1.4.2 课时1 一元二次不等式及其解法（一）导学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.4.2 课时1 一元二次不等式及其解法(一) 【学习目标】 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系，了解函数的零点与方程的根的关系.(数学抽象) 2.掌握用图象法解一元二次不等式.(直观想象) 3.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.(数学运算) 【自主预习】 1.不等式x2+>0是一元二次不等式吗? 2.在一元二次不等式的一般形式中，“a≠0”可以省略吗? 3.若二次函数y=x2-4的函数值大于零，如何求解 x的取值范围? 4.一元二次函数与一元二次方程的解、一元二次不等式的解集有什么对应关系? 1.不等式x2+2x-3>0的解集是(　　). A.{x|x<-3或x>1} B.{x|x<-1或x>3} C.{x|-1<x<3} D.{x|-3<x<1} 2.不等式4x2-9<0的解集是________.  3.不等式x(2-x)>3的解集是________.  4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是________.  【合作探究】 探究1　一元二次不等式的有关概念 　　观察下列不等式： (1)x2>0；(2)-x2-2x≤0；(3)x2-5x+6>0. 问题1：以上给出的3个不等式，它们含有几个未知数?未知数的最高次数是多少? 问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点? 1.一元二次不等式 我们把只含有________未知数，并且未知数的________的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0，或ax2+bx+c<0，或ax2+bx+c≥0，或ax2+bx+c≤0，其中a，b，c均为常数，且a≠0.  2.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的________，叫作这个一元二次不等式的________，其解的________，称为这个一元二次不等式的________.  例1　给出下列关于x的不等式：①x2>0；②-x2-x≤5；③ax2>2；④x3+5x-6>0；⑤mx2-5y<0；⑥ax2+bx+c>0.其中一定是一元二次不等式的有(　　). A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【方法总结】判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次项的系数不能为0. 给出下列关于x的不等式： ①3x+4<0；②x2+mx-1>0； ③ax2+4x-7>0；④x2<0. 其中一定为一元二次不等式的有(　　). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 探究2　一元二次不等式的解法 　　已知一元二次函数y=x2-2x，一元二次方程x2-2x=0，一元二次不等式x2-2x>0. 问题1：试求情境中二次函数的图象与x轴的交点的坐标. 问题2：情境中一元二次方程的根是什么? 问题3：问题1中点的坐标与问题2中的根有何内在联系? 问题4：根据上述问题和函数图象，你能得到情境中一元二次不等式的解集吗? 　　二次函数的图象与一元二次方程的根、不等式的解集的对应关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ________ R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 例2　解下列不等式： (1)2x2-3x-2>0； (2)-3x2+6x-2>0； (3)x2-2x+2>0. 【方法总结】解一元二次不等式的一般步骤 (1)将不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的根的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实数根； (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集. 解下列不等式： (1)4x2-4x+1>0； (2)-x2+6x-10>0. 探究3　解含参数的一元二次不等式 问题1：一元二次不等式的解集要写成什么形式? 问题2：解不等式-x2+3x-2<0，第一步需要干什么?解不等式ax2+3x-2<0呢? 　　解含参数的一元二次不等式的步骤：第一步，先处理二次项系数；第二步，通过分解因式或求根的判别式来确定一元二次方程有没有根；第三步，若有根，比较根的大小，写出解集，若无根，结合图象确定解集是R还是⌀. 在此过程中，当参数的存在导致二次函数的开口方向、判别式的正负以及两根的大小关系不确定时，需对参数分类讨论. 例3　解关于x的不等式：x2-ax-2a2<0(a∈R). 【方法总结】解含参数的一元二次不等式的注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数的正负进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则需对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则需对两根的大小进行讨论. 设a∈R，解关于x的不等式：ax2+(1-2a)x-2>0. 已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为. (1)求a，c的值； (2)解关于x的不等式：ax2+(ac+2)x+2c≥0. 【随堂检测】 1.不等式x2-2x>0的解集是(　　). A.{x|x≥2或x≤0} B.{x|x>2或x<0} C.{x|0≤x≤2} D.{x|0<x<2} 2.已知不等式ax2-bx-1≥0 的解集是x-≤x≤-，则不等式x2-bx-a<0 的解集是(　　). A.{x|2<x<3} B.{x|x<2或x>3} C.x<x< D.xx<或x> 3.若方程x2+(m-3)x+m=0有实数解，则m的取值范围是________.  4.解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0. 参考答案 1.4.2 课时1 一元二次不等式及其解法(一) 自主预习·悟新知 预学忆思 1.不是，一元二次不等式一定为整式不等式. 2.不可以，若a=0，则不等式不是二次不等式. 3.结合二次函数的图象求解，可得x的取值范围为x<-2或 x>2. 4.可以借助二次函数的图象进行分析，二次函数的图象与 x轴的交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根，二次函数图象与x轴的相关位置可确定一元二次不等式的解集. 自学检测 1.A　【解析】由x2+2x-3>0，得(x-1)(x+3)>0，解得x<-3或x>1， 所以原不等式的解集为{x|x<-3或x>1}.故选A. 2.　【解析】原不等式可化为x2<，解得-<x<. 3.⌀　【解析】将不等式化为x2-2x+3<0，因为对应方程的根的判别式Δ<0，所以不等式x(2-x)>3的解集为⌀. 4.(-1，2)　【解析】由题图可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是(-1，2). 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2. 问题2：形如ax2+bx+c>0，或ax2+bx+c<0，或ax2+bx+c≥0，或ax2+bx+c≤0，其中a，b，c为常数，且a≠0. 新知生成 1.一个　最高次数是2 2.x的值　解　集合　解集 新知运用 例1　D　【解析】根据一元二次不等式的定义知只有①②符合. 巩固训练　B　【解析】②④一定是一元二次不等式. 探究2　情境设置 问题1：(0，0)，(2，0). 问题2：x1=0，x2=2. 问题3：函数图象与x轴的交点的横坐标为方程的根. 问题4：能，解集为{x|x<0或x>2}. 新知生成 {x|x<x1或x>x2} 新知运用 例2　【解析】(1)对于方程2x2-3x-2=0，因为Δ>0，所以它有两个不相等的实数根，解得x1=-，x2=2. 又因为函数y=2x2-3x-2的图象是开口向上的抛物线， 所以原不等式的解集是xx<-或x>2. (2)不等式可化为3x2-6x+2<0， 对于方程3x2-6x+2=0，因为Δ>0，所以它有两个不相等的实数根，解得x1=1-，x2=1+. 又因为函数y=3x2-6x+2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是x1-<x<1+. (3)因为方程x2-2x+2=0的判别式Δ<0，所以方程x2-2x+2=0无实数根. 又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R. 巩固训练　【解析】 (1)方程4x2-4x+1=0有两个相等的实数根x1=x2=.作出函数y=4x2-4x+1的图象，如图，由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式可化为x2-6x+10<0， ∵Δ=36-40=-4<0， ∴方程x2-6x+10=0无实数根， ∴原不等式的解集为⌀. 探究3　情境设置 问题1：一元二次不等式的解集一定要写成集合的形式. 问题2：解不等式-x2+3x-2<0，第一步先把二次项系数化为正数，得x2-3x+2>0. 解不等式ax2+3x-2<0，由于不知道a的正负，故需要分a>0，a=0，a<0这三种情况进行讨论. 新知运用 例3　【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0，对应的一元二次方程的根为x1=2a，x2=-a. ①当2a>-a，即a>0时，原不等式的解集为{x|-a<x<2a}； ②当2a=-a，即a=0时，原不等式化为x2<0，无解； ③当2a<-a，即a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|-a<x<2a}；当a=0时，原不等式的解集为⌀；当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 巩固训练1　【解析】(1)当a=0时，原不等式可化为x-2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}. (2)当a≠0时，方程ax2+(1-2a)x-2=0的两根分别为2和-. ①当a<-时，解不等式得-<x<2，即原不等式的解集为； ②当a=-时，不等式无解，即原不等式的解集为⌀； ③当-<a<0时，解不等式得2<x<-，即原不等式的解集为； ④当a>0时，解不等式得x<-或x>2，即原不等式的解集为. 巩固训练2　【解析】(1)由题意知，不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根分别为和， 由根与系数的关系得 解得 (2)由a=-6，c=-1知，不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0，即3x2-4x+1≤0，解得≤x≤1，所以原不等式的解集为. 随堂检测·精评价 1.B　【解析】x2-2x>0，即x(x-2)>0， 解得x>2或x<0，故选B. 2.A　【解析】∵不等式ax2-bx-1≥0 的解集是x-≤x≤-， ∴a<0，方程ax2-bx-1=0 的两个根分别为-，-， ∴-=--，=， ∴a=-6，b=5， 则要解的不等式为x2-5x+6<0， ∴(x-2)(x-3)<0， 解得2<x<3， ∴所求不等式的解集为{x|2<x<3}. 故选A. 3.{m|m≥9或m≤1}　【解析】由方程x2+(m-3)x+m=0有实数解，得Δ=(m-3)2-4m≥0，即m2-10m+9≥0， ∴(m-9)(m-1)≥0，解得m≥9或m≤1. 4.【解析】方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1，x2=a，函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上. 当a<-1时，原不等式的解集为{x|a<x<-1}； 当a=-1时，原不等式的解集为⌀； 当a>-1时，原不等式的解集为{x|-1<x<a}. 学科网（北京）股份有限公司 $