1.4 课时3 空间中直线、平面的垂直 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4 课时3 空间中直线、平面的垂直 【学习目标】 1.能利用平面的法向量证明两个平面垂直.(逻辑推理、数学运算) 2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系.(数学运算、逻辑推理) 【自主预习】 1.如图,直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,当直线l1,l2垂直时,u1,u2之间有什么关系? 2.类似空间中直线、平面平行的向量表示,在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中,直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系? 3.如图,设u是直线 l 的方向向量,n是平面α的法向量,当直线l垂直于平面α时,u,n之间有什么关系?你能用数学语言表示吗? 4.设n1,n2分别是平面α,β的法向量,当平面α垂直于平面β时,n1,n2之间有什么关系?想一想如何用数学语言表示? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直. (　　) (2)已知两平面α,β的一个法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则α⊥β. (　　) (3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直. (　　) (4)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交. (　　) 2.若直线l1,l2的一个方向向量分别为m=(2,-1,-1),n=(1,1,1),则这两条直线(　　). A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交 3.(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)(多选题)已知u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l的方向向量,n=(1,2,3)是平面α的法向量,下列结论正确的是(　　). A.若l⊥α,则a+2b=9 B.若l∥α,则b-5a=3 C.若l⊥α,则a-b=9 D.若l∥α,则a+b=6 4.若平面α,β的一个法向量分别为a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),则α与β的位置关系是(　　). A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 【合作探究】 探究1　空间中直线与直线垂直 小明利用纸盒折了一个正六棱柱,如图,根据正棱柱的定义可知AB⊥AE. 问题1:图中AE与CD,AB与CD是什么位置关系? 问题2:如何用向量法证明AB与CD垂直? 设直线l1的方向向量为a=(a1,a2,a3),直线l2的方向向量为b=(b1,b2,b3),则l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0. 例1　(2021年全国甲卷节选)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.证明:BF⊥DE. 【方法总结】用向量方法证明直线l1与l2垂直,分别取l1,l2的方向向量e1,e2,则e1·e2=0或cos<e1,e2>=0. 已知正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别是棱BB'、对角线CA'的中点.求证:MN⊥BB',MN⊥A'C. 探究2　空间中直线与平面垂直 如图,这是直角三角形绕直角边OA旋转一周形成的几何体(圆锥). 问题1:圆锥的旋转轴OA与底面所在平面上的任意一条直线是否垂直?为什么? 问题2:如何用向量法证明直线与平面垂直? 设直线l的方向向量是a=(a1,b1,c1),平面α的法向量是u=(a2,b2,c2),则l⊥α⇔　　　　⇔　　　　⇔　　　　.  例2　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BB1,D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC. 【方法总结】坐标法证明线面垂直有两种思路 (1)建立空间直角坐标系,将直线的方向向量用坐标表示,找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量,分别计算直线的方向向量与两条相交直线的方向向量的数量积,得到数量积为0. (2)建立空间直角坐标系,将直线的方向向量用坐标表示,求出平面的法向量,判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行. 使用坐标法证明时,如果平面的法向量很明显,那么可以选用第二种思路,否则常常选用第一种思路解决. 如图,在直四棱柱ADD1A1-BCC1B1中,底面ADD1A1为直角梯形,AA1⊥AD,AD∥A1D1,E,F,G分别为AD,A1E,C1D1的中点,AD=2AB=2AA1=2A1D1=2,证明:直线FG⊥平面A1BE. 探究3　空间中平面与平面垂直 铅垂线多用于建筑测量.用一条细绳一端系重物,在相对于地面静止时,这条绳所在直线就是铅垂线,又称重垂线.铅垂线的作用是判断物体是否与地面垂直. 问题1:为什么利用铅垂线能检查所砌墙面是否与地面垂直? 问题2:用向量法如何证明两个平面垂直? 若平面α的法向量u=(a1,b1,c1),平面β的法向量v=(a2,b2,c2),则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0. 例3　(2023年全国乙卷节选)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2,PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=DO,点F在AC上,BF⊥AO.证明:平面ADO⊥平面BEF. 【方法总结】证明面面垂直的两种方法 (1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)法向量法:证明两个平面的法向量互相垂直. 如图,在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证:平面EFG⊥平面PBC. 【随堂检测】 1.已知直线l的一个方向向量为m=(1,2,-4),平面α的一个法向量为n=(2,3,t),若l∥α,则t=(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 2.若平面α,β的一个法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则(　　). A.α∥β B.α⊥β C.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确 3.已知平面α的一个法向量为(4,3,-7),若直线l⊥平面α,则直线l的方向向量可以为(　　). A.(8,6,14) B.(-8,-6,14) C.4,3, D.3,4, 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,证明:平面B1ED⊥平面B1BD. 参考答案 课时3　空间中直线、平面的垂直 自主预习·悟新知 预学忆思 1.垂直. 2.一般地,直线与直线垂直,就是两直线的方向向量垂直;直线与平面垂直,就是直线的方向向量与平面的法向量平行;平面与平面垂直,就是两平面的法向量垂直. 3.平行(共线),数学语言表示为l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn. 4.垂直.数学语言表示为α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0. 自学检测 1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.B　【解析】因为m·n=2×1+(-1)×1+(-1)×1=0,所以m⊥n,所以l1⊥l2. 3.BC　【解析】u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l的方向向量,n=(1,2,3)是平面α的法向量,若l⊥α,则u∥n,则==,所以解得a=,b=-,因此,a+2b=,a-b=9,A错误,C正确; 若l∥α,则u⊥n,即u·n=3+2(a+b)+3(a-b)=0,所以b-5a=3,B正确,D错误. 4.B　【解析】因为a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),所以a·b=2×(-1)+(-1)×(-2)+0=0,所以a⊥b, 所以α与β的位置关系是垂直. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1:AE∥CD,AB与CD是异面直线,且垂直. 问题2:证明直线AB,CD的方向向量的数量积为0. 新知运用 例1　【解析】(法一)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴BB1⊥底面ABC,∴BB1⊥AB. ∵A1B1∥AB,BF⊥A1B1,∴BF⊥AB,又BB1∩BF=B,∴AB⊥平面BCC1B1,∴BA,BC,BB1两两垂直. 以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图, ∴B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1). 由题设D(a,0,2)(0≤a≤2).∵=(0,2,1),=(1-a,1,-2), ∴·=0×(1-a)+2×1+1×(-2)=0,∴BF⊥DE. (法二)∵BF⊥A1B1,A1B1∥AB,∴BF⊥AB,故·=0,·=0, ∴·=·(++)=·(+)+·=·+·=·--+·=-·-·+·=-·+·=-||·||·cos ∠FBC+||·||·cos ∠FBB1=-××2×+×2×=0,∴BF⊥DE. 巩固训练　【解析】设该正方体的棱长为1,以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则M1,0,,B(1,0,0),C(1,1,0),A'(0,0,1),N,,,B'(1,0,1),所以=-,,0,=(1,1,-1),=(0,0,1), 故·=-,,0·(1,1,-1)=0, ·=-,,0·(0,0,1)=0, 所以MN⊥A'C,MN⊥BB'. 探究2　情境设置 问题1:垂直,因为OA垂直于底面,所以OA垂直于底面所在平面上的任意一条直线. 问题2:证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可. 新知生成 a∥u　a=ku(k∈R)　(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) 新知运用 例2　【解析】设正方体的棱长为2,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2), E(2,2,1),F(1,1,2). 所以=(-1,-1,1),=(0,2,2),=(-2,2,0). 设平面B1AC的法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,得y=1,z=-1, 所以平面B1AC的一个法向量为n=(1,1,-1), 所以=-n, 所以∥n, 故EF⊥平面B1AC. 巩固训练　【解析】由题意,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图, 则A1(0,0,1),B(1,0,0),E(0,1,0),F,G, 所以=(-1,1,0),=(1,0,-1),=. 设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z), 则即 令x=1,则n=(1,1,1), 所以=n,即∥n,故直线FG⊥平面A1BE. 探究3　情境设置 问题1:铅垂线总是垂直于水平面,根据垂线的性质,可用铅垂线来检查所砌墙面是否垂直. 问题2:证明两个平面的法向量的数量积为0即可. 新知运用 例3　【解析】因为AB⊥BC,所以过点B作z轴⊥平面BAC,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),O(0,,0). 在△BDA中,cos∠PBA===-, 在△PBA中,PA2=PB2+AB2-2PB·AB·cos∠PBA=6+4-2×2×=14. 设P(x,y,z), 由得 可得x=-1,y=,z=,所以P(-1,,), 则D,E,由BF⊥AO,得·=0,所以F(1,,0),=(-2,,0),=,=,=(1,,0). 设平面ADO的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则得 令x1=1,则y1=,z1=,所以n1=(1,,). 设平面BEF的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则得 令x2=2,则y2=-,z2=0,所以n2=(2,-,0). 因为n1·n2=1×2+×(-)+0=0, 所以平面ADO⊥平面BEF. 巩固训练　【解析】(法一)如图,以三棱锥的顶点P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 令PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0), ∴=(3,0,0),=(1,0,0), ∴=3,∴PA∥FG. 又PA⊥平面PBC,∴FG⊥平面PBC. 又FG⊂平面EFG,∴平面EFG⊥平面PBC. (法二)同法一,建立空间直角坐标系, 则E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0), ∴=(0,-1,-1),=(1,-1,-1). 设平面EFG的法向量为n=(x,y,z), 则即 令y=1,得z=-1,x=0, 即n=(0,1,-1). 显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量. 又n·=0,∴n⊥, 即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直, ∴平面EFG⊥平面PBC. 随堂检测·精评价 1.B　【解析】因为l∥α,所以m⊥n,可得m·n=2+6-4t=0,解得t=2. 2.C　【解析】∵n1与n2不是平行向量,且n1·n2≠0,∴α,β相交且不垂直. 3.B　【解析】因为直线l⊥平面α,所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行,又(-8,-6,14)=-2(4,3,-7),所以B正确. 4.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设该正方体的棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),E0,1,,故=(1,1,1),=0,1,. 设平面B1DE的法向量为n1=(x,y,z),则即令z=-2,则y=1,x=1,∴n1=(1,1,-2). 同理求得平面B1BD的一个法向量为n2=(1,-1,0), 由n1·n2=0,知n1⊥n2, ∴平面B1ED⊥平面B1BD. 学科网（北京）股份有限公司 $