1.4 课时4 用空间向量研究空间中的距离 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4 课时4 用空间向量研究空间中的距离 【学习目标】 1.理解运用向量运算求解空间距离的原理.(数学抽象) 2.能运用空间向量法解决距离问题.(逻辑推理、数学运算) 3.理解空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.(直观想象、数学运算) 【自主预习】 1.空间中有哪些距离? 2.如何用向量研究距离? 3.如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离? 4.求点到直线的距离主要有哪些方法? 5.如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,类比点到直线的距离的研究过程,则点P到平面α的距离应该怎样表示? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面α外一点A到平面α的距离,就是点A与平面内一点B所成向量的长度. (　　) (2)若直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离. (　　) (3)若平面α∥β,则两平面α,β间的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. (　　) 2.已知直线l的一个方向向量为n=(1,0,2),点A(0,1,1)在直线l上,则点P(1,2,2)到直线l的距离为(　　). A.2 B. C. D. 3.若平面α的一个法向量为n=(1,2,2),点A(3,0,2),B(5,1,3),A∉α,B∈α,则点A到平面α的距离为(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 4.(人教A版选择性必修第一册P35练习T2(4)改编)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.求直线FC到平面AEC1的距离. 【合作探究】 探究1　点到直线的距离 问题1:怎样表示向量b方向上的单位向量u? 问题2:如何作出向量a在向量b上的投影向量? 问题3:怎样用单位向量u表示向量a在向量b上的投影向量及投影向量的长度? 问题4:在预学忆思3中,若AP与直线l垂直,点P到直线l的距离还等于吗? 问题5:在立体几何图形中求解距离问题时,已知条件中一般只会给出点P的坐标以及直线l,那么点A应该如何确定? 问题6:类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离? 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.如图,设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u. 点P到直线l的距离PQ==. 例1　如图所示,几何体ABCD-EFGH为棱长等于1的正方体,若点P在正方体的内部且满 足=++,求点P到直线BC的距离. 【方法总结】求点P到直线l的距离的步骤:第一步,建系,在直线l上任取一点A (注意:选择便于计算的特殊点),求“参考向量(或)”的坐标;第二步,依据图形先求出直线l的单位方向向量u;第三步,代入公式求解. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,M,N分别是棱AB,CC1的中点,求点A1到直线MN的距离. 探究2　点到平面的距离 问题1:在立体几何图形中求解距离问题时,已知条件中一般只会给出点P以及平面α,那么点A应该如何确定?求解距离的过程中是否需要找出点P在平面α内的投影向量以及垂线段? 问题2:求点到平面的距离主要有哪些方法? 设平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到平面α的距离d=. 例2　(2023年天津卷节选)在三棱台ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,M为线段BC的中点.求点C到平面C1MA的距离. 【方法总结】用向量法求点到平面的距离的步骤 (1)建系:建立恰当的空间直角坐标系. (2)求点的坐标:写出(求出)相关点的坐标. (3)求向量:求出相关向量的坐标(,平面α的法向量n). (4)求距离:d=. 提醒:用向量法求线面距、面面距时,一般要转化为点面距. 在长方体中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为10,则点D到平面A1BC1的距离为(　　). A. B. C. D. 探究3　直线(平面)到平面的距离 问题1:如果直线l与平面α平行,那么如何求直线到平面的距离? 问题2:如何求两平行平面之间的距离? 1.求直线到平面的距离,先证明直线与平面平行,再转化为直线上一点到平面的距离. 2.与用平面向量解决平面几何问题的 “三步曲”类似,我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为空间向量问题; (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离等问题; (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 例3　如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为BB1的中点. (1)求点D到平面AD1E的距离d; (2)求直线BC1到平面AD1E的距离d1. 【方法总结】求直线(平面)到平面的距离,要先证明直线(平面)与平面平行,然后转化为求点到平面的距离. 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别为AB,BC,BB1的中点. (1)求证:平面A1DC1∥平面EFG. (2)求平面A1DC1与平面EFG间的距离. 【随堂检测】 1.已知A(2,1,0),B(1,0,1),C(3,2,3),则点A到直线BC的距离为(　　). A. B. C. D. 2.已知平面α的一个法向量为n=(1,2,1),A(1,0,-1),B(0,-1,1),且A∉α,B∈α,则点A到平面α的距离为(　　). A. B. C. D.1 3.已知直线AB∥平面α,平面α的一个法向量为n=(1,0,1),平面α内一点C的坐标为(0,0,1),直线AB上点A的坐标为(1,2,1),则直线AB到平面α的距离为　　　　.  4.如图,已知在长方体ABCD -A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,求直线B1C1到平面A1BCD1的距离. 参考答案 课时4　用空间向量研究空间中的距离 自主预习·悟新知 预学忆思 1.两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两条平行线之间的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离. 2.利用向量的模、空间两点间的距离、投影向量、勾股定理. 3.如图,设=a,则向量在直线l上的投影向 量=|a|cos∠PAQ· u=|a|·cos∠PAQ|u|u=(a·u)u. 在Rt△AQP中,由勾股定理,得PQ==. 4.(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即点到直线的距离. (2)在三角形中用等面积法求解. (3)向量法,即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方之差的算术平方根. 5.||=|||cos∠APQ|=. 自学检测 1.(1)×　(2)√　(3)√ 2.D　【解析】由已知得=(-1,-1,-1),因为直线l的一个方向向量为n=(1,0,2),所以点P(1,2,2)到直线l的距离为===. 3.B　【解析】∵A(3,0,2),B(5,1,3),A∉α,B∈α, ∴AB 为平面α的一条斜线,且=(2,1,1). ∴ 点A到平面α的距离d====2. 4.【解析】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),E,F, 所以=,=,=,=. 显然==,所以FC∥EC1. 又FC⊄平面AEC1,EC1⊂平面AEC1, 所以FC∥平面AEC1,因此直线FC到平面AEC1的距离等于点F到平面AEC1的距离. 设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得n=(1,2,1), 所以点F到平面AEC1的距离为=,所以直线FC到平面AEC1的距离是. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1:u=. 问题2:如图,在空间中任取一点O,作=a,=b.过点M作MM1垂直于直线ON,垂足为M1,向量 即向量a在向量b上的投影向量. 问题3:=|a|cos θ u=|a|cos θ |u|u=(a·u)u,即=(a·u )u,||=|a·u|. 问题4:若预学忆思中的AP与直线l垂直,则a·u=0,=|PA|=|PQ|. 问题5:点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,它不会随着点A的变化而变化,故点A可以是直线l上的任意一点. 问题6:如图,在其中一条直线上任取一点P,将求两条平行直线之间的距离转化为求点P到另一条直线的距离. 新知运用 例1　【解析】如图所示,以D为原点,DA,DC,DH所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0), ∴=(0,1,0),=(-1,0,0),=(0,0,1),=(-1,0,0). ∵=++=-,,, ∴P,,, ∴=-,-,, ∴=,||2=-2+-2+2=, ∴点P到直线BC的距离d===. 巩固训练　【解析】如图,以D为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 易知A1(1,0,1),M,N, 所以=0,,-1,=,==. 取a==,u====, 则a2=,a·u=-, 所以点A1到直线MN的距离为==. 探究2　情境设置 问题1:点A可以是平面α内的任意一点.不需要找出点P在平面α内的投影向量以及垂线段. 问题2:(1)作点到平面的垂线,点与垂足之间的距离即点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法,即点到平面的距离为参考向量与法向量的数量积的绝对值与法向量的模之比. 新知运用 例2　【解析】由题意易知,AA1,AC,AB两两垂直,以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(如图), 则A(0,0,0),A1(0,0,2),C(0,2,0),B(2,0,0),M(1,1,0),C1(0,1,2),所以=(1,1,0),=(0,1,2). 设n=(x,y,z)是平面C1MA的法向量, 则令z=1,则平面C1MA的一个法向量为n=(2,-2,1), 又=(1,-1,0),所以点C到平面C1MA的距离d==. 巩固训练　D　【解析】设AA1=h,则=-=10, 所以4h-h××4=10,解得h=3. 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则D(0,0,0),A1(2,0,3),B(2,2,0),C1(0,2,3),所以=(0,2,-3),=(2,0,-3). 设m=(x,y,z)是平面A1BC1的法向量,则令z=2,则x=y=3,可得平面A1BC1的一个法向量为m=(3,3,2). 又=(2,2,0),所以点D到平面A1BC1的距离为==. 探究3　情境设置 问题1:转化为点到平面的距离求解. 问题2:转化为点到平面的距离求解. 新知运用 例3　【解析】(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,0),D1(0,0,2),E(2,2,1), 所以=(0,2,1),=(-2,0,2). 设平面AD1E的法向量为n=(x,y,z), 则 令z=2,则x=2,y=-1, 所以平面AD1E的一个法向量为n=(2,-1,2),又=(0,0,2), 所以点D到平面AD1E的距离d===. (2)由(1)可得平面AD1E的一个法向量为n=(2,-1,2), 又B(2,2,0),C1(0,2,2),所以=(-2,0,2), 因为=,所以BC1∥AD1. 又BC1⊄平面AD1E,AD1⊂平面AD1E, 所以BC1∥平面AD1E, 所以直线BC1到平面AD1E的距离可以转化为点B到平面AD1E的距离. 又=(0,2,0), 所以直线BC1到平面AD1E的距离d1===. 巩固训练　【解析】(1)∵E是AB的中点,F是BC的中点, 连接AC(图略),∴EF∥AC. ∵AA1􀱀CC1,∴四边形ACC1A1是平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴EF∥A1C1. 又A1C1⊂平面A1C1D,EF⊄平面A1C1D, ∴EF∥平面A1C1D. 同理,连接AB1,可得EG∥AB1∥DC1,又DC1⊂平面A1C1D,EG⊄平面A1C1D,∴EG∥平面A1C1D. ∵EF∩EG=E,EF,EG⊂平面EFG,∴平面A1C1D∥平面EFG. (2)如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz, 则D(0,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(2,1,0), ∴=(2,0,2),=(0,2,2),连接A1E,则=(0,1,-2). 设平面A1DC1的法向量为n=(x,y,z), 则⇒取x=1,可得y=1,z=-1, 则平面A1DC1的一个法向量为n=(1,1,-1), 故平面A1DC1与平面EFG间的距离为==. 随堂检测·精评价 1.A　【解析】由A(2,1,0),B(1,0,1),C(3,2,3),可得=(1,1,-1),=(2,2,2), 则向量在方向上的投影向量的长度为==, 所以点A到直线BC的距离为=. 2.B　【解析】∵A(1,0,-1),B(0,-1,1),∴=(-1,-1,2).又平面α的一个法向量为n=(1,2,1),∴点A到平面α的距离为=. 3.　【解析】由于直线与平面平行,故直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离,又=(1,2,0),所以点A到平面α的距离d==. 4.【解析】以D为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0,12,0),D1(0,0,5). 设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0),平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),则=(-x,0,0),=(0,-12,5). 由n⊥,n⊥, 得 解得a=0,b=c,令c=12,则平面A1BCD1的一个法向量为n=(0,5,12). 又=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为=. 因为B1C1∥平面A1BCD1,所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $