精品解析：四川省巴中中学2026届高三上学期“零诊”模拟考试数学试题

四川省巴中中学高2023级“零诊”模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，为自然对数的底数，若，则可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，再根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】由题知，， 所以，则. 故选：D. 2. 已知，则使得“”成立的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质证明C是正确的，通过反例说明AB是错误的，解不等式说明D是错误的. 【详解】对A：当，，则，，此时成立，但是不成立，所以“”不是“”的充分条件，故A错误； 对B：取，，则，，所以成立，但不成立，所以“” 不是“”的充分条件，故B错误； 对C：因为，，两边同乘以，得，即，所以“”是“”的充分条件，故C正确； 对D：因为，又，所以，所以“”不是“”的充分条件，故D错误. 故选：C 3. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为，即. 故选：B. 4. 已知是定义在上的偶函数，且函数也是偶函数，其中表示函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合导数的运算法则，偶函数的定义逐一判断各个选项即可求解. 【详解】设， 对于A，，函数的定义域为，关于原点对称，且， 所以是偶函数， 若，则，c是常数，的定义域为，且，所以也是偶函数，故A正确； 对于B，若，则，c是常数，所以不成立，故B错误； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，若，则，c是常数，所以不成立，故D错误. 故选：A. 5. 已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的边角关系，结合椭圆的定义和性质，可直接求其离心率. 【详解】如图： 设，则，因为四边形为矩形，所以. 所以，. 所以. 故选：C 6. 设函数，对都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件可得函数图象的对称中心，结合余弦曲线对称中心的性质求解即可. 【详解】由题意都有，可知函数的图象的对称中心为， 由函数可得， 解得，又， ，. 故选：A 7. 已知正四棱台中，上底面与下底面的面积之比为，且其内切球的半径为2，则与面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四棱台及其内接球的性质，结合题给上、下底面面积之比以及内接球半径，计算得出相应边长的值，利用面面平行得出即为直线与平面所成的角，从而求解. 【详解】 如图，根据正四棱台的性质可知，上底面与下底面均为正方形， 则，即，设，，则， 取为上下底面中心，取为中点，连接，则， 根据内切球的性质，球心为中点，记为球与平面的切点，则. 所以，，， 因为，，， 根据勾股定理得出，所以， 同理，. 所以分别为的角平分线，即. 因为，，， 所以. 连接，则，为在底面投影，则位于上，，四边形为矩形， 因为，，则， 所以，， 因为面与面平行，所以与面所成的角即为与面所成的角， 所以. 故选：A. 8. 已知有两个极值点，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求，则有两个不同的根，再将分离参数得到，可以找到相应的两个函数和，则这两个函数的图象有两个不同的交点，这两个交点的横坐标，再利用的增减性求出的最大值，利用图象得到的取值范围及的范围，再将代入中，得到的双变量的等式，通过换元，设，由得到，得到，从而得到，构造函数，利用的单调性求出的最大值，即得到的取值范围，再利用在上是增函数，得到的最大值，从而得到的取值范围. 【详解】，，有两个极值点，有两个不同的根，变形为， 设，，则两个函数和有两个不同的交点，，，解得，在上是增函数；解得，在上是减函数；在处取得最大值，的最大值为.当时，；当时，；当时，恒成立；当时，.两个函数和有两个不同的交点，；在直角坐标系中画出和的图象， 结合图象可知，这两个函数图象的交点的横坐标就是，又，则 ，，，，设，，，，，，，设，，设，，，，在上是减函数，， ，在上是减函数，，，在上是增函数； ，时取最大值，且的最大值为，综上可知. 故选：D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知（为虚数单位），表示的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用共轭复数的概念与复数的乘法与乘方运算法则运算可判断ABD，利用复数的模的计算公式计算可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， ，故，故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 10. 某新能源车厂家 2015 - 2023 年新能源电车的产量和销量数据如下表所示 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 产量（万台) 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 销量 （万台) 2.3 5.7 13.6 14.9 15.0 15.6 27.1 29.7 31.6 记“产销率” 年新能源电车产量的中位数为，则（ ） A. B. 2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率与年份正相关 C. 从 2015 -2023 年中随机取 1 年，新能源电车产销率大于 的概率为 D. 从 2015 -2023 年中随机取2年，在这2年中新能源电车的年产量都大于 的条件下，这2年中新能源电车的产销率都大于 的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由中位数定义可判断A；求得每年的产销率，可判断B；由B可得产销率大于的有2个年份，可得概率判断C；利用条件概率公式求解可判断D. 【详解】对于A：由中位数的定义可知，，故A正确； 对于B：2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率依次为： 所以2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率随年份的增加，有时增加，有时减少，故B错误； 对于C：由B可知，从2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率大于的有2个年份， 所以从2015 – 2023年中随机取1年，新能源电车产销率大于的概率为， 对于D：设事件A表示“从2015 - 2023 年中随机取2年，这2年中新能源电车的年产量都大于 m”， 事件B表示“从2015 - 2023 年中随机取2年，这2年中新能源电车的产销率大于”， 所以 所以故D正确. 故选：ACD. 11. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 三角形的周长是10 B. 若焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为4，则双曲线是 C. 若，则点的轨迹方程是 D. 若是双曲线右支上一动点，则的最小值是2 【答案】CD 【解析】 【分析】根据条件，分别求得A、、坐标，根据两点间距离公式，可求得的周长，即可判断A的正误；先求得双曲线C的渐近线方程，进而可设出双曲线E的方程，根据条件，求得c值，可求得双曲线E的方程，即可判断B的正误；根据椭圆的定义，计算求解，可判断C的正误；根据三点共线时，距离最短，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：由题意圆心，，则， 所以，， 所以三角形的周长等于，故A错误； 选项B：双曲线C的渐近线方程为， 所以设双曲线E的方程为， 因为双曲线的焦距为4，即，解得， 所以，解得， 所以双曲线E的方程为，即，故B错误； 选项C：因为， 所以Q的轨迹为以为焦点的椭圆， 所以长轴，即，焦距，即， 又， 所以的轨迹方程是，故C正确； 选项D：因为是双曲线右支上一动点， 所以，故D正确. 故选：CD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列的公差，首项 ，是与的等比中项，记 为数列的前项和，则______ 【答案】105 【解析】 【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可求出公差，再根据等差数列求和公式计算可得. 【详解】等差数列中， ，是与的等比中项，设公差为， 所以，即， 解得或（不合题意，舍去）； 所以． 故答案为：． 13. 过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对__________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设切点坐标为，利用导数表示出切线方程，代入点，通过构造函数，研究新函数的单调性和极值，对的取值范围进行讨论，得到解的个数，可得对应的切线条数. 【详解】，， 设所求切线的切点坐标为，则切线斜率为， 得切线方程为， 由切线过点，有， 化简得， 设，则， ，解得或；，解得， 在和上单调递减，在上单调递增， 极大值，极小值， 且或时，时，， 的函数图象如图所示， 则当时，无解，；当或时， 有一个解，； 当或时，有两个解， ；当时，有三个解， . 故答案为：（答案不唯一） 14. 在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据分步计数乘法原理直接可得有种选法；从图中数据观察可得，要使所选4个数之和最大，只能是每个数都是4，可计算得和的最大值. 【详解】由题意，可分4步进行选取：第一步，先在第一列中4个格子中选一个格子，有4种选法； 第二步，在第二列中3个格子（与第一步所选的格子不同行）中选一个格子，有3种选法； 第三步，在第三列中2个格子（与前两步所选的格子不同行）中选一个格子，有2种选法； 第四步，在第4列中只有一个格子可选，有1种选法. 所以一共有种选法. 经观察，选中方格的4个数之和的要最大，只能是4个数都是4，所以4个数之和的最大值为. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． （1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生的成绩为76分，试估计学生在甲市的大致名次； （2）在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率及的数学期望． 参考数据： 参考公式：若，有， 【答案】（1）1587名 （2）0.0989；期望为 【解析】 【分析】（1）由本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，，87分以上共有228人，结合原则，求得，再由甲市学生在该次考试中成绩为76分，且求解； （2）由随机变量服从二项分布，即求解． 【小问1详解】 解：已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布， 由题意可得． 即，解得． 甲市学生在该次考试中成绩为76分，且， 又，即． 学生在甲市本次考试的大致名次为1587名． 【小问2详解】 在本次考试中，抽取1名化学成绩在之内的概率为0.9974． 抽取1名化学成绩在之外的概率为0.0026． 随机变量服从二项分布，即． ． 的数学期望为． 16. 在中，内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）若，点在边上，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合三角恒等变换公式化简计算即可得； （2）借助向量及模长与数量积关系可得与、有关等式，再利用余弦定理表示出、，利用可得与、有关等式，结合计算即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 因为，所以，即， 又因为，所以，故； 【小问2详解】 由知，， 则有， 即，化简得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，则， 则，化简得， 则，即，则（负值舍去）， 所以. 17. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，点分别是上、下底面圆周上的点，且. （1）求证：； （2）若四边形为正方形，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1） 过作平面，交圆于，连接，. 根据圆柱性质易得，. 故四边形是平行四边形，所以. 因为，所以. 因为和是圆中直径所对的圆周角. 所以. 又因为，所以，即. 所以四边形是矩形，故，. 又因为，，所以四边形是平行四边形. 所以.故. （2） 【解析】 【分析】（1）构造，通过圆柱和圆的相关性质证明，，从而证明. （2）建立空间直角坐标系，利用法向量求两平面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设为圆柱的母线，则底面，连结， 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 因为，所以. 因为四边形为正方形，所以. 而，. 所以，解得. 所以，. 所以，，，，. 设平面的法向量为，设平面的法向量为. 又因为，， 所以，取，则， 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 18. 如图，椭圆的一个焦点为（1，0），过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为. （1）求椭圆的方程. （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）结合椭圆的性质，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）由特殊情况可得点在轴上，即可求得点的坐标，然后证明对任意直线均有. 【小问1详解】 由椭圆的一个焦点为，可得. 当直线平行轴时，直线的方程为， 且此时直线被椭圆截得的线段长为， 由椭圆的对称性可知，点在椭圆上， 代入椭圆方程可得，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点. 如果存在定点满足条件，则有，即. 所以点在轴上，可设点的坐标为. 当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于两点，则点的坐标分别为. 由，有，解得或（舍）. 所以，若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标只可能为. 下面证明：对任意直线均有. 当直线的斜率不存在时，结论明显成立. 当直线的斜率存在时，可以设直线的方程为，并设点的坐标分别为. 联立得，. 其判别式， 所以. 因此，. 易知，点关于轴对称的点的坐标为. 又， ， ， 所以，即三点共线. 所以. 故存在与点不同的定点，使得恒成立. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）讨论函数的零点的个数； （3）对于任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2）当时，函数无零点；当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点. （3） 【解析】 【分析】（1）先求定义域，求导，令，求可得单调区间； （2）参变分离，研究，的单调性，分类讨论进而可求解； （3）参变分离，构造函数，求其单调性，最终求出极值，最值，求得实数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，.. 所以，的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 定义域为，由分离参数，得. 令， 函数的零点的个数即为与直线的交点个数即为原函数零点个数. 求导得，，令，解得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以，. 又因为，所以，当时，；当时，， 又时，. 当时，与直线无交点，即函数无零点； 当或时，与直线有一个交点，则函数有一个零点； 当时，与直线有两个交点，则函数有两个零点. 综上所述：当时，函数无零点； 当或时，函数有一个零点； 当时，函数有两个零点. 【小问3详解】 设，则在上为增函数， 而，，故在有唯一解. 而由题设可得任意的恒成立. 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 所以当时，有， 当且仅当，也就是当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 所以，故的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省巴中中学高2023级“零诊”模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，为自然对数的底数，若，则可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知，则使得“”成立的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 4. 已知是定义在上的偶函数，且函数也是偶函数，其中表示函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，对都有，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台中，上底面与下底面的面积之比为，且其内切球的半径为2，则与面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知有两个极值点，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知（为虚数单位），表示的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某新能源车厂家 2015 - 2023 年新能源电车的产量和销量数据如下表所示 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 产量（万台) 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 销量 （万台) 2.3 5.7 13.6 14.9 15.0 15.6 27.1 29.7 31.6 记“产销率” 年新能源电车产量的中位数为，则（ ） A. B. 2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率与年份正相关 C. 从 2015 -2023 年中随机取 1 年，新能源电车产销率大于 的概率为 D. 从 2015 -2023 年中随机取2年，在这2年中新能源电车的年产量都大于 的条件下，这2年中新能源电车的产销率都大于 的概率为 11. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 三角形的周长是10 B. 若焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为4，则双曲线是 C. 若，则点的轨迹方程是 D. 若是双曲线右支上一动点，则的最小值是2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列的公差，首项 ，是与的等比中项，记 为数列的前项和，则______ 13. 过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对__________ 14. 在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． （1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生的成绩为76分，试估计学生在甲市的大致名次； （2）在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率及的数学期望． 参考数据： 参考公式：若，有， 16. 在中，内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）若，点在边上，，求的面积. 17. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，点分别是上、下底面圆周上的点，且. （1）求证：； （2）若四边形为正方形，求平面与平面夹角的正弦值. 18. 如图，椭圆的一个焦点为（1，0），过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为. （1）求椭圆的方程. （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）讨论函数的零点的个数； （3）对于任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $