）中的结论仍然成立．理由如下： 如图，设与交于F点， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴． 26. 如图，在中，过点A，B 分别作直线，，且，过点 C 作直线交直线于 D，交直线 于E． （1）如图1，若，分别平分和，求的度数． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． （3）如图2，若，且，是上一点，，连接，如果，，求的长．（用含a，b的式子表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质等． （1）由，分别平分和，求出，，进而得出，由，得出，代入计算即可得到结果； （2）在上取一点，使，连接，证明，再证明，，代入计算即可求得结果； （3）在上截取，连接，先证明，均为等边三角形，再证明，即可得到． 【小问1详解】 解：平分， ， 同理，， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图1，在上取一点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图2， ，， 为等边三角形， ，， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $