1.2 集合间的基本关系讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2 集合间的基本关系xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】子集 3 【题型2】真子集与空集 4 【题型3】由集合间的包含关系求参数 6 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 1.在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. 2.子集 文字语言 符号语言 图形语言 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素,都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 3.真子集 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). 4.集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A＝B,也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A＝B. 温馨提示　(1)“A是B的子集”的含义是:对任意x∈A都能推出x∈B. (2)注意“∈”与“⊆”的区别,“⊆”用于表示集合与集合之间的关系,比如N⊆R,{1,2,3}⊆{3,2,1};“∈”用于表示元素与集合之间的关系,比如1∈N. 5.空集 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作⌀.规定:空集是任何集合的子集. 6.集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A. (2)对于集合A,B,C: ①若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C; ②若A⫋B,B⫋C,则A⫋C. xix   提升方法技能 思 维 进 阶 (1)符号⊆,⫋,⊇,⫌,＝表示集合与集合之间的关系,其中“⊆”包含“⫋”和“＝”两种情况,同样“⊇”包含“⫌”和“＝”两种情况. (2)①⌀是不含任何元素的集合;②{0}是含有元素0的集合;③⌀⫋{0}. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】子集 （2024秋•浦东新区校级期中）写出所有满足，的集合 　，，　．典例 【答案】，，． 【分析】根据子集的定义求解． 【解答】解：由题意，满足，的集合可以是，，． 故答案为：，，． 方法点拨 判断集合关系的三种方法 (1)列举观察法:当集合中元素较少时,可列出集合中的全部元素,通过定义得出集合之间的关系. (2)集合元素特征法:首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法:利用数轴或Venn图.不等式的解集之间的关系,适合用数轴法. 【变式1】（2024秋•上饶期中）下列是集合，的子集的为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，写出集合的子集，分析选项可得答案． 【解答】解：根据题意，集合，，其子集有、、，． 分析选项：、、符合． 故选：． 【变式2】（2023秋•滨海新区校级期中）已知集合，则集合的子集有 　，，，，　． 【答案】，，，，． 【分析】先求出集合，再列出它的子集即可． 【解答】解：，， 集合的子集有：，，，，． 故答案为：，，，，． 【变式3】（2023秋•柘城县校级月考）写出集合，5，的所有子集． 【答案】答案见解答． 【分析】根据子集的定义写出所有子集即可． 【解答】解：集合，5，的子集为，则， 故所有子集为，，，，，，，，，，，5，． 【题型2】真子集与空集 （2026春•江汉区月考）设集合，则的真子集的个数是　　典例 A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】 【分析】写出集合，计算真子集个数． 【解答】解：，， 所以真子集个数为． 故选：． 方法点拨 1.假设集合A中含有n个元素,则有:(1)A的子集有2n个;(2)A的非空子集有(2n－1)个;(3)A的真子集有(2n－1)个. 2.求给定集合的子集的两个注意点: (1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. 【变式1】（2025春•江宁区期末）已知集合，则集合的真子集的个数是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】 【分析】先求出集合，再根据真子集的个数公式计算求解． 【解答】解：由题意，且，解得，1， 集合， 则集合的真子集的个数是． 故选：． 【变式2】（2025•漳州模拟）下列集合中表示空集的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案． 【解答】解：对于和，集合和集合都存在一个元素，不为，故都不符合题意； 对于，由，则△，即该方程存在两个相等的实数根， 所以集合，故不符合题意； 对于，由，则△，即该方程不存在实数根， 所以集合，故符合题意． 故选：． 【变式3】（2025•雨花区校级模拟）已知集合，则集合的真子集个数是　　 A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】 【分析】化简集合，可得集合的真子集个数． 【解答】解：集合，4，， 则集合的真子集个数为． 故选：． 【题型3】由集合间的包含关系求参数 （2025春•汉中期末）设集合，，若，则的取值范围为　　典例 A． B．， C． D．， 【答案】 【分析】通过解一元二次不等式化简集合，结合包含关系即可求解参数范围． 【解答】解：因为，，且， 所以． 故选：． 方法点拨 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 1.注意点:①不能忽视集合为⌀的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论. 2.常用方法:对于用不等式给出的集合,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误. 【变式1】（2025春•凌源市期末）已知集合，2，，集合，．若，则实数的取值集合为　　 A． B． C．， D． 【答案】 【分析】由题意得或，求出即可． 【解答】解：若，则或，解得， 经检验当时，满足集合中元素间的互异性，且． 故选：． 【变式2】（2025春•保定期末）已知集合，，且，则实数的取值范围为　　 A． B．或 C． D．或 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法即可化简集合，再利用，即可得出结果． 【解答】解：集合， 因为，所以，解得． 故选：． 【变式3】（2025春•新乡期末）已知集合，．若，则　　 A．0 B．1 C．2 D． 【答案】 【分析】根据，则，从而可求解． 【解答】解：由题知，故，代入得，得，故正确． 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合间的基本关系xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】子集 3 【题型2】真子集与空集 4 【题型3】由集合间的包含关系求参数 5 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 1.在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. 2.子集 文字语言 符号语言 图形语言 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素,都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 3.真子集 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). 4.集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A＝B,也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A＝B. 温馨提示　(1)“A是B的子集”的含义是:对任意x∈A都能推出x∈B. (2)注意“∈”与“⊆”的区别,“⊆”用于表示集合与集合之间的关系,比如N⊆R,{1,2,3}⊆{3,2,1};“∈”用于表示元素与集合之间的关系,比如1∈N. 5.空集 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作⌀.规定:空集是任何集合的子集. 6.集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A. (2)对于集合A,B,C: ①若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C; ②若A⫋B,B⫋C,则A⫋C. xix   提升方法技能 思 维 进 阶 (1)符号⊆,⫋,⊇,⫌,＝表示集合与集合之间的关系,其中“⊆”包含“⫋”和“＝”两种情况,同样“⊇”包含“⫌”和“＝”两种情况. (2)①⌀是不含任何元素的集合;②{0}是含有元素0的集合;③⌀⫋{0}. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】子集 （2024秋•浦东新区校级期中）写出所有满足，的集合 　，，　．典例 【答案】，，． 【分析】根据子集的定义求解． 【解答】解：由题意，满足，的集合可以是，，． 故答案为：，，． 方法点拨 判断集合关系的三种方法 (1)列举观察法:当集合中元素较少时,可列出集合中的全部元素,通过定义得出集合之间的关系. (2)集合元素特征法:首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法:利用数轴或Venn图.不等式的解集之间的关系,适合用数轴法. 【变式1】（2024秋•上饶期中）下列是集合，的子集的为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•滨海新区校级期中）已知集合，则集合的子集有 　，，，，　． 【变式3】（2023秋•柘城县校级月考）写出集合，5，的所有子集． 【题型2】真子集与空集 （2026春•江汉区月考）设集合，则的真子集的个数是　　典例 A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】 【分析】写出集合，计算真子集个数． 【解答】解：，， 所以真子集个数为． 故选：． 方法点拨 1.假设集合A中含有n个元素,则有:(1)A的子集有2n个;(2)A的非空子集有(2n－1)个;(3)A的真子集有(2n－1)个. 2.求给定集合的子集的两个注意点: (1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. 【变式1】（2025春•江宁区期末）已知集合，则集合的真子集的个数是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（2025•漳州模拟）下列集合中表示空集的是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2025•雨花区校级模拟）已知集合，则集合的真子集个数是　　 A．3 B．6 C．7 D．8 【题型3】由集合间的包含关系求参数 （2025春•汉中期末）设集合，，若，则的取值范围为　　典例 A． B．， C． D．， 【答案】 【分析】通过解一元二次不等式化简集合，结合包含关系即可求解参数范围． 【解答】解：因为，，且， 所以． 故选：． 方法点拨 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 1.注意点:①不能忽视集合为⌀的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论. 2.常用方法:对于用不等式给出的集合,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误. 【变式1】（2025春•凌源市期末）已知集合，2，，集合，．若，则实数的取值集合为　　 A． B． C．， D． 【变式2】（2025春•保定期末）已知集合，，且，则实数的取值范围为　　 A． B．或 C． D．或 【变式3】（2025春•新乡期末）已知集合，．若，则　　 A．0 B．1 C．2 D． 学科网（北京）股份有限公司 $