14.3 角的平分线 课件2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

14.3 角的平分线 课时1 角平分线的性质 第十四章 全等三角形 M A T H 22051 01 会用尺规作一个角的平分线. 02 探索并证明角的平分线的性质，能用角的平分线的性质解决简单问题. 学习目标 M A T H 22051 怎样得到已知角的角平分线？ A O B 1.度量法； 2.折纸法．　　 C 思考：能利用简单的直尺和圆规作出一个角的角平分线吗？ 复习导入 M A T H 22051 3 任务一：用尺规作角的平分线. 活动1：探究角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN ？ C A B O M N P 探究学习 M A T H 22051 当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN ？ C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON， 那么△OPM △OPN (SAS) 就有 PM = PN. 探究学习 M A T H 22051 问题：反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN，点P在∠AOB的角平分线上吗？ A B O M N P OP = OP，OM = ON，PM = PN， 连接 OP，在△OPM 和△OPN 中， 那么△OPM △OPN (SSS)， 就有∠POM =∠PON. 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 探究学习 M A T H 22051 活动2：探究角平分线的作法. 思考1：由活动1的结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？其依据是什么？ 可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点； 再在角的内部作出与这两点距离相等的点； 以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了. A B O M N P 其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等. 探究学习 M A T H 22051 动手：已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：(1) 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. A B O M N C (2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所求. 探究学习 M A T H 22051 思考2：为什么以大于MN的长为半径作弧？ A B O M N 以小于MN的长为半径，两弧无交点； 以等于MN的长为半径，不易操作. 探究学习 M A T H 22051 任务二：角的平分线的性质. 活动1：角平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3······，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2， P3D3 = P3E3······ 探究学习 M A T H 22051 10 问题：给出你关于角平分线的点与角两边上的点所连线段的猜想. C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2， P3D3 = P3E3······ 探究学习 M A T H 22051 11 活动2：验证猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等. 思考1：这里的“已知”和“求证”分别是什么？ 已知：一个点在一个角的平分线上. 求证：这个点到这个角两边的距离相等. 探究学习 M A T H 22051 12 P A O B C D E 分析：证明△OPD△OPE PD = PE 思考2：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. 探究学习 M A T H 22051 13 思考2：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO △PEO(AAS). ∴PD=PE. ∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC. 探究学习 M A T H 22051 14 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD= PE PD⊥OA,PE⊥OB， 证明几何命题的一般步骤： 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. P A O B C D E 归纳 M A T H 22051 1.如图所示，已知：OC为∠AOB的平分线,点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.∠AOB=60°，PD=3.则∠DPO= ，PE= . O B A C P D E 60° 3 巩固练习 M A T H 22051 A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 2. 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E、F.求证：EB=FC. 巩固练习 M A T H 22051 针对本课关键词“角平分线的性质”，回答以下问题. 1.说说证明几何命题的一般步骤. 2.角的平分线的性质的作用是什么？在应用这一性质时要注意哪些问题？ 课堂小结 M A T H 22051 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AD=3CD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 C 基础 随堂小练 M A T H 22051 2.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等． （要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）. 解：作∠AOB的平分线交MN于点P，则点P满足条件. O B A N M P 探究学习 M A T H 22051 证明：∵DE⊥AB于E，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线， ∴CD=DE， ∴△ACD≌△BED(SAS)， ∴AD=BD. 3.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，AC=BE．求证：AD=BD. CD=DE ∠C=∠DEB AC=BE B C D E A 在△ACD与△BED中 提升 随堂小练 M A T H 22051 14.3 角的平分线 课时2 角平分线的判定 第十四章 全等三角形 M A T H 22051 01 理解角平分线判定定理. 02 掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. 03 学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 学习目标 M A T H 22051 S 思考：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ 复习导入 M A T H 22051 任务一：角平分线的判定. 猜想:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 活动1：回忆角的平分线的性质，如果交换其中的已知和结论，所得的结论是否依然成立？你能用以前学过的知识证明吗？和同伴交流. 角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 探究学习 M A T H 22051 25 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP， B A D O P E 证明猜想： 探究学习 M A T H 22051 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 书写格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. B A D O P E 归纳 M A T H 22051 角的平分线的性质及判定的关系 点在角的平分线上 角的内部，点到角两边距离相等 性质 判定 角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 归纳 M A T H 22051 1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 小区C P A O B M N 巩固练习 M A T H 22051 任务二：判断一个点是否在一个角的平分线上. 活动：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(1)点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； (2)△ABC 的三条角平分线交于一点. A B C P N M 分析:（1）△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，所以点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等. 探究学习 M A T H 22051 30 活动：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(1)点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； A B C P N M 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F. ∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 . D E F 探究学习 M A T H 22051 31 活动：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(2)△ABC 的三条角平分线交于一点. A B C P N M D E F 分析:（2）要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上． 探究学习 M A T H 22051 32 活动：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(2)△ABC 的三条角平分线交于一点. A B C P N M D E F 证明：（2）由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上 . ∴△ABC 的三条角平分线交于一点 . 探究学习 M A T H 22051 33 A B C P N M D E F 问题：这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 三角形的三条角平分线交于内部一点，并且这点到三边的距离相等. （这个点叫三角形的内心） 探究学习 M A T H 22051 34 2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A=70°，则∠BOC的度数为(　　) A．35° B．125° C．55° D．135° B 巩固练习 M A T H 22051 针对本课关键词“角平分线的判定”，说说你学到了什么？ 角平分线 的判定定理 角的内部到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点 内容 作用 课堂小结 M A T H 22051 1.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 若S△ABC=28，DE=4，AB=8，则AC长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 C 基础 随堂小练 M A T H 22051 证明：过点P作PF，PG，PH分别 垂直于直线AB，BC，CA，垂足分别为F,G,H. ∵点P在△ABC的外角的平分线上，∴PF＝PG. 同理可证PH＝PG, ∴PF＝PG＝PH, ∴P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等. 2.如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD和∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等． A B C P D E H F G 提升 随堂小练 M A T H 22051 $