1.2 集合间的基本关系 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语 1.2　集合间的基本关系 集合的概念 含义 元素的性质 元素与集合的关系 常见数集 研究对象 确定性、互异性、无序性 表示方法 元素 集合 元素组成的整体 自然语言法、列举法、描述法 复习回顾 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 | 新 知 学 习 | 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 我们知道，两个实数之间有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，集合与集合之间是否有类似的关系呢？ A为高一(7)班全体女生组成的集合； B为高一(7)班全体学生组成的集合； A中的元素都在B中 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 知识点一：子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。 记法与读法 图示 结论 A B 或 A（B） 符号语言：对于任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B. 记作 A⊆B （或 B⊇A ）；读作“A包含于B”（或“B包含A”） (1) 任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2) 对于集合A，B，C, 若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C. 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 5 知识点一：Venn图 在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合， 这种图称为Venn图. 如图示 A B 【注意】①表示集合的Venn图的便捷是封闭曲线，它可以是圆、矩形、 椭圆、也可以是其他封闭曲线 ②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意 区分大小关系。 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 6 教材p7 观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？ （1）A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4, 5}； （2）C为某中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班的全体学生组成的集合； （3）E={x|x是两条边长相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}. A⊆B C⊆D E⊆F F⊆E 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 7 知识点二：集合相等 E={x|x是两条边长相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}. 如果集合A是集合B的子集（A⊆B), 且集合B是集合A的子集（B⊆A）， 此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等。 记作 A=B. 符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 图形语言： A（B） E⊆F F⊆E 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 8 判定两个集合相等，可把握两个原则： ①设两个集合A，B均为有限集，若两个集合中元素个数相同，且对应元素分别相同，则两个集合相等 ②设两个集合A，B均为无限集，只需看两个集合的代表元素及其特征是否相同，若相同，则两个集合相等，即A=B 知识点二：集合相等 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 例题1：已知集合A和B的关系为A=B，其中A={1,-1},B={a,a2}，求a 【解】由题意B中的元素也是1和-1， 因为≥0， 所以=1， 则=-1或1(舍) 综上，则=-1 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 知识点三：真子集 定义 如果集合 A⊆B，但存在元素 x∈B，且 x∉A，我们称集合A是集合B的真子集。 记法与 读法 图示 记作 A⫋B （或 B⫌A ）；读作“A包含于B”（或“B包含A”） A B A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4, 5}； 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 练习 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1) 与定点A，B等距离的点; (2) 高中学生中的游泳能手. 11 知识点四：空集 思考 方程x2+1=0的实数根组成集合是什么？它的元素有哪些？ 我们知道，方程x2+1=0是没有实数根，所以方程x2+1=0的实数根组成的集合中没有元素。 定义 我们把不含任何元素的集合叫做空集。 记法 规定 特性 ∅ 空集是任何集合的子集。 (1) 空集只有一个子集，即它的本身。∅⊆∅ (2)空集是任何非空集合的真子集。A≠∅，则∅⫋A 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 ∈ ∉ 例题2：写出集合{1,2,3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集 【解】子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3} 其中真子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3} 【分析】可把子集分为三类： ①不含元素的：∅ ②含有一个元素的 ③含有两个元素的 ④含有三个元素的 【注意】书写子集的时候千万不要漏掉空集∅ 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 知识点五：子集的性质 空集是任何集合的子集. 任何一个集合是它本身的子集. (传递性) 类似于实数a ≤b且b ≤c，则a ≤c 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 知识点六：真子集的性质 空集是任何非空集合的真子集. (2)若A B, B C,则 A C (传递性) 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 | 知 识 延 申 | 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 思考1 包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A有什么区别？试结合实例解释？ 包含关系是集合与集合之间的关系，用“⊆”表示； 属于关系是元素与集合之间的关系，用“∈”表示. 二者切不可混淆，用符号之前要搞清楚是元素与集合还是集合与集合的关系. 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 注意： 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 0，{0}，三者之间有什么关系? 例题3：在以下写法中，正确的个数为( ) ①0＝{0}； ②0∈{0}； ③0⊆{0}； ④0＝； ⑤0∈； ⑥0⊆； ⑦＝{0} ； ⑧∈{0}； ⑨⊆{0}． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 思考2 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 含有n个元素的集合的子集有___个,真子集有_____ 个,非空真子集有_____ 个. 集合{ a,b}的子集有___个,真子集有___个; 集合{ a,b,c}的子集有___个,真子集有___个; ……… 4 3 8 7 22 23 22-1 23-1 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 | 题 型 讲 解 | 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 题型一 　子集和真子集个数 已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是( ). A.6 B.7 C.8 D.9 答案： 解：由题意可以确定集合必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合的元素个数分类如下： 含有3个元素： 含有4个元素： 含有5个元素： 故满足条件的集合为 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 题型二 集合间的关系判断 指出下列各组集合之间的关系： (1) (2)是等边三角形是等腰三角形 (3). 答案：(1)与无包含关系；(2)(3) 解：(1)中的元素为数，而中的元素为点，因此无包含关系. (2)∵等边三角形一定是等腰三角形，∴. (3)∵ ∴ 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 | 课 堂 总 结 | 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 一、子集: 二、集合相等: 若AB且BA, 则A=B. 三、真子集 如果集合AB，但存在元素x∈B且xA，就称集合A是集合B的真子集(proper subset) , 记作A⫋B （或 B⫌A ） 四、空集 不含任何元素的集合叫做空集(empty set) , 记作. 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，就称集合A为集合B的子集(subset)，记作 AB(或BA) 第一章　集合与常用逻辑用语 数学必修一 $