3.1.2函数的表示法12题型分类（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

本讲义聚焦函数的表示法及其应用，系统构建从解析法、列表法到图象法的认知阶梯，衔接分段函数定义域、值域与图象画法，再延伸至实际问题建模与不等式综合，形成“概念—方法—应用”完整学习链。 资料设计紧扣数学核心素养，突出“抽象能力”“逻辑推理”和“模型观念”，如第1题用销售场景引导学生抽象出函数关系，第39题通过分段函数求值训练分类讨论思维，第11题阶梯水价问题则体现数学语言精准表达现实规律的能力。课中可辅助教师开展情境教学，课后便于学生查漏补缺，强化数形结合与建模意识，提升解决真实问题的能力。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.1.2函数的表示法12题型分类 一、函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 二、描点法作函数图象的三个步骤 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来． (2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来． (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来． 三、函数三种表示法的几点说明 (1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域． (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去． (3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象． 四、分段函数的概念 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数. 五、应用函数知识解决实际问题的一般步骤 (1)阅读材料、理解题意； (2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型； (3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论； (4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题． 六、分段函数的特点 (1)分段函数是一个函数，并非几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集． (3)分段函数的值域是各段值域的并集． (4)分段函数的图象要分段来画． 七、应用函数知识解决实际问题 关键是如何根据题意将实际问题抽象、转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题，这也是数学建模思想在实际问题中的具体应用． （一） 函数表示法 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 题型1：函数的表示法 1．（2025高一·全国·专题练习）某商场新进了10台平板电脑，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 2．（2025高一·全国·专题练习）某商场为反馈顾客，规定凡购买某品牌商品两件，赠儿童玩具一个，一顾客购买此品牌商品的件数为x件，获赠儿童玩具y个，分别用列表法、解析法、图象法将y表示成的函数． 3．（2025高一·全国·专题练习）某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩（总分120分）如下表所示： 考试次数x 1 2 3 4 5 成绩y/分 90 102 106 105 106 则下列说法正确的是（   ） A．成绩y不是考试次数x的函数 B．成绩y是考试次数x的函数 C．考试次数x是成绩y的函数 D．成绩y不一定是考试次数x的函数 4．（2025高一·陕西宝鸡·阶段练习）（多选）下列结论中正确的是（    ） A．任意一个函数都可以用解析式表示 B．函数，的图象是直线上一些孤立的点 C．表格可以表示y是x的函数 x 有理数 无理数 y 1 D．图象 可以表示函数的图象 （二） 函数图象的作法及应用 1、画函数图象的两种常用方法 (1)描点法 一般步骤：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． 2、画函数图象的关注点 ①画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； ②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； ③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点． 题型2：函数图象的作法及应用 5．（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的图象． (1)； (2)； (3)，． 6．（2025高一·全国·专题练习）求作的图象． （三） 函数解析式的求法 函数解析式的求法 求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等． (1)配凑法：将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式，并整体将g(x)用x代换，即可求出函数f(x)的解析式．如由f(x＋1)＝(x＋1)2可得f(x)＝x2. (2)换元法：将函数f(g(x))中的g(x)用t表示，则可求得x关于t的表达式，并将最终结果中的t用x代换，即可求得函数f(x)的解析式． (3)待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的解析式． 一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (4)解方程(组)法：采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到f(x)的表达式，这种方法也称为消去法． (5)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值． 题型3：配凑法 7．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ． 8．（2025高二·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 10．（2025高二·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型4：换元法 11．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ； 12．（2025高一·四川遂宁·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·四川成都·阶段练习）若，则 （    ） A． B． C． D． 14．（2025高一·全国·课后作业）已知，则函数 ，= ． 题型5：待定系数法 15．（2025高一·全国·专题练习）已知函数是一次函数，若，则 ； 16．（25-26高一·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 17．（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 18．（25-26高一·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 19．（2025高二·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型6：方程组法 20．（2025高一·全国·专题练习）已知函数对于任意的x都有，则 ． 21．（2025高一·全国·专题练习）已知函数对于任意的x都有，求的解析式． 22．（2025高一·江苏·专题练习）已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（    ） A．f(x)＝x2－12x＋18 B．f(x)＝－4x＋6 C．f(x)＝6x＋9 D．f(x)＝2x＋3 23．（2025高三·全国·专题练习）已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为 . 24．（2025高三·全国·专题练习）若，求的解析式． 25．（2025高一·全国·专题练习）已知定义域为且的函数满足，求的解析式． 题型7：赋值法 26．（2025高三·全国·专题练习）设是连续函数，且满足：，．求． 27．（2025高三·全国·专题练习）设函数对任意都满足，试求出． 28．（2025·山东聊城模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 . 29．（2025高一·上海金山·期末）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． （四） 分段函数的定义域、值域 分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 题型8：求分段函数的定义域 30．（2024高三·全国·专题练习）如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为 ． 31．（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 32．（2025高一·全国·课前预习）函数 则的定义域为 ． 33．（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 题型9：求分段函数的值域 34．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 35．（2025高二·江苏徐州·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 36．（2025高一·全国·课前预习）若定义运算，则函数的值域为 ． 37．（2025高一·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 38．（2025·山东威海模拟预测）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （五） 分段函数求值问题 1、求分段函数函数值的步骤 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 2、已知分段函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 题型10：分段函数求值问题 39．（2025高二·广西柳州·学业考试）设函数，则 ． 40．（2025高一·浙江杭州·期末）若函数，则 ． 41．（2025高一·云南迪庆·期末）设，则的值为 . 42．（福建省福州市八县（市、区）一中2025-2026学年高一学期11月期中联考数学试题）已知函数，若，则（ ）. A．1 B．2 C．3 D．4 43．（2025高一·全国·专题练习）函数．若，则 ． 44．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，求实数a的值． 题型11：分段函数与不等式的综合 45．（2025高一·全国·课后作业）已知,则使成立的的取值范围是（　  ） A． B． C． D． 46．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，求x的取值范围． 47．（2025高一·河南南阳·阶段练习）设函数,则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（2025高一·全国·专题练习）已知函数， (1)求，，； (2)若，求实数a的取值范围． 49．（2025高一·江苏淮安·期中）已知，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 50．（2025高一·贵州铜仁·期中）已知函数，则不等式的解集是 51．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）已知，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （六） 分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 注：(1)判断分段函数的图 象，分段判断，宏观把握. (2)画分段函数的图象，首先确定函数是否已经确为分段函数，然后再分段画出，分点处的虚实情况用空心点和实心点标出. 题型12：分段函数图象及应用 52．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，，令（即和中的最小者）． (1)分别用图象法和解析式表示； (2)求函数的定义域和值域． 53．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，已知底角为的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为，当垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象． 54．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 55．（2025高一·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 56．（2025高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 一、单选题 1．（2025高一·全国·课后作业）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·河南商丘·期中）已知，则（    ） A． B． C．5 D．-5 3．（2025高一·河北邢台·期中）已知是一次函数,且满足,则（    ）. A． B． C． D． 4．（2025高一·北京朝阳·期中）已知，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·阶段练习）在中，，周长为，将的面积表示成的函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2025高一·全国·课后作业）已知. 则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·福建龙岩·期中）定义运算若，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·课后作业）已知，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（2025高一·山东济宁·期中）已知函数,若，则的值是（    ） A． B．9 C．－1或1 D．或 10．（2025高一·全国·课后作业）已知是一次函数，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·天津河西·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 12．（2025高一·全国·课后作业）拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费符合其中表示不超过m的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是(　　) A．3.71 B．4.24 C．4.77 D．7.95 13．（2025高一·河南·期中）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：① 0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水. 则正确论断的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、多选题 14．（2025高一·湖南·开学考试）某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（    ） A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为 B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元 C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为 D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用 三、填空题 15．（2025·浙江）已知，函数若，则 . 16．（2025高一·北京通州·期末）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为 ；的取值范围是 . 17．（2025高一·全国·课后作业）设函数，则 ，若，则的取值范围是 ． 18．（2025高一·安徽滁州·阶段练习）已知，，若，则a＝ ． 19．（2025高三·辽宁·期末）若函数，则 ． 20．（2025高一·北京·期中）已知集合，，请用解析式法写出一个从集合到集合的函数（注意不要写常数函数和分段函数形式，并注意定义域） . 21．（2025高一·全国·课后作业）设函数对的一切实数均有，则等于 ． 22．（2025高二·海南·期末）是R上的函数，且满足，并且对任意的实数都有，则的解析式 四、解答题 23．（2025高一·全国·课后作业）已知为常数，若，求的值． 24．（2025高一·全国·课后作业）已知函数，关于成正比，关于成反比，且，.求： (1)函数的解析式及其定义域； (2)的值. 25．（2025高一·湖北十堰·阶段练习）已知函数的图象如图示，在直线的左侧是经过两点的线段（包括两个端点），在直线的右侧是经过点且解析式为的曲线． (1)求函数的解析式； (2)求的值； (3)求方程的解． 26．（2025高一·全国·课后作业）已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者). （1）分别用图象法和解析式表示φ(x)； （2）求函数φ(x)的定义域，值域. 27．（2025高一·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求，的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 28．（2025高一·全国·课后作业）年月日，王兵买了一辆手动挡的家庭汽车，该种汽车燃料消耗量标识是：市区工况：；市郊工况：；综合工况：.王兵估计：他的汽车一年的行驶里程约为，汽油价格按平均价格元来计算，当年行驶里程为时燃油费为元. (1)判断是否是关于的函数，如果是，求出函数的定义域和解析式； (2)王兵一年的燃油费估计是多少？ （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.1.2函数的表示法12题型分类 一、函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 二、描点法作函数图象的三个步骤 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来． (2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来． (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来． 三、函数三种表示法的几点说明 (1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域． (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去． (3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象． 四、分段函数的概念 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数. 五、应用函数知识解决实际问题的一般步骤 (1)阅读材料、理解题意； (2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型； (3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论； (4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题． 六、分段函数的特点 (1)分段函数是一个函数，并非几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集． (3)分段函数的值域是各段值域的并集． (4)分段函数的图象要分段来画． 七、应用函数知识解决实际问题 关键是如何根据题意将实际问题抽象、转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题，这也是数学建模思想在实际问题中的具体应用． （一） 函数表示法 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 题型1：函数的表示法 1．（2025高一·全国·专题练习）某商场新进了10台平板电脑，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 【答案】答案见解析 【解析】（1）列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3000 6000 9000 12000 15000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18000 21000 24000 27000 30000 （2）图象法：如图所示， （3）解析法：，． 2．（2025高一·全国·专题练习）某商场为反馈顾客，规定凡购买某品牌商品两件，赠儿童玩具一个，一顾客购买此品牌商品的件数为x件，获赠儿童玩具y个，分别用列表法、解析法、图象法将y表示成的函数． 【答案】答案见解析 【解析】（1）列表法： x/件 2 4 6 8 y/个 1 2 3 4 （2）解析法：，． （3）图象法： 3．（2025高一·全国·专题练习）某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩（总分120分）如下表所示： 考试次数x 1 2 3 4 5 成绩y/分 90 102 106 105 106 则下列说法正确的是（   ） A．成绩y不是考试次数x的函数 B．成绩y是考试次数x的函数 C．考试次数x是成绩y的函数 D．成绩y不一定是考试次数x的函数 【答案】B 【解析】根据函数的概念可知B正确. 4．（2025高一·陕西宝鸡·阶段练习）（多选）下列结论中正确的是（    ） A．任意一个函数都可以用解析式表示 B．函数，的图象是直线上一些孤立的点 C．表格可以表示y是x的函数 x 有理数 无理数 y 1 D．图象 可以表示函数的图象 【答案】BC 【分析】利用函数的定义及表示方法一一判定选项即可. 【解析】对于A项，并非所有函数都有解析式，故A错误； 对于B项，函数，，是直线上对应的五个点，故B正确； 对于C项，表格表示函数，因为对于任意自变量，都有唯一的函数值与之对应，故C正确； 对于D项，图中对于任意自变量，并非都有唯一的函数值与之对应，故D错误. 故选：BC （二） 函数图象的作法及应用 1、画函数图象的两种常用方法 (1)描点法 一般步骤：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． 2、画函数图象的关注点 ①画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； ②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； ③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点． 题型2：函数图象的作法及应用 5．（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的图象． (1)； (2)； (3)，． 【答案】(1)图像见解析 (2)图像见解析 (3)图像见解析 【解析】（1）这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线上，如图所示， （2）因为，所以这个函数的图象是抛物线介于之间的一部分，如图所示． （3）当时，，其图象如图所示． 6．（2025高一·全国·专题练习）求作的图象． 【答案】图像见解析 【解析】作出二次函数的图象如图（1），将x轴下方的部分翻折到x轴上方即得所求函数图象如图（2）． （三） 函数解析式的求法 函数解析式的求法 求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等． (1)配凑法：将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式，并整体将g(x)用x代换，即可求出函数f(x)的解析式．如由f(x＋1)＝(x＋1)2可得f(x)＝x2. (2)换元法：将函数f(g(x))中的g(x)用t表示，则可求得x关于t的表达式，并将最终结果中的t用x代换，即可求得函数f(x)的解析式． (3)待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的解析式． 一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (4)解方程(组)法：采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到f(x)的表达式，这种方法也称为消去法． (5)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值． 题型3：配凑法 7．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【解析】，． ，其中．． 8．（2025高二·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法即可解答. 【解析】因为，， 所以. 故选：D. 9．（2025高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域. 【分析】因为，且， 所以． 故选：D. 10．（2025高二·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【解析】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 题型4：换元法 11．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ； 【答案】 【解析】令，则，且， ，． 12．（2025高一·四川遂宁·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法计算可得. 【解析】因为，令，则且，， 所以，， 所以. 故选：D 13．（2025高一·四川成都·阶段练习）若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解析式即可. 【解析】令，则， ∴， ∴. 故选：B. 14．（2025高一·全国·课后作业）已知，则函数 ，= ． 【答案】 11 【分析】利用换元法可求出，进一步可得. 【解析】令，则， 所以，所以， 所以. 故答案为：；. 题型5：待定系数法 15．（2025高一·全国·专题练习）已知函数是一次函数，若，则 ； 【答案】或 【解析】设， 则． 又，所以， 即，解得，或． 所以或． 16．（25-26高一·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求解. 【解析】由为一次函数，设， 依题意，，整理得6， 因此，解得，所以． 故选：A 17．（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【解析】设（）， 对任意均有成立， 则， 即恒成立，则有，解得， 又，得， 所以． 18．（25-26高一·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，代入后利用恒等可求参数的值，从而得到解析式； （2）设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【解析】（1）设，则 ， 所以，解得或， 所以或. （2）设， 根据题意得，解得 所以． 19．（2025高二·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式； （2）等价转化原不等式为在上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数的不等式，解之即得. 【解析】（1）设，由可得： ， 即得，解得，故得， 又的图象经过点，则， 故； （2）由可得， 依题意，对，不等式恒成立， 故，解得， 即实数的取值范围为. 题型6：方程组法 20．（2025高一·全国·专题练习）已知函数对于任意的x都有，则 ． 【答案】 【解析】由题意，在中，以代x可得，联立可得，消去可得． 21．（2025高一·全国·专题练习）已知函数对于任意的x都有，求的解析式． 【答案】 【解析】，令，得．于是得关于与的方程组，，解得． 22．（2025高一·江苏·专题练习）已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（    ） A．f(x)＝x2－12x＋18 B．f(x)＝－4x＋6 C．f(x)＝6x＋9 D．f(x)＝2x＋3 【答案】B 【分析】用代替原方程中的，构造方程，解方程组的方法求解. 【解析】用代替原方程中的得： f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9， ∴ 消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18， . 故选：B 23．（2025高三·全国·专题练习）已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为 . 【答案】f(x)=2x 【分析】利用换元法，用方程组思想求得，然后用配凑法得出． 【解析】根据题意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x， 用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…① 用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…② ①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12， ∴f(x+1)=2x2(x+1)， f(x)=2x， 故答案为：f(x)=2x. 24．（2025高三·全国·专题练习）若，求的解析式． 【答案】（且） 【分析】令，构造关于的方程组求解即可． 【解析】由题可知， 令，其中，则，， 于是有：①， 由上式有意义，得且，即且， 用替换得：②， 联立①②，解得（且）， 所以（且）． 25．（2025高一·全国·专题练习）已知定义域为且的函数满足，求的解析式． 【答案】（且） 【分析】利用解方程组法，依次用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【解析】由题意知，① 用代换①式中的，得， 即，② 用代换①式中的，得， 即，③ 由①②③，得 则（且）． 题型7：赋值法 26．（2025高三·全国·专题练习）设是连续函数，且满足：，．求． 【答案】．其中，． 【分析】根据给定条件，设，利用赋值法变形可得，再换元利用柯西方程求得答案. 【解析】设， 由题设方程，取，可得． 又，由上式，用替换， 则． 令，代入上式得， 这正是柯西方程，因此，其中， 所以，其中，. 27．（2025高三·全国·专题练习）设函数对任意都满足，试求出． 【答案】 【分析】应用赋值法结合已知等式计算求解即可. 【解析】令代入条件得出，∴． 令代入条件得出， ∴． 再令，则有， 而用代入条件中得，       ① ①中与条件相加得 ． ∵， ． ∴， 于是． 令，有， ∴，∴或． 当时，，∴． ∵，∴， ∴，即为所求． 28．（2025·山东聊城模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 . 【答案】 【分析】令可得出，令结合偶函数的性质可求得函数的解析式，由此可得出函数的值域. 【解析】对，令，则，解得； 对，令，则， 又为偶函数，，故，解得。 又，故其值域为. 故答案为：. 29．（2025高一·上海金山·期末）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】通过令代入即可求解 【解析】是定义在上的函数，且对任意，恒成立， 令，得 ，故． 此时 ， 符合题设要求. 故答案为： （四） 分段函数的定义域、值域 分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 题型8：求分段函数的定义域 30．（2024高三·全国·专题练习）如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据图象分段求出定义域，然后求并集可得结果． 【解析】由图象可知，第一段的定义域为； 第二段的定义域为， ∴该分段函数的定义域为． 故答案为：． 31．（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由分段函数的定义域为各段的并集进行求解． 【解析】分段函数定义域为各段定义域的并集，即． 故答案为：． 32．（2025高一·全国·课前预习）函数 则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，即可求解. 【解析】由函数，可得函数的定义域为， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 33．（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由分段函数的各段的定义域求并集可得分段函数的定义域． 【解析】因为函数， 所以的定义域为 ，即函数定义域为， 故答案为： 题型9：求分段函数的值域 34．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】利用零点分段法去绝对值符号，进而求出函数的值域. 【解析】函数的定义域为R， 当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的值域为. 35．（2025高二·江苏徐州·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项. 【解析】当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故选：D. 36．（2025高一·全国·课前预习）若定义运算，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分段写出函数解析式并求出相应的值域，再取并集即可得解. 【解析】根据题意，当时，即时，，则； 当时，即时，，则. 所以，函数的值域为. 故答案为：. 37．（2025高一·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】; 【分析】根据时，，由值域为判断出，再求出时的范围，从而 ，解不等式即可. 【解析】当时，，因为值域为， 所以，即， 此时时，，即， 由值域为得：， 综上：， 故答案为：. 38．（2025·山东威海模拟预测）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【解析】因为在单调递增，在单调递增， 所以当时，单调递增，则， 又函数的值域为， 所以时，函数的值域要取到的所有实数， 所以， 当时，即时，函数单调递增， 时，， 当时，，即， 所以，即的取值范围是. 故选：C （五） 分段函数求值问题 1、求分段函数函数值的步骤 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 2、已知分段函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 题型10：分段函数求值问题 39．（2025高二·广西柳州·学业考试）设函数，则 ． 【答案】2 【分析】根据已知，直接求解分段函数的函数值，即可得出答案. 【解析】由已知可得，. 故答案为：2. 40．（2025高一·浙江杭州·期末）若函数，则 ． 【答案】2 【分析】根据解析式可得，再求即可. 【解析】由题意知， ，， 所以. 故答案为：2. 41．（2025高一·云南迪庆·期末）设，则的值为 . 【答案】 【分析】根据自变量的范围即可代入求值. 【解析】， 故答案为： 42．（福建省福州市八县（市、区）一中2025-2026学年高一学期11月期中联考数学试题）已知函数，若，则（ ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数的解析式，作图，由数形结合化简方程，结合分段函数，求得函数值. 【解析】由函数，可作图如下：    由方程，则，即，解得. . 故选：B. 43．（2025高一·全国·专题练习）函数．若，则 ． 【答案】或10 【解析】当时，，即， 或（舍去）； 当时，，． 综上可知，或． 44．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，求实数a的值． 【答案】或2 【解析】当时，，即，不合题意，舍去；当时，，即，符合题意；当时，，即，符合题意．综上可得，当时，a的值为或2． 题型11：分段函数与不等式的综合 45．（2025高一·全国·课后作业）已知,则使成立的的取值范围是（　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】（方法1）分别在时，解不等式，在时，解不等式，再求并集得答案. （方法2）在同一坐标轴中画的图象，虚线，则函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围，即不等式的解集，从而得答案. 【解析】（方法1）当时，不等式可化为，解得，又，所以； 当时，，不等式可化为，解得， 又，所以. 综上，使不等式成立的的取值范围是. 故选: A. （方法2）函数的图象如图所示，虚线表示，函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围即不等式的解集. 由图可知，的取值范围就是点的横坐标与点的横坐标之间的范围. 在中，令，得，所以点的横坐标为. 在中，令，得（舍去）或， 所以点的横坐标为，所以使不等式成立的的取值范围是. 故选：A. 46．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，求x的取值范围． 【答案】 【解析】当时，可化为，即，所以； 当时，可化为，即，所以； 当时，可化为，则． 综上可得，x的取值范围是． 47．（2025高一·河南南阳·阶段练习）设函数,则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式，分，解不等式即得. 【解析】当时，，解得或， 所以或； 当时，，解得， 所以； 综上，满足的的取值范围是. 故选：D. 48．（2025高一·全国·专题练习）已知函数， (1)求，，； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【解析】（1）由，，，得，，． （2）因为，所以，所以不等式化为，解得或， 即实数a的取值范围是 49．（2025高一·江苏淮安·期中）已知，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论、与三种情况，由题设不等式与分段函数得到关于的不等式，解之即可得到所求. 【解析】因为， 当时，， 故由得，解得，故； 当时，， 故由得， 当时，上式恒成立；当，整理得， 所以，故； 当时，， 故由得，解得，故； 综上：，即的解集为. 故选：B. 50．（2025高一·贵州铜仁·期中）已知函数，则不等式的解集是 【答案】 【分析】先求出的表达式，分类讨论即可解出. 【解析】由已知，得 当时，解，即，所以； 当时，恒成立. 综上所述，或，即. 故答案为：. 51．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）已知，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，分段讨论求解不等式作答. 【解析】函数，当时，，不等式化为：恒成立，则， 当时，，不等式化为：恒成立，则， 当时，，不等式化为：，解得，则， 所以的取值范围是. 故选：C （六） 分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 注：(1)判断分段函数的图 象，分段判断，宏观把握. (2)画分段函数的图象，首先确定函数是否已经确为分段函数，然后再分段画出，分点处的虚实情况用空心点和实心点标出. 题型12：分段函数图象及应用 52．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，，令（即和中的最小者）． (1)分别用图象法和解析式表示； (2)求函数的定义域和值域． 【答案】(1)图像见解析， (2)定义域为，值域为 【解析】（1）在同一个坐标系中画出函数，的图象如图①． 由图①中函数取值的情况，结合函数的定义，可得函数的图象如图②． 令，得或． 结合图②，得出的解析式为． （2）由图②知，的定义域为，，的值域为． 53．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，已知底角为的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为，当垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象． 【答案】，图象见解析 【解析】过点A，D分别作，，垂足分别是G，H． 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为，， 又，所以． （1）当点F在BG上，即时，； （2）当点F在GH上，即时，； （3）当点F在HC上，即时， ． 综合（1）（2）（3），得函数的解析式为． 图象如图所示． 54．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)作图见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【解析】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 55．（2025高一·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 【答案】(1)，， (2)或1或 (3)图象见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式易求时，的值域. 【解析】（1）因为， 所以，， . （2）当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴或（舍）. 综上所述，m的值为或1或. （3）函数的图象，如图所示： 当，， 当，， 综上所述：结合图象可得的值域为. 56．（2025高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 【答案】(1) (2)作图见解析， 【分析】（1）利用绝对值的性质进行分类讨论求解即可； （2）根据一次函数图象性质进行画图，根据图象求最值即可. 【解析】（1）当时，； 当时，； 所以 （2）由（1）得 由此画出的图象如下图所示： 由图象知，的值域为. 一、单选题 1．（2025高一·全国·课后作业）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出函数在，，时的值域，然后求并集可得答案. 【解析】当时，，即； 当时，；当时，． 综上可知，的值域为． 故选：B 2．（2025高一·河南商丘·期中）已知，则（    ） A． B． C．5 D．-5 【答案】C 【分析】令，代入直接计算即可. 【解析】令，即， 则， 故选：C. 3．（2025高一·河北邢台·期中）已知是一次函数,且满足,则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出一次函数的解析式,利用,得到等式,列出方程组,解方程组即可求出的解析式. 【解析】因为是一次函数,所以设, 由,得. 整理得, 所以,解得. 故选A. 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式,考查了数学运算能力. 4．（2025高一·北京朝阳·期中）已知，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法可求的解析式，结合选项可得答案. 【解析】令，由于，则，， 所以，得， 所以函数的解析式为． 故选：B 5．（2025高三·全国·阶段练习）在中，，周长为，将的面积表示成的函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据题意表示出三角形的高，直接用面积公式求解即可. 【解析】由题知是等腰三角形，， 又解得． 故选：D 6．（2025高一·全国·课后作业）已知. 则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，对进行分类讨化，将不等式转化为两个不等式，再解不等式，即可得答案； 【解析】当时，， ，所以， 当时，， 所以， 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 【点睛】本题考查利用分段函数解不等式，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题. 7．（2025高三·福建龙岩·期中）定义运算若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的新定义得到，然后解绝对值不等式即可. 【解析】因为，且， 所以，即，所以的取值范围是. 故选：A. 8．（2025高一·全国·课后作业）已知，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，结合函数解析式可解不等式. 【解析】当时，； 当时，． 因此． 故选：A． 9．（2025高一·山东济宁·期中）已知函数,若，则的值是（    ） A． B．9 C．－1或1 D．或 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，可得方程组，解方程即可得答案； 【解析】依题意，若，则，解得，不合题意，舍去． 若，则，解得(舍去)或, 故选:A. 【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求自变量的值，考查运算求解能力，属于基础题. 10．（2025高一·全国·课后作业）已知是一次函数，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【解析】依题意，设，则有，解得， 所以. 故选：D 11．（2025高一·天津河西·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】根据给定条件求出水费与水价的函数关系，再由给定函数值计算作答. 【解析】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元， 则，整理得：， 当时，，当时，，因此，由得：，解得， 所以此户居民本月的用水量为. 故选：D 12．（2025高一·全国·课后作业）拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费符合其中表示不超过m的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是(　　) A．3.71 B．4.24 C．4.77 D．7.95 【答案】C 【分析】先根据定义列式，再根据取整函数定义进行化简计算. 【解析】,故选C. 【点睛】本题考查分段函数求值.分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则的函数.它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集. 13．（2025高一·河南·期中）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：① 0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水. 则正确论断的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】0点到3点蓄水量增长速度为开了两个进水口，所以①正确； 3点到4点蓄水量下降速度小于出水口速度，所以开了进水口，②错误； 4点到6点蓄水量增长速度为零，又必开进水口，所以也开了出水口，③错误； 选C. 二、多选题 14．（2025高一·湖南·开学考试）某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（    ） A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为 B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元 C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为 D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用 【答案】ABC 【分析】直接根据函数图像求得函数解析式，进而分析各个选项. 【解析】根据图像甲厂的费用与礼品数量满足的函数为一次函数，且过（0,1），（8,5）两点，所以甲厂的费用与礼品数量满足的函数关系为，故A正确； 当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为，所以乙厂的加工费平均每个为元，故B正确； 易知当时，与之间的函数为一次函数，且过（2,3），（8,5），所以函数关系式为，故C正确； 当时，，，因为，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D不正确. 故选：ABC. 三、填空题 15．（2025·浙江）已知，函数若，则 . 【答案】2 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值. 【解析】，故， 故答案为：2. 16．（2025高一·北京通州·期末）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为 ；的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据题意，直接列式，根据题意求的最小值和最大值，得到的取值范围. 【解析】由题意可知函数关系式是， 由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故答案为：； 17．（2025高一·全国·课后作业）设函数，则 ，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】第一空，由解析式可得答案；第二空，分与两种情况结合解析式可得答案. 【解析】第一空，． 第二空，当时，由，得， 当时，由，得． 所以的取值范围为． 故答案为：； 18．（2025高一·安徽滁州·阶段练习）已知，，若，则a＝ ． 【答案】1 【分析】将整体代入整理后，利用每项系数一一对应相等的关系列出方程组求解. 【解析】解：∵，， ∴， 又， ∴， 解得． 故答案为：1． 19．（2025高三·辽宁·期末）若函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据函数的解析式可推导出f（5）=f（3）=f（1），由此可得所求结果． 【解析】由题意得． 故答案为1． 【点睛】本题考查求分段函数的函数值和运算求解能力，解题的关键是分清自变量所在的范围，然后代入求值，属于基础题． 20．（2025高一·北京·期中）已知集合，，请用解析式法写出一个从集合到集合的函数（注意不要写常数函数和分段函数形式，并注意定义域） . 【答案】，（答案不唯一） 【分析】根据函数的定义，写出一个符合的函数即可. 【解析】根据函数的定义，集合A中没有剩余元素，且应满足对于集合A中任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应. 可取，可知，，，显然1，2，3都是集合B中的元素. 故答案为：，（答案不唯一） 21．（2025高一·全国·课后作业）设函数对的一切实数均有，则等于 ． 【答案】 【分析】分别令和即可得到两个等式，解方程即可. 【解析】分别令和， 得， 解得. 故答案为： 22．（2025高二·海南·期末）是R上的函数，且满足，并且对任意的实数都有，则的解析式 【答案】 【分析】令，代入得出，再求． 【解析】解：令，代入得， 又，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用赋值法及配凑法求解函数的解析式，属于基础题． 四、解答题 23．（2025高一·全国·课后作业）已知为常数，若，求的值． 【答案】2 【分析】由化简，然后利用多项式相等的条件列方程组可求得结果. 【解析】因为， 所以， 所以， 所以，解得或， 所以，或， 所以的值为2. 24．（2025高一·全国·课后作业）已知函数，关于成正比，关于成反比，且，.求： (1)函数的解析式及其定义域； (2)的值. 【答案】(1)，定义域是； (2) 【分析】（1）设出与，利用待定系数法求出与，从而得到的解析式及其定义域；（2）利用第一问求出的解析式，求出. 【解析】（1）设（，且）， （，且）， 由于，， 所以，. 所以，定义域为 （2）由（1）得，. 25．（2025高一·湖北十堰·阶段练习）已知函数的图象如图示，在直线的左侧是经过两点的线段（包括两个端点），在直线的右侧是经过点且解析式为的曲线． (1)求函数的解析式； (2)求的值； (3)求方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，分段求解解析式； （2）根据函数的解析式，代入求值即可； （3）分段讨论解方程，再综合得解. 【解析】（1）当时，设， ∵的图象过两点， ∴且，解得，∴； 当时，， ∵的图象过点，∴，解得，∴， 综上，. （2）. （3）当时，，由，得，解得； 当时，，由，得，解得， 综上，方程的解为：． 26．（2025高一·全国·课后作业）已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者). （1）分别用图象法和解析式表示φ(x)； （2）求函数φ(x)的定义域，值域. 【答案】（1）图见解析，φ(x)＝；（2）定义域为R，值域为. 【分析】（1）在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象，然后取图象低的部分即得函数φ(x)的图象，根据图象写出分段函数的解析式即可； （2）结合图象可得答案. 【解析】（1）在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.    由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②. 令－x2＋2＝x得x＝－2或x＝1. 结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝ （2）由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，∴φ(x)的值域为(－∞，1]. 【点睛】本题考查了分段函数的图象和解析式，考查了利用图象求定义域和值域，属于基础题. 27．（2025高一·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求，的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 【答案】(1)， (2)函数的简图见解析. (3) 【分析】（1）直接利用分段函数解析式求解函数值. （2）根据函数类型及性质作函数简图. （3）由简图直接看出函数的值域. 【解析】（1）由， ∴， . （2）简图如图所示： （3）简图可知函数的值域为 28．（2025高一·全国·课后作业）年月日，王兵买了一辆手动挡的家庭汽车，该种汽车燃料消耗量标识是：市区工况：；市郊工况：；综合工况：.王兵估计：他的汽车一年的行驶里程约为，汽油价格按平均价格元来计算，当年行驶里程为时燃油费为元. (1)判断是否是关于的函数，如果是，求出函数的定义域和解析式； (2)王兵一年的燃油费估计是多少？ 【答案】(1)是，定义域是， (2)元 【分析】（1）根据函数的概念可判断出是关于的函数，结合题意可得出该函数的解析式以及定义域； （2）将代入函数解析式计算可得结果. 【解析】（1）解：根据函数的概念可知，是关于的函数， 因为王兵的汽车一年的行驶里程约为，故该函数的定义域为， 函数解析式为，其中. （2）解：当时，（元）， 所以王兵一年的燃油费估计是元. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $