14.2 三角形全等的判定 课件2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件围绕全等三角形的判定方法展开，系统梳理了SAS、ASA、AAS、SSS及HL五种判定条件，从生活情境引入（如模具碎片配对），通过动手操作、几何推理与尺规作图层层递进，构建清晰的知识脉络，形成由直观感知到逻辑论证的学习支架。 其亮点在于深度融合数学核心素养，突出“几何直观”与“推理能力”，例如用射线重合法直观验证SAS判定，借助三角形内角和转化AAS为ASA，体现数学思维的严谨性与灵活性。课堂设计注重问题驱动，如探究“三个角相等是否能判定全等”，引导学生发现反例，培养质疑精神。学生在实践中提升空间想象与逻辑表达能力，教师可借此优化教学结构，增强课堂互动与深度学习效果。

14.2 三角形全等的判定 课时1 用“SAS”判定三角形全等 第十四章 全等三角形 M A T H 22051 02 掌握三角形全等的“边角边”的判定方法，能进行简单的运用，并知道不能用“边边角”来判定两个三角形全等. 01 探索判定三角形全等的条件. 学习目标 M A T H 22051 思考：一定要满足三条边分别相等,三个角也分别相等,才能保证两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的，能否在上述条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？ 已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角. A B C D E F ① AB=DE ③ CA=FD ② BC=EF ④ ∠A=∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥∠C= ∠F 复习导入 M A T H 22051 任务一：探索判定三角形全等的条件. 活动：先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′,使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个.你画出的△A′B′C′和△ABC一定全等吗？ 尝试1：满足一个条件可以吗？ (1)一条边相等:AB=DE A B C D E F (2)一个角相等:∠BAC=∠EDF A B C D E F 探究学习 M A T H 22051 尝试2：满足两个条件可以吗？ (1)两条边相等：AB=DE，AC=DF A B C D E F (2)一边一角相等:∠A=∠D，AB=DE A B C D E F 探究学习 M A T H 22051 (3)两个角相等 根据三角形内角和定理，可推出这两个三角形三个角都相等. 但三个角都相等仍然无法保证两个三角形全等，如下图. E点为AB边上一点，作EF∥BC交AC于F；△ABC与△AEF三个角都相等，但△ABC与△AEF不全等. A B C E F 结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等. 探究学习 M A T H 22051 (1)三个角相等 (2)三条边相等 (3)两条边和一个角相等 (4)两个角和一条边相等 思考：如果给出三个条件画三角形，你能给出几种可能的情况？ 今天我们先来探究两个角和一条边相等是否能保证两个三角形全等. 探究学习 M A T H 22051 任务二：利用“SAS”判定三角形全等. 活动1：如图，直观上，如果∠A，AB，AC 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果∠A' =∠A，A'B' = AB，A'C' = AC，那么△A'B'C'≌△ABC. 这个判断正确吗？ C A B C' A' B' ① 如图，由∠A' =∠ A 可知，如果使点 A' 与点 A 重合，并使射线 A'B' 与射线 AB 重合，那么射线 A'C' 与射线 AC 重合. ② 由 A'B' = AB， A'C' = AC，点 B'，C' 分别与点 B，C 重合. (A') (B') (C') 探究学习 M A T H 22051 活动1：如图，直观上，如果∠A，AB，AC 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果∠A' =∠A，A'B' = AB，A'C' = AC，那么△A'B'C'≌△ABC. 这个判断正确吗？ C A B C' A' B' (A') (B') (C') △A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合. △A'B'C' 与△ABC 能够完全重合. △A'B'C'≌△ABC 探究学习 M A T H 22051 “边角边”判定方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. （简写为“边角边”或“SAS”） 几何语言：在△ABC和△DEF中， A B C D E F AB=DE， ∠A=∠D， AC=DF， ∴ △ABC≌△DEF（SAS）. 归纳 M A T H 22051 在下列图中找出全等三角形. ر 8cm 9cm ر 8cm 9cm ر 8cm 5cm Ⅲ ر 8cm 8cm 8cm 5cm ر （1） （2） （3） （4） （5） 解：全等三角形有：(1)和(4)，(2)和(5). 30° 30° 30° 30° 30° 巩固练习 M A T H 22051 例1 如图，AC = AD，AB 平分∠CAD，求证∠C =∠D. A B C D ①先找现有条件： ②再找隐含条件： ③最后找准备条件： 公共边AB AC = AD 分析：可以证明 △ABC≌△ABD. ∠CAB =∠DAB AB 平分∠CAD 由分析可知，△ABC与△ABD具备“边角边”的条件. 典型例题 M A T H 22051 例1 如图，AC = AD，AB 平分∠CAD，求证∠C =∠D. A B C D 证明：∵AB 平分∠CAD，∴∠CAB =∠DAB . 在△ABC 和△ABD中， ∴△ABC ≌△ABD （SAS） AC = AD ∠CAB =∠DAB AB = AB ∴∠C =∠D. 小结：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 典型例题 M A T H 22051 ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来； ④写出结论：写出全等结论. 证明的书写步骤： 归纳 M A T H 22051 活动2：先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠B=∠B′，AC=A′C′（即两边及其中一边的对角分别相等），此时的△ABC和△A′B′C′全等吗？ 结论：两边和其中一边的对角相等(边边角)不能判定两个三角形全等. 探究学习 M A T H 22051 如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是（　　） A．∠B＝∠E B．∠BAD＝∠EAC C．∠BAC＝∠EAD D．BC＝ED A 方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的． 巩固练习 M A T H 22051 边角边 内容 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 （简写成 “SAS”） 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 1.已知两边，必须找“夹角” 2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边 应用 课堂小结 M A T H 22051 1.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，要用“边角边”证明△ABC≌△DEF，可以添加的条件是（　　） A．∠A＝∠D B．AC∥DF C．BE＝CF D．AC＝DF C 基础 随堂小练 M A T H 22051 2.下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(　　) A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF C 基础 随堂小练 M A T H 22051 3.如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC. 求证：△AEF△BCD. 证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B. ∵AD＝BF，∴AF＝BD. 在△AEF和△BCD中， AE＝BC, ∵ ∠A＝∠B, AF＝BD, ∴△AEF≌△BCD(SAS)． 提升 随堂小练 M A T H 22051 14.2 三角形全等的判定 课时2 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 第十四章 全等三角形 M A T H 22051 01 理解三角形全等的判定方法——“ASA”和“AAS ”. 02 会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等. 学习目标 M A T H 22051 思考：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ A B C A B C “两角及夹边” “两角和其中一角的对边” 它们能判定两个三角形全等吗？ 新知导入 M A T H 22051 任务一：三角形全等的判定方法——“ASA”． 活动：如图，直观上，AB，∠A，∠B 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果 A'B' = AB，∠A' =∠A， ∠B' =∠B，那么△A'B'C'≌△ABC. 这个判断正确吗？ C A B C' A' B' ① 如图，由 A'B' = AB 可知，如果使点 A 与点 A' 重合，点 B' 在射线 AB 上，那么点 B' 与点 B 重合. (A') (B') (C') ② 由∠A' =∠A， ∠B' =∠B， 可知射线 A'C' 与射线 AC 重合，射线 B'C' 与射线 BC 重合，于是射线 A'C'，B'C' 的交点C' 与射线 AC，BC 的交点C重合. 探究学习 M A T H 22051 活动：如图，直观上，AB，∠A，∠B 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果 A'B' = AB，∠A' =∠A， ∠B' =∠B，那么△A'B'C'≌△ABC. 这个判断正确吗？ C A B C' A' B' (A') (B') (C') △A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合. △A'B'C' 与△ABC 能够完全重合. △A'B'C'≌△ABC 探究学习 M A T H 22051 几何语言：在△ABC和△ A'B'C'中， ∠A=∠A'， AB=A'B'， ∠B=∠B'， ∴ △ABC ≌△A'B'C'（ASA）. “角边角”判定方法：两角和它们夹边分别相等的两个三角形全等. （简写为“角边角”或“ASA”） A B C A ′ B ′ C ′ 归纳 M A T H 22051 如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗? 解：带碎片1到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具. 理由：有两角且夹边相等的两个三角形全等. 3 2 1 巩固练习 M A T H 22051 例2：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE. A B C D E ①先找现有条件： ②再找隐含条件： 公共角∠A AB = AC，∠B=∠C 分析：可以证明 △ACD≌△ABE. 由分析可知，△ACD与△ABE.具备“角边角”的条件. 典型例题 M A T H 22051 证明：在△ACD和△ABE中， ∠A=∠A（公共角 ）， AC=AB（已知）， ∠C=∠B （已知 ）， ∴ △ACD≌△ABE（ASA)， ∴AD=AE. 例2：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE. A B C D E 典型例题 M A T H 22051 如下图，已知∠B=∠D，DC=BC，还需要给出什么条件，即可用学过的判定得出△ABC≌△EDC.根据哪个判定？ C E A D B （1）条件（ ）， 根据（ ）. （2）条件（ ）， 根据（ ）. AB=ED 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ∠ACB=∠ECD 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 巩固练习 M A T H 22051 活动1：若一个三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?把你画的三角形与其他组员画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？ 60° 45° 任务二：三角形全等的判定方法——“AAS”． 探究学习 M A T H 22051 问题：这里的条件与ASA中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为ASA中的条件吗？ 60° 45° 75° 探究学习 M A T H 22051 活动2：如果两个三角形的两角和其中一组等角的对边分别相等，比如在△ABC和△A'B'C'中，使得BC=B'C'，∠A=∠A'，∠B=∠B'. 此时的△ABC和△A'B'C'全等吗？ C' A' B' C A B 提示：选用已经学过的全等三角形的判定来证明△ABC和△A'B'C'全等. 探究学习 M A T H 22051 C' A' B' C A B 证明：在△ABC 中， ∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠C = 180° –∠A –∠B. 同理∠C' = 180° –∠A' –∠B'. 又 ∠A =∠A'， ∠B =∠B'， ∴∠C = ∠C'. 在△ABC 和△A'B'C'中， ∠B =∠B′， BC=B'C'， ∠C = ∠C'， ∴△ABC≌△A′B′C′ （ASA） 探究学习 M A T H 22051 “角角边”判定方法： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. (简写成“角角边”或“AAS” ). ∠A=∠A′（已知）， ∠B=∠B′ （已知）， AC=A′C′（已知）， 几何语言：在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′B′C′（AAS）. A B C A ′ B ′ C ′ 归纳 M A T H 22051 已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是( ) A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙 甲 a c 50° A B C a c b 70° 60° 50° 乙 b 70° 50° 丙 c 70° 60° B 巩固练习 M A T H 22051 如果两个三角形中，有两个角和一条边分别相等，那么这两个三角形是全等三角形. 问题：有两个角和一条边分别对应相等的两个三角形是否一定全等？ 思考：能总结一下“ASA”和“AAS”的区别与联系吗？ 探究学习 M A T H 22051 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形的内角和定理可知，“ASA”和“AAS”可以互相转化 AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 “ASA”和“AAS”的区别与联系 归纳 M A T H 22051 ASA 两角和它们夹边分别相等的两个三角形全等. （简写为“角边角”或“ASA”） 三角形全等的判定 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. (简写成“角角边”或“AAS” ). 联系 课堂小结 M A T H 22051 1.如图，∠1＝∠2，BC＝EC，请补充一个条件：　 　能使用“AAS”方法判定△ABC≌△DEC． ∠A＝∠D 基础 随堂小练 M A T H 22051 2.如图，B，C，E三点在同一直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠B＝∠D. 求证：AB＝CD. 证明：∵AC∥DE， ∴∠ACB＝∠E， 在△ABC和△CDE中， ∴△ABC≌△CDE(AAS)， ∴AB＝CD. 基础 随堂小练 M A T H 22051 3.如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF， 求证：△ADE≌△CFE． 证明：∵AB＝BD+CF， 又AB＝BD+AD，∴CF＝AD ∵AB∥CF，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F 在△ADE与△CFE中， ∴△ADE≌△CFE（ASA）． ∠A=∠ACF， CF=AD, ∠ADF＝∠F， 基础 随堂小练 M A T H 22051 证明：(1)∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°. ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA. 在△BCE和△CAD中， ∴△BCE≌△CAD(AAS)； 4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E. 求证：(1)△BCE≌△CAD； 提升 随堂小练 M A T H 22051 14.2 三角形全等的判定 课时3 用“SSS”判定三角形全等 第十四章 全等三角形 M A T H 22051 01 会利用“边边边”判定两个三角形全等，并能进行简单的应用. 02 能用尺规作图：已知三边作三角形. 学习目标 M A T H 22051 我们知道三角形具有稳定性，那为什么木架的形状、大小不会改变呢？ 情境导入 M A T H 22051 任务一：三角形全等的判定方法——“SSS”． 活动：如图，直观上，AB，BC，CA 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果 A'B' = AB，B'C' = BC， C'A' = CA，那么△A'B'C'≌△ABC. 这个判断正确吗？ C A B C' A' B' ① 如图，由 A'B' = AB 可知，如果使点 A 与点 A' 重合，点 B' 在射线 AB 上，那么点 B' 与点 B 重合. (A') (B') ② 使点 C' 落在直线 AB 的含有点 C 的一侧. 探究学习 M A T H 22051 C A B C' A' B' ③ 点 C 是以点 A 为圆心、AC 为半径的圆和以点 B 为圆心、BC 为半径的圆的交点；点 C' 是以点 A' 为圆心、A'C'为半径的圆和以点 B' 为圆心，B'C'为半径的圆的交点. (A') (B') A'C' = AC ， B'C' = BC ，于是点 C' 与点 C 重合. (C') 探究学习 M A T H 22051 活动：如图，直观上，AB，BC，CA 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果 A'B' = AB，B'C' = BC， C'A' = CA，那么△A'B'C'≌△ABC. 这个判断正确吗？ △A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合. △A'B'C' 与△ABC 能够完全重合. △A'B'C'≌△ABC C A B (A') (B') (C') 探究学习 M A T H 22051 “边边边”判定方法：三边分别相等的两个三角形全等. （简写为“边边边”或“SSS”） 几何语言：在△ABC和△ DEF中， AB=DE， BC=EF， CA=FD， ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）. A B C D E F 归纳 M A T H 22051 思考：为什么三角形具有稳定性？ 解：三角形的三边确定一个三角形的形状和大小. 用三根木条钉成一个三角形后，三条边的长度已经固定，就相当于确定了一个唯一的三角形. 探究学习 M A T H 22051 例3：在如图所示的三角形钢架中，AB = AC，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架. 求证 AD⊥BC. A B C D ①先找现有条件： ②再找隐含条件： ③最后找准备条件： 公共边AD AB = AC 分析：如果△ACD≌△ABE，那么∠ADB = ∠ADC，于是 AD⊥BC. D 是 BC 中点 由分析可知，△ACD与△ABE具备“边边边”的条件. BD = CD 典型例题 M A T H 22051 例3：在如图所示的三角形钢架中，AB = AC，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架. 求证 AD⊥BC. A B C D 证明：∵点D是BC的中点，∴BD=CD. 在△ABC和△A'B'C'中， AB=AC， BD=CD， AD=AD， ∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）. ∴ ∠ADB = ∠ADC. 又 ∠ADB +∠ADC = 180°，∴∠ADB = 90°. ∴AD⊥BC . 典型例题 M A T H 22051 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE. 求证△ACD≌△CBE. D A B C E 证明：∵点C是AB的中点， ∴AC=CB. 在△ACD和△CBE中， AD=CE， CD=BE， AC=CB， ∴△ACD≌△CBE（SSS）. 巩固练习 M A T H 22051 任务二：尺规作图：已知三边作三角形． 活动：已知三角形的三边，可以利用直尺和圆规作一个三角形. 如图，已知三条线段 a，b，c（其中任意两条线段的和大于第三条线段），求作△ABC，使其边分别为 a，b，c. a b c 探究学习 M A T H 22051 作法：如图 (1) 作线段 AB = c； A B (2) 分别以点 A，B 为圆心，线段 b，a 为半径作弧，两弧相交于点 C； (3) 连接 AC，BC，则△ABC 就是所求作的三角形. C a b c 探究学习 M A T H 22051 思考：三角分别相等的两个三角形全等吗？ 总结：三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 探究学习 M A T H 22051 思考：我们已知的三角形全等的判定方法有哪些？ 判定方法 简称 图示 A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' 三边分别相等 两边和它们的 夹角分别相等 两角和它们的 夹边分别相等 两角分别相等且其中 一组等角的对边相等 SSS SAS AAS ASA 探究学习 M A T H 22051 SSS 三边分别相等的两个三角形全等. （简写为“边边边”或“SSS”） 三角形全等的判定 尺规 作图 已知三角形的三边作三角形. 课堂小结 M A T H 22051 1.如图，已知AB=DC，需添加下列（　　）条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB． A．AO=BO B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．BO=CO C 基础 随堂小练 M A T H 22051 2.如图，C是BF的中点，AB =DC，AC=DF.求证：△ABC ≌ △DCF. 证明：∵C是BF中点，∴BC=CF. 在△ABC 和△DCF中， AB = DC， (已知) (已证) AC = DF， (已知) BC = CF， ∴ △ABC ≌ △DCF. D B C A F 基础 随堂小练 M A T H 22051 3. 如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF. 求证：DF∥EC. 证明：∵AD＝BC， ∴AD＋CD＝BC＋CD，即AC＝BD， 在△ACE和△BDF中， ∴△ACE≌△BDF(SSS)， ∴∠ACE＝∠BDF， ∴DF∥EC. 提升 随堂小练 M A T H 22051 14.2 三角形全等的判定 课时4 用三角形全等的判定解决尺规作图问题 第十四章 全等三角形 M A T H 22051 01 利用三角形全等，能够作一个角等于已知角. 02 能够用尺规作图，过直线外一点作这条直线的平行线；已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形. 学习目标 M A T H 22051 作一条线段等于已知线段： a 复习导入 M A T H 22051 任务一：作一个角等于已知角． 活动：线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素. 如图，已知∠AOB，如何用直尺和圆规作一个角与其相等. O A B 思路：一个三角形的三条边、三个角是确定的. 如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，再作出一个与其全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等，就能得到与∠AOB 一样大小的角. 探究学习 M A T H 22051 问题1：如何构建含有∠AOB的三角形呢？ 如图，在∠AOB 的边 OA，OB 上分别取点 C，D，连接 CD，得到△COD. ∠AOB 就是△ COD 的一个内角. C D O A B C‘ D’ O’ 问题2：为了作出与△COD全等的△，作图依据是什么？ SSS 探究学习 M A T H 22051 已知：∠AOB．求作： ∠A'O'B'=∠AOB. 作法：1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D； O D B C O' D' B' A' A C' 2.画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； 3.以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′； 4.过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB． 探究学习 M A T H 22051 任务二：过直线外一点作这条直线的平行线． 例4：如图，已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C，利用直尺和圆规过点 C 作直线 AB 的平行线 CD. C A B 分析：我们知道，同位角相等，两直线平行. 可以利用这个结论，过点C 作直线AB的平行线CD. 为此需要先作出截线，再作出相等的同位角， 探究学习 M A T H 22051 C A B 作法：(1) 过点 C 作一条直线，与直线 AB 相交于点 E； (2) 在点 C 处作∠CEB 的同位角∠FCD，使∠FCD = ∠CEB； E F D 探究学习 M A T H 22051 C A B E F D (3) 反向延长 CD，得直线 CD，则直线 CD // AB. 还可以利用“内错角相等，两直线平行”作图. 探究学习 M A T H 22051 任务三：已知两边及其夹角作三角形． 例5：如图，已知线段 a，b 和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α. a b 问题：如何构建△ABC？ 思路：先作一个角等于已知角，再在角的两边上截取指定长度的边，从而确定三角形. α 探究学习 M A T H 22051 α a b A E D 作法：(1) 作∠DAE = ∠α； 探究学习 M A T H 22051 α a b A E D B 作法：(2) 在射线 AD 上作 AB = a，在射线 AE 上作 AC = b； 探究学习 M A T H 22051 α a b A E D C B 作法：(2) 在射线 AD 上作 AB = a，在射线 AE 上作 AC = b； 探究学习 M A T H 22051 α a b A E D C B 作法：(3) 连接 BC，则△ABC 就是所求作的三角形. 探究学习 M A T H 22051 尺规作图 依据：SSS 依据：“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行” 作一个角等于已知角 过直线外一点作这条直线的平行线 已知两边及其夹角作三角形，已知两角及其夹边作三角形. 课堂小结 M A T H 22051 1. 如图，已知∠AOB，以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧①，分别交 OA，OB 于点E，F，再以点 E 为圆心，以 EF 长为半径作弧，交弧①于点 D，画射线 OD. 若∠AOB = 28°，则∠BOD 的度数为（ ） A. 34° B. 62° C. 56° D. 124° C 基础 随堂小练 M A T H 22051 2. 已知△ABC，由尺规作图痕迹可知△ABC△ABD，判定这两个三角形全等的理由为（ ） A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA D 提升 随堂小练 M A T H 22051 14.2 三角形全等的判定 课时5 用“HL”判定直角三角形全等 第十四章 全等三角形 M A T H 22051 01 探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”. 02 会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等. 学习目标 M A T H 22051 我们已经学过的判定全等三角形的方法有哪些？ “SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS” 思考：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ A B C A' B' C' 复习导入 M A T H 22051 任务一：直角三角形全等的判定方法“HL”． 活动1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ ①一条直角边(或斜边)和一锐角分别相等 ASA A' B' C' A B C A' B' C' AAS 探究学习 M A T H 22051 活动1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ ②两直角边分别相等 SAS A' B' C' A B C 探究学习 M A T H 22051 活动1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ 问题：如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？ ? A B C A' B' C' 探究学习 M A T H 22051 活动2：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠C =∠C′ = 90°，A′B′ = AB，B′C′ = BC. 这两个三角形全等吗？ C' A' B' C A B 探究学习 M A T H 22051 C' A' B' C A B 如图，由 ∠C =∠C′ = 90°可知： ①点 C 与点 C' 重合，射线 C'A' 与射线 CA 重合，那么射线 C'B' 与射线 CB 重合. ② 由B'C' = BC ，可知点 B' 与点 B 重合. (C') (B') 探究学习 M A T H 22051 C A B (C') (B') 为了判断点A'与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. ① 设点 M 在直角边 AC (不包括端点)上，连接 BM，则∠BMA ＞∠C，∠BMA是钝角． ② 若过点 M 且垂直于 BM 的直线与线段 AB 相交于点 M′，则有 AB ＞ BM′ ＞ BM． M 外角的性质 M' 垂线段最短 探究学习 M A T H 22051 C A B (C') (B') 为了判断点A'与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. ③ 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，同理可得 BN ＞ BN′ ＞ AB． N N' 探究学习 M A T H 22051 C A B (C') (B') 为了判断点A'与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. ④ 因此，在射线 CA 上，与点 B 的连线长度等于 AB 的点只有一个. N M 在点 A 下方时，长度 < AB； 在点 A 上方时，长度 > AB. ⑤再由点 A′ 在射线 CA 上，A′B′ = AB，可知点 A′与点 A 重合． (A') 探究学习 M A T H 22051 C A B (C') (B') (A') 活动2：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠C =∠C′ = 90°，A′B′ = AB，B′C′ = BC. 这两个三角形全等吗？ △A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合. △A'B'C' 与△ABC 能够完全重合. △A'B'C'≌△ABC 探究学习 M A T H 22051 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （简写成“斜边、直角边”或“HL”） 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， AB=A′B′, BC=B′C′, ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). A B C A' B' C' 归纳 M A T H 22051 下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（　　） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两个直角三角形的面积相等 D 巩固练习 M A T H 22051 例6：如图，AC⊥BC， BD⊥AD， 垂足分别为 C，D， AC﹦BD. 求证：BC﹦AD. A B D C 任务二：用“HL”判定两个直角三角形全等． ①先找现有条件： ②再找隐含条件： 公共边AB AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD 分析：可以证明 Rt△ABC≌Rt△BAD. 由分析可知， Rt△ABC与Rt△BAD具备“斜边，直角边”的条件. 探究学习 M A T H 22051 例6：如图，AC⊥BC， BD⊥AD， 垂足分别为 C，D， AC﹦BD. 求证：BC﹦AD. 证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C=∠D=90°. 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. A B D C AB=BA AC=BD 探究学习 M A T H 22051 证明线段长度相关问题或者角度问题可通过证明三角形全等解决，“HL”公理作为直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 归纳 M A T H 22051 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. 巩固练习 M A T H 22051 判断两个三角形全等的方法 HL AAS SAS SSS ASA 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 课堂小结 M A T H 22051 1.如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO=CO，AB=CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．AAS A 基础 随堂小练 M A T H 22051 2.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC D 基础 随堂小练 M A T H 22051 3.如图，点B、E、C、F在同一直线上，若AB⊥BF，DE⊥BF，AB＝DE，AC＝DF．求证：△ABC≌△DEF． 证明：∵AB⊥BF，DE⊥BF， AB＝DE，AC＝DF ∴在Rt△ABC与Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） AB=DE, AC=DF . 基础 随堂小练 M A T H 22051 4.如图，点E在AF上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点D，AB＝CD，AF＝CE. 求证：CE⊥AF. 证明：∵AB⊥BD，DE⊥CF，∴∠ABF＝∠CDE＝90°， 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)， ∴∠A＝∠C. ∵∠A＋∠F＝90°，∴∠C＋∠F＝90°， ∴∠CEF＝90°，∴CE⊥AF. 提升 随堂小练 M A T H 22051 $