3.1.2椭圆的简单几何性质 学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.2·椭圆的简单几何性质 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、掌握椭圆的简单几何性质，包括范围、对称性、顶点、离心率等 2、理解椭圆离心率的定义及其对椭圆形状的影响，能根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程 3、体会利用代数方法研究几何图形性质的思想 通过分析椭圆的几何性质，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用椭圆几何性质解决相关问题，提升数学运算、直观想象素养 重点 椭圆的简单几何性质 椭圆离心率的定义及其对椭圆形状的影响 难点 深入理解椭圆各几何性质之间的内在联系 结合椭圆的几何性质，解决与直线和椭圆位置关系相关的问题 新知识导入 同学们，在生活中我们常见到椭圆形的物体，比如椭圆形的镜子、体育场跑道中的椭圆部分等。那椭圆究竟有怎样独特的几何性质呢？之前我们通过直线方程、圆的方程研究了它们的几何性质，类比这种方法，今天我们也利用椭圆的标准方程 来探索椭圆的几何奥秘。大家想一想，椭圆在平面中占据怎样的范围，它的形状又有什么特点，大小如何衡量，是否具有对称性，还有哪些特殊的点呢？带着这些疑问，让我们一起走进椭圆的简单几何性质这节课。 知识清单 知识点一 椭圆的简单几何性质 标准方程 焦点位置 及坐标 焦点在x轴上 __________，__________ 焦点在y轴上 __________，__________ 图形 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点坐标 __________，， ，__________ ，__________， __________， 长、短轴长 长轴长__________，短轴长__________ 离心率 ______________ 例题讲解 例题1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。 例题2 如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上。由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点。已知，cm，cm，试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm）。 例3:动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l: 的距离的比是常数，求动点M的轨迹. 例3:已知直线l:4x-5y+m=0和椭圆C： m为何值时，直线l与椭圆C: (1) 有两个公共点？ (2) 有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 课堂练习 1.已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是( ) A.椭圆的长轴长为2 B.椭圆的焦点坐标为， C.椭圆关于直线对称 D.当点在椭圆上时， 2.已知椭圆的短轴长为4，则( ) A.2 B.4 C.8 D.16 3.若椭圆C的焦距是短轴长的2倍，则椭圆C的离心率是( ) A. B. C. D. 4.过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为( ) A. B. C. D. 5.已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则C的离心率为___________________. 课后练习 1.已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为( ) A. B. C. D. 2.已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且C的长轴长为6，则C的短轴长为( ) A.2 B.4 C. D. 3.已知椭圆的离心率为，则椭圆C的焦距为( ) A.4 B.2或 C.或4 D. 4.椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为( ) A. B. C. D. 5.已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则E的离心率为( ) A. B. C. D. 6.椭圆的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( ) A. B. C.2 D.4 7.（多选）已知椭圆，，则( ) A.M与N的离心率相等 B.M与N的焦距相等 C.M与N的长轴长相等 D.M的短轴长是N的短轴长的两倍 8.（多选）已知椭圆，则( ) A.椭圆C的长轴长为10 B.椭圆C的一个顶点为 C.椭圆C的焦距为8 D.椭圆C的离心率为 9.已知椭圆的焦距等于，则实数m的值为________. 10.已知椭圆的焦点为，，且离心率，若点P在椭圆上，，则_________. 答案以及解析 知识清单 答案： 例题讲解 例题1 解答： 将原方程化为标准形式。 原方程为：。 两边同时除以400，得到： 由此可知，这是一个水平放置的椭圆，且，。因此，，。 计算（焦距的一半）： 根据椭圆的性质： 长轴长度为； 例题2 建立平面直角坐标系，设椭圆方程为： 根据题意，cm，因此cm。 在直角三角形中，可由勾股定理计算： 由椭圆的性质知： 代入数据： 计算： 因此，椭圆方程为： 例题3 解：设d是点M到定直线l:的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合 由此得. F x y O M H 将上式两边平方，并化简，得，即 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆. 例题4 解：由方程组 消去y，得 25x2+8mx+m2-225=0. ① 方程①的根的判别式 当∆＞0,得-25＜m＜25.此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点. 当∆=0,得m1=25，m2=-25.此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点. 当∆＜0,得m＜-25，或m＞25.此时方程①没有的实数根，直线l与椭圆C没有公共点. 课堂练习 1.答案：D 解析：对于A、B，由 得，， ∴长轴长，焦点为，.故A、B不正确； 对于C，将x，y互换，得椭圆与原椭圆方程不相同， 故椭圆不关于直线对称.故C不正确； 对于D，因为点在椭圆上， 则，∴，故D正确. 故选：D. 2.答案：B 解析：由C的短轴长为4， 得，即，则， 若，则，显然矛盾； 若，则． 经验证，当时，椭圆的短轴长为4， 故选：B. 3.答案：B 解析：设椭圆C的焦距为，长轴长为，短轴长为，则， 所以，， 所以椭圆C的离心率. 故选：B 4.答案：D 解析：因为所求椭圆的焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率，所以可设所求椭圆的方程为.由椭圆过点，可得，解得，故所求椭圆的方程为，即.故选D. 5.答案： 解析：设椭圆的半焦距为c，由题意可得， 整理得，因此，所以C的离心率为. 故答案为：. 课后练习 1.答案：B 解析：因为焦点在y轴上的椭圆的焦距为2， 所以，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：B. 2.答案：D 解析：由已知，， 又，即， 所以，解得， 故C的短轴长为， 故选：D. 3.答案：C 解析：椭圆的离心率为， 可得或， 解得，或， 所以时，椭圆的焦距为， 时，椭圆的焦距为. 故选：C. 4.答案：C 解析：椭圆的标准方程为，故. 5.答案：B 解析：由题意，，所以， 则离心率. 故选：B. 6.答案：D 解析：由，因为椭圆的焦点在x轴上， 所以，， 因为长轴长是短轴长的两倍，所以， 所以，得. 故选：D. 7.答案：BD 解析：椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆M的离心率，椭圆N的离心率，A错误； 对于B，椭圆M与N的焦距长都为6，相等，B正确； 对于C，椭圆M与N的长轴长不相等，C错误； 对于D，椭圆M的短轴长是N的短轴长的两倍，D正确. 故选：BD 8.答案：ACD 解析：因为，，，且椭圆C的焦点在y轴上，所以椭圆C的长轴长为10，顶点为，，焦距为8，离心率. 9.答案：3或5 解析：由题意知或，解得或. 10.答案：2 解析：椭圆，椭圆的焦点在x轴上， ， 则离心率， 即，由解得， 椭圆的长轴长为， 由椭圆的定义可知，，. 故答案为：2 学科网（北京）股份有限公司 $