1.4 课时2 空间中直线、平面的平行 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4 课时2 空间中直线、平面的平行 【学习目标】 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(数学抽象) 2.能用向量方法证明有关直线、平面平行关系的判定定理.(逻辑推理、数学运算) 3.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.由直线与直线的平行关系,可以得到两直线的方向向量具有什么关系? 2.如何用直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面的平行关系? 3.观察下图,平面α与平面β平行,n1,n2分别是平面α,β的法向量,n1与n2具有什么关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反. (　　) (2)若向量n1,n2为平面α的法向量,则以这两个向量为方向向量的两条不重合的直线一定平行. (　　) (3)两条直线的方向向量平行,则两条直线平行. (　　) (4)两个不同平面的法向量平行,则这两个平面平行. (　　) 2.若平面α,β的一个法向量分别为m=-,,-1,n=,-1,3,则(　　). A.α∥β B.α⊥β C.α与β相交但不垂直 D.α∥β或α与β重合 3.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面ABB1A1,平面A1B1C1D1的中心,则下列结论正确的是(　　). A.EF∥平面ACD1 B.EF∥平面AB1C C.EF∥平面BCC1B1 D.EF∥平面DCC1D1 4.设平面α的一个法向量为(1,3,-2),平面β的一个法向量为(-2,-6,k),若α∥β,则k=　　　　.  【合作探究】 探究1　空间直线与直线平行 如图,双杠是男子竞技体操项目之一.它是由金属的架子支撑两条平行的木头、塑胶或合成金属制成的杠.一套典型的双杠动作包括在支撑位置、倒立位置和挂臂位置的转换.双杠于1896年被列为奥运会比赛项目. 问题1:如何利用向量的方法证明l1∥l2? 问题2:如何证明两个向量a,b(b≠0)平行? 问题3:两条直线平行,它们的方向向量平行吗? 设u1,u2分别是不重合的直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2. 若两条不重合的直线l1,l2的方向向量分别为u1=(a1,b1,c1),u2=(a2,b2,c2),则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2). 例1　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形. 【方法总结】(1)两直线平行⇒两直线的方向向量共线. (2)两直线的方向向量共线⇒两直线平行或重合,所以由两直线的方向向量共线证明两直线平行时,必须指出两直线不重合. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1. 探究2　空间直线与平面平行 如图所示,这是武汉大学的校门. 问题1:由校门上部的下边线m与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢? 问题2:能用向量法证明这一问题吗? 问题3:如果直线l的方向向量为u,平面α的法向量为v,且u⊥v,那么l与α平行吗? 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0. 例2　(2024年天津卷节选)如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥AB,AB∥CD,AA1=2,AB=2AD=2,DC=1,N是B1C1的中点,M是DD1的中点.求证:D1N∥平面CB1M. 【方法总结】利用空间向量证明线面平行一般有三种方法:(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即证明直线的方向向量可用平面内的一组基底表示;(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,证明线线平行,利用线面平行判定定理得证;(3)求直线的方向向量和平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,AD=2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在棱AC上,且AQ=3QC.请建立适当的空间直角坐标系,证明:PQ∥平面BCD. 探究3　空间平面与平面平行 吊环是男子体操项目之一,1896年被列为第一届奥运会的比赛项目.吊环项目对运动员双臂力量要求很高,所有动作均由双臂支撑完成.如图,“水平十字”是吊环的标志性动作,要求运动员在双臂支撑下,在空中将身体舒展,所形成的平面与地面平行,身体躯干与双臂要形成“十”字形,且需静止两秒以上.在比赛中,裁判只要观察运动员双臂、躯干是否与地面平行,即可判断该动作是否标准. 问题1:怎样说明人体形成的平面与地面平行? 问题2:如何用平面的法向量说明人体形成的平面与地面平行? 设n1,n2分别是不重合的平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2. 例3　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面A1BD∥平面CD1B1. 【方法总结】证明两平面平行时,分别找(或求)出两个平面的法向量u,v,验证u∥v成立. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是棱CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO? 【随堂检测】 1.已知向量a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(　　). A.2, B., C.-3,2D.2,2 2.已知n1=(x,1,-1)为平面α的法向量,n2=(6,y,3)(y≠0)为平面β的法向量,且α∥β,则x+y=(　　). A. B.1 C.-3 D.-5 3.若直线l的一个方向向量为a=(2,2,-1),平面α的一个法向量为μ=(-6,8,4),则直线l与平面α的位置关系是　　　　　.  4.已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,求证:平面DEF∥平面ABC. 参考答案 课时2　空间中直线、平面的平行 自主预习·悟新知 预学忆思 1.平行. 2.设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0. 3.平行. 自学检测 1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.D　【解析】∵n=-3m,∴m∥n,∴α∥β或α与β重合. 3.AC　【解析】如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设该正方体的棱长为2, 则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),E(2,1,1),F(1,1,2), 则=(-2,2,0),=(-2,0,2),=(-1,0,1). 设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z), 则即 令x=1,可得n=(1,1,1).∵·n=0,∴⊥n,又EF⊄平面ACD1,∴EF∥平面ACD1. 易知平面BCC1B1的一个法向量为m=(0,1,0),则·m=0,又EF⊄平面BCC1B1,∴EF∥平面BCC1B1,∴A,C正确. 同理,可证B,D错误. 4.4　【解析】若α∥β,则==,解得k=4. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1:证明两直线l1,l2的方向向量平行即可. 问题2:要证a∥b,只需证明a=λb(λ∈R). 问题3:平行. 新知运用 例1　【解析】以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略),不妨设该正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E0,0,,C1(0,1,1),F1,1,, ∴=-1,0,,=-1,0,,=0,1,,=0,1,, ∴=,=,∴∥,∥. 又∵F∉AE,F∉EC1,∴AE∥FC1,EC1∥AF, ∴四边形AEC1F是平行四边形. 巩固训练　【解析】如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 设DA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),C1(0,b,c),D1(0,0,c),B1(a,b,c),B(a,b,0),A1(a,0,c). 由D1E=2EB1,得=2,则E. 由BF=2FA1,得=2,则F, ∴=,=(-a,b,c),∴=. 又EF与AC1不重合,∴EF∥AC1. 探究2　情境设置 问题1:因为柱子与地面垂直,所以柱子和地面的任意直线垂直,那么在地面内存在一条直线l与m在同一平面内,且都与柱子垂直,所以l∥m,由线面平行的判断定理可推出校门上部的下边线与地面平行. 问题2:能.证明m的方向向量与地面的法向量垂直即可. 问题3:不一定,也可能l在α内. 新知运用 例2　【解析】以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),B1(2,0,2),D1(0,1,2),M(0,1,1),C(1,1,0),C1(1,1,2),N, 所以=(1,-1,2),=(-1,0,1),=. 设平面CB1M的法向量为m=(x,y,z), 则 取x=1,得y=3,z=1,即m=(1,3,1). 因为m·=(1,3,1)·=-+0=0,所以m⊥, 又D1N⊄平面CB1M,所以D1N∥平面CB1M. 巩固训练　【解析】以D为坐标原点,DA所在直线为z轴,BD所在直线为y轴, 过点D作垂直于平面ABD的直线为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设BD=2a,由题意得B(0,-2a,0),A(0,0,2),M(0,0,1),P,设Q(xQ,yQ,zQ),C(x,y,0). 因为AQ=3QC,所以=,即(xQ,yQ,zQ-2)=(x,y,-2),即xQ=x,yQ=y,zQ=,所以Qx,y,,所以=. 又因为平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1), 所以·n=0,所以⊥n, 又因为PQ⊄平面BCD,所以PQ∥平面BCD. 探究3　情境设置 问题1:因为人体两臂与地面平行,躯干与地面平行,人体两臂与躯干相交,所以根据平面与平面平行的判定定理可知,人体形成的平面与地面平行. 问题2:把两根吊环分别看成是人体形成的平面的法向量与地面的法向量,两根吊环平行,则人体形成的平面与地面平行. 新知运用 例3　【解析】以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设该正方体的棱长为1,则 A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),D(0,0,0),∴=(-1,0,-1),=(0,1,-1),=(1,1,0),=(0,1,-1). 设平面A1BD的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则⇒ 令z1=1,得x1=-1,y1=1, ∴平面A1BD的一个法向量为n1=(-1,1,1). 设平面CD1B1的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则⇒ 令y2=1,得x2=-1,z2=1, ∴平面CD1B1的一个法向量为n2=(-1,1,1), 又n1=n2,即n1∥n2,而平面A1BD与平面CD1B1不重合, ∴平面A1BD∥平面CD1B1. 巩固训练　【解析】如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,Q(0,1,m), 则O,P,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1), =,-,0,=-,-,. 设平面PAO的法向量为n1=(x1,y1,z1),则 取x1=1,得y1=1,z1=2,则可取n1=(1,1,2). 又因为=(-1,-1,1),=(0,-1,1-m). 设平面D1BQ的法向量为n2=(x2,y2,z2),则 取z2=1,得x2=m,y2=1-m,则可取n2=(m,1-m,1). 要使平面D1BQ∥平面PAO,需满足n1∥n2, 因此==,解得m=,此时点Q的坐标为0,1,. 故当Q为棱CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 随堂检测·精评价 1.A　【解析】若a∥b,则2μ-1=0且=,解得μ=且λ=2或λ=-3.故选A. 2.D　【解析】因为α∥β,所以n1∥n2, 所以==,解得x=-2,y=-3, 所以x+y=-5. 故选D. 3.l⊂α或l∥α　【解析】∵μ·a=-12+16-4=0,∴μ⊥a,∴l⊂α或l∥α. 4.【解析】如图,设=a,=b,=c,则=2a,=2b,=2c. 设平面DEF的法向量为n,则n·=0,n·=0, ∴n·(b-a)=0,n·(c-a)=0. 又n·=n·(-)=n·(2b-2a)=0,n·=n·(-)=n·(2c-2a)=0, ∴n⊥,n⊥, ∴n是平面ABC的法向量,而平面DEF与平面ABC不重合, ∴平面DEF∥平面ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $