精品解析：第2、3、4章综合检测（期中预测）2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第2、3、4章综合检测（期中预测）2025-2026学年北师版八年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点都在方格纸格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是（ ） A B. C. D. 4. 已知是一次函数的图象上三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 8 19 若不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，射线，分别表示嘉嘉和淇淇两名同学运动路程（米）与运动时间（秒）之间的函数图像，根据函数图像三人的说法如下： 甲：开始时，嘉嘉和淇淇两人相距； 乙：8秒后嘉嘉超过了淇淇； 丙：嘉嘉的速度比淇淇慢． 下列判断正确的是（ ） A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对 8. 正比例函数y＝kx与一次函数y＝x﹣k在同一坐标系中的图象大致应为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，已知点，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图1是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变；慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为与x的函数图象如图2所示，则下列说法正确的个数是：（ ） ①客人距离厨房门口；②慧慧比聪聪晚出发；③；④聪聪速度为；⑤从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距； A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11. 已知函数是正比例函数，则_____________． 12. 比较大小：________（填“”，“”或“”）． 13. 一个正数a的两个平方根分别是和，则_________． 14. 已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是________． 15. 如图，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是第二象限内一点，△ABC为等腰直角三角形且∠C＝90°，则直线BC的解析式为__． 16. 如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，…，按此作法进行下去，点的坐标为________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18 计算： （1） （2） 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是_____________； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为_____________； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 20. 已知点，试分别根据下列条件直接写出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点P的纵坐标比横坐标大5； （3）在（2）的条件下，直线轴，且，直接写出点Q的坐标． 21. 如图，两摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题： （1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式； （2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗高度是多少？ 22. 如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往c地，两人行驶的路程y（km）与甲行驶的时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）A、B两地相距 km，乙骑车的速度是 km/h； （2）求甲在的时间段内的函数关系式； （3）在的时间段内，当x（h）为何值时甲、乙两人相距5千米． 23. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，，（是的面积）； ，，（是的面积）； ，，（是的面积）； … （1）填空：__________，__________； （2）请用含有n（n为正整数）的式子填空：___________，___________； （3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值； 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若直线交轴负半轴于点，求的面积； （3）在轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2、3、4章综合检测（期中预测）2025-2026学年北师版八年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了算术平方根的运算．一个数的算术平方根应该是非负数．应看哪个正数的平方等于4，由此即可解决问题． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：A． 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的方法分别计算各选项，然后对比即可得出答案． 本题考查的是平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握平方根、立方根等的化简是解题的关键． 【详解】A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D 3. 如图，点都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的坐标建立平面直角坐标系，由此即可得出答案． 【详解】解：由点的坐标建立平面直角坐标系如下： 则点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了求点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 4. 已知是一次函数的图象上三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．根据一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵是一次函数的图象上三点， 且， ∴． 故选：C． 5. 有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数值转换器，先取的算术平方根，即求的算术平方根；再判断的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理 【详解】解：∵，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，的算术平方根为，是无理数， ∴输出的的值是． 故选：D． 6. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 8 19 若不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解表格信息，掌握待定系数法是关键．根据表格信息，运用待定系数法得到解析式，由此即可求解． 【详解】解：秤砣到提纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系， ∴设，结合表格得到， 解得， ∴一次函数解析为， ∴当时，， ∴不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是， 故选：B ． 7. 如图，射线，分别表示嘉嘉和淇淇两名同学运动路程（米）与运动时间（秒）之间的函数图像，根据函数图像三人的说法如下： 甲：开始时，嘉嘉和淇淇两人相距； 乙：8秒后嘉嘉超过了淇淇； 丙：嘉嘉的速度比淇淇慢． 下列判断正确的是（ ） A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据函数图像获取信息，熟练掌握通过函数图像获取信息是解题关键．根据函数图像的意义解答． 【详解】解：①从图中可以看出，时，，，，即起跑前嘉嘉、淇淇相距，正确； ②从图中可以看出，时，，时，，8秒后嘉嘉超过了淇淇，正确； ③从图中可以看出，，，， 即嘉嘉的速度比淇淇快，错误． 故选：C． 8. 正比例函数y＝kx与一次函数y＝x﹣k在同一坐标系中的图象大致应为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象分别确定的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能． 【详解】根据图象知： A、k＜0，﹣k＜0．解集没有公共部分，所以不可能； B、k＜0，﹣k＞0．解集有公共部分，所以有可能； C、k＞0，﹣k＞0．解集没有公共部分，所以不可能； D、正比例函数的图象不对，所以不可能． 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b的图象的四种情况是解题的关键． 9. 如图，平面直角坐标系中，已知点，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是坐标系内点坐标规律问题，利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴经过1秒钟时，P与Q在处相遇， 接下来两个点走路程和为10的倍数时，则每过2秒，两点相遇， ∵第二次相遇在的中点， 第三次相遇在， 第四次相遇在， 第五次相遇在， 第六次相遇在B点， ∴每五次相遇点重合一次， ∵， 即第2029次相遇点的坐标与第四次相遇点的坐标重合，即． 故选：A． 10. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图1是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变；慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为与x的函数图象如图2所示，则下列说法正确的个数是：（ ） ①客人距离厨房门口；②慧慧比聪聪晚出发；③；④聪聪的速度为；⑤从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距； A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息． 由图象可知，C，D纵坐标都为450，可判断①正确；由表示慧慧行走的路程与时间的函数图象过，可判断②正确；求出慧慧提速前速度为，提速后速度为，知，故聪聪速度为，判断④错误；而，判断③正确，由两人行走的过程可判断⑤正确． 【详解】解：由图象可知，C，D纵坐标都为450， ∴客人距离厨房门口，故①正确； 由表示慧慧行走的路程与时间的函数图象过， ∴慧慧比聪聪晚出发，故②正确； 慧慧提速前速度为， ∴慧慧提速后速度为， ∴， ∴聪聪速度为，故④错误； ∴，故③正确， 慧慧刚出发时，聪聪已经出发，两人相距， 慧慧出发后，由于慧慧速度大于聪聪速度，两人距离逐渐变小，直至慧慧追上聪聪后，两人距离逐渐变大，当惠惠到达目的地时，两人相距，之后两人距离又逐渐变小， ∴从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距，故⑤正确； ∴正确的有①②③⑤，共4个， 故选：B． 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11. 已知函数是正比例函数，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 根据正比例函数的定义列出方程求解即可． 【详解】解：是正比例函数， 且， 解得：； 故答案为：． 12. 比较大小：________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数大小比较解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查实数大小的比较，关键是根据实数大小比较解答． 13. 一个正数a的两个平方根分别是和，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0可求出a值． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，解一元一次方程，注意利用正数的两个平方根互为相反数的性质求解． 14. 已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质．根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由非负性得：， 解得：， ∵， ∴此三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：． 故答案为：3． 15. 如图，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是第二象限内一点，△ABC为等腰直角三角形且∠C＝90°，则直线BC的解析式为__． 【答案】 【解析】 【分析】先分别令和确定A和B的坐标，作辅助线，设，则，利用三角比得，，根据，表示AB的长，求出a的值，可得E的坐标，最后利用待定系数法可得结论． 【详解】解：当x＝0时，y＝2， 当y＝0时，2x+2＝0， ∴x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（0，2）， ∴OA＝1，OB＝2， 过A作AE⊥x轴，交BC于E，过E作EF⊥AB于F， ∵∠EBA＝45°， ∴EF＝BF， ∵EA∥OB， ∴∠EAF＝∠ABO， ∴tan∠ABO＝tan∠EAF＝， 设EF＝a，则BF＝a，AF＝2a，AE＝a， ∴AB＝3a＝， ∴a＝， ∴AE＝a＝， ∴E（﹣1，）， 设直线BC的解析式为：y＝kx+b， 则，解得：， 则直线BC的解析式为：y＝x+2； 故答案为：y＝x+2． 【点睛】此题属于一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，利用三角函数解直角三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 16. 如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，…，按此作法进行下去，点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合勾股定理，求出点的坐标并找到规律是解题的关键． 根据的坐标和函数解析式，求得的长度，再由此可求得的坐标，依次类推，即可求出点、，探究规律利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵直线，点坐标为，过点作轴的垂线交直线于点， ， 在中，， ， ∴点的坐标为， ， 在中，， ， ∴点的坐标为， 同理，可得出：点的坐标为， 由此可知的坐标为， 故点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方根的含义，立方根的含义解方程； （1）把方程化为：，再利用平方根的含义解方程即可； （2）由，再利用立方根的含义解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：或． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算和乘法运算，需要注意，括号前面为“－”，则去括号要变号． （1）利用乘法公式去括号，然后合并同类二次根式； （2）先将二次根式化简为最简二次根式，然后合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是_____________； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为_____________； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】（1）见解析，4 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，坐标与图形，轴对称的性质，熟练掌握“平面直角坐标系的知识”是解本题的关键． （1）先在坐标系内描点A，B，C，再顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案； （3）由P为x轴上一点，的面积为4，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵、、． ∴在平面直角坐标系中画出如下； ； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵P为x轴上一点，的面积为4， 即， ∴， ∴， ∵， ∴点P的横坐标为：或， ∴P点坐标为：或． 20. 已知点，试分别根据下列条件直接写出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点P的纵坐标比横坐标大5； （3）在（2）的条件下，直线轴，且，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形的性质特点，明确平面直角坐标系中点的坐标特点是解题的关键． （1）y轴上的点的横坐标为0，从而可求得m的值，则问题可解； （2）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出m的值，再求解即可； （3）根据题意解答即可． 【小问1详解】 解：点在轴上， 【小问2详解】 解：点的纵坐标比横坐标大5， 解得， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：，直线轴， ， 21. 如图，两摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题： （1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式； （2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？ 【答案】（1）（x是正整数） （2）21 【解析】 【分析】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力． （1）可设，由图示可知，时，；时，，由此可列方程组，进而求解； （2）令，求出相应的值即可． 【小问1详解】 设． 由图可知：当时，；当时，． 把它们分别代入上式，得， 解得，． ∴一次函数的解析式是（x是正整数） 【小问2详解】 当时，． 即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是． 22. 如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往c地，两人行驶的路程y（km）与甲行驶的时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）A、B两地相距 km，乙骑车的速度是 km/h； （2）求甲在的时间段内的函数关系式； （3）在的时间段内，当x（h）为何值时甲、乙两人相距5千米． 【答案】（1）20，5 （2） （3）3小时或5小时 【解析】 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出A、B两地的距离，然后再根据图象中的数据，可以计算出乙骑车的速度； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出甲在的时间段内y与x之间的函数关系式； （3）根据题意，可知存在三种情况甲、乙两人相距5千米，然后分别计算出即可． 【小问1详解】 解：由图象可得， A、B两地相距20km， 乙骑车的速度是（km/h）， 故答案为：20，5； 【小问2详解】 解：设甲在时，y与x之间的函数关系式是 ∵点在该函数图象上， ， 解得， 即甲在时，y与x之间的函数关系式是； 【小问3详解】 解：设乙在时，y与x之间的函数关系式是 ∵点在函数图象上， ∴， 解得． 即乙在时，y与x之间的函数关系式是， 相遇之前两人相距5km，则， 解得． 相遇之后且甲到达C地之前相距5km，则， 解得． 答：当乙行驶3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答和分类讨论的思想解答是解答本题的关键． 23. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，，（是的面积）； ，，（是的面积）； ，，（是的面积）； … （1）填空：__________，__________； （2）请用含有n（n为正整数）的式子填空：___________，___________； （3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值； 【答案】（1）10， （2）， （3）18 【解析】 【分析】本题考查了数学中的阅读能力，规律问题，还有二次根式的化简，分母有理化，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算． 【小问1详解】 根据题意可得， ，； 【小问2详解】 根据题意可得， ，； 【小问3详解】 ． 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若直线交轴负半轴于点，求的面积； （3）在轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）将点代入即可求解； （2）设，根据勾股定理可以求出的值，即可得到的面积； （3）分、、三种情况分别求出点坐标． 【小问1详解】 解：将点代入得，解得：， 故直线的表达式为． 【小问2详解】 解：设， ， ，即， ， 解得：， ． 【小问3详解】 解：存在 由题意可得， ∴可分三种情况考虑，如图所示． 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 当时，设，则， ∴，解得：， ∴点坐标为； 当时，， ∴点的坐标为． 综上所述：轴上存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $