1.4 课时1 空间中点、直线和平面的向量表示 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4 课时1 空间中点、直线和平面的向量表示 【学习目标】 1.能用向量语言描述点、直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象、直观想象) 2.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.在空间中,如何用向量表示空间中的一个点? 2.空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l,如何用向量表示直线l? 3.如何利用向量确定空间中的一个平面? 4.什么是平面的法向量?如何用集合的形式表示平面? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)零向量能作为直线的方向向量和平面的法向量. (　　) (2)平面α的法向量是唯一的,即一个平面不可能存在两个不同的法向量. (　　) (3)直线的方向向量是不唯一的. (　　) (4)在空间直角坐标系中,z=(0,-2,0)是坐标平面Oxz的一个法向量. (　　) 2.(人教A版选择性必修第一册P29练习T2改编)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,若AB=2AD=2AA1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,则平面A1BD的一个法向量为(　　). A.6a+6b-c B.a-6b-6c C.2a+3b-c D.a+6b-6c 3.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则下列结论正确的是(　　). A.直线DD1的一个方向向量为(0,1,1) B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1) 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,指出直线AP的一个以C1为起点的方向向量. 【合作探究】 探究1　空间中点的向量表示 信号塔(如图),是网络运营商所建立的一种无线信号发射装置,外形像塔,所以叫作信号塔. 问题1:如何用向量表示塔顶P的位置? 问题2:在空间直角坐标系中如何确定点P的位置? 点的向量表示:在空间中,取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. 例1　在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足|PA|=|PB|. (1)求点P的坐标; (2)求点P的位置向量; (3)求点B到原点的距离. 【方法总结】确定空间一点的位置向量的关键是寻找定点,在空间直角坐标系中,一般把坐标原点当作定点. △ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示,则BC边上中点的位置向量是(　　). A.(2,1,1) B.(2,1,0) C.(1,2,0) D.(1,0,2) 探究2　空间中直线的向量表示 设A是直线l上一点,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,P是直线l上任意一点. 问题1:点P在直线l上的充要条件是什么? 问题2:若取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是什么? 空间直线的向量表示:如图,A是直线l上的一个点,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,取定空间中的任意一点O,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta,①或=+t,② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 例2　如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB=2A1B1,B1D=2DC1,CE=EC1.设=a,=b,=c,以{a,b,c}为空间的一个基底,分别求直线AD,AE的一个方向向量. 【方法总结】在空间中,一个向量若为直线l的方向向量,则必须具备以下两个条件:①向量是非零向量;②向量所在的直线与直线l平行或重合. 与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量,直线l的方向向量有无数个. (多选题)已知在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,0,1),B(-1,-1,2),C(0,1,2),则下列结论正确的是(　　). A.直线AB的一个方向向量的坐标为(2,1,-1) B.直线AC与平面Oxy的交点坐标为(2,1,0) C.点B关于平面Oyz的对称点为B'(1,-1,2) D.∠BAC为钝角 探究3　空间中平面的向量表示 如图,设两条直线相交于点O,它们确定平面α,对应的方向向量分别为a和b,P为平面α内任意一点. 问题1:点P在平面α内的充要条件是什么? 问题2:平面α的法向量满足什么条件? 问题3:如何选取平面的法向量? 1.空间平面的向量表示:如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 2.平面的法向量:如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}. 例3　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M分别为A1D1,A1B1的中点,B1C1与平面CDE交于点F.求平面MCF和平面CFE的法向量. 【方法总结】求平面法向量的步骤 (1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z). (2)选向量:在平面内选取两个不共线向量,. (3)列方程组:由列出方程组. (4)解方程组 (5)赋非零值:取x,y,z的其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论:得到平面的一个法向量. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱BB1的中点,在棱DD1上是否存在点P,使是平面PAC的一个法向量? 【随堂检测】 1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)均在直线l上,则直线l的一个方向向量是(　　). A.(2,2,6) B.(-1,1,3) C.(3,1,1) D.(-3,0,1) 2.已知直线l的一个方向向量为m=(3,-2,1),且直线l经过A(a,2,-1)和B(-2,3,b)两点,则a+b=(　　). A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.若a=x,2y-1,-是平面α的一个法向量,且b=(-1,2,1),c=3,,-2与平面α都平行,则向量a=(　　). A.-,-,- B.-,-,- C.-,-,- D.-,,- 4.平面α经过A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0)三点,求平面α的一个法向量u. 参考答案 1.4　空间向量的应用 课时1　空间中点、直线和平面的向量表示 自主预习·悟新知 预学忆思 1.在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. 2.如图1,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,由向量共线的条件可知,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.如图2,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta,　① 或=+t.　② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 3.设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a,b,P为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得=xa+yb,这样,点O与向量a,b可以确定平面. 4.如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的一个法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.B　【解析】令AB=2,则AD=AA1=1,所以a·b=a·c=2cos 60°=1,b·c=cos 60°=. 设平面A1BD的一个法向量为n=xa+yb+zc,而=a-b,=a-c, 则整理得令x=1,则y=-6,z=-6,得n=a-6b-6c, 所以平面A1BD的一个法向量为a-6b-6c. 3.BC　【解析】因为DD1∥AA1,=(0,0,1),所以直线DD1的一个方向向量为(0,0,1),所以A错误;因为BC1∥AD1,=(0,1,1),所以直线BC1的一个方向向量为(0,1,1),所以B正确;因为直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0),所以平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0),所以C正确;因为点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,所以D错误. 4.【解析】如图,取BB1的中点Q,C1C的中点M,连接C1Q,BM,PM,则PM=DC=AB,PM∥DC∥AB,所以四边形APMB为平行四边形,所以AP∥BM. 又在四边形BQC1M中,BQ∥C1M,BQ=C1M,所以四边形BQC1M为平行四边形,所以BM∥C1Q,所以AP∥C1Q, 故为直线AP的一个方向向量. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1:在空间中取一定点O作为基点,空间中的任意一点P就可以用向量来表示. 问题2:点P的位置用(x,y,z)来表示. 新知运用 例1　【解析】(1)依题意设P(0,0,z),则有=,解得z=3,所以点P的坐标为(0,0,3). (2)因为坐标原点O是空间一定点,所以点P的位置向量是=(0,0,3). (3)因为||==2,所以点B到原点的距离是2. 巩固训练　B　【解析】设BC的中点为D,由题意可知O(0,0,0),B(4,0,0),C(0,2,0),所以BC边的中点D的坐标为(2,1,0),所以BC边的中点的位置向量为=(2,1,0). 探究2　情境设置 问题1:充要条件是存在实数t,使=ta,即=t. 问题2:充要条件是存在实数t,使=+ta,即=+t. 新知运用 例2　【解析】=++=++=++=++=a+b+c,所以直线AD的一个方向向量是a+b+c. =+=+=+=+=b+c,所以直线AE的一个方向向量是b+c. 巩固训练　AC　【解析】对于A,由=(-2,-1,1),得-=(2,1,-1),即直线AB的一个方向向量为(2,1,-1),所以A正确; 对于B,=(-1,1,1),设直线AC与平面Oxy的交点为D(x,y,0),则=(x-1,y,-1), 所以==,解得即交点为D(2,-1,0),所以B错误; 对于C,点B关于平面Oyz的对称点为B'(1,-1,2),所以C正确; 对于D,cos∠BAC===>0,故∠BAC为锐角,所以D错误. 故选AC. 探究3　情境设置 问题1:存在唯一的有序实数对(x,y),使得=xa+yb. 问题2:平面α的法向量n与平面α内的任意直线都垂直,如n⊥a,n⊥b. 问题3:平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量,即只需作一条垂直于平面α的直线,选取该直线的方向向量即可. 新知运用 例3　【解析】以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则M(2,1,2),C(0,2,0),F(1,2,2),E(1,0,2), 所以=(-2,1,-2),=(1,0,2),=(0,-2,0). 设平面MCF的法向量为m=(x1,y1,z1), 则 令z1=-1,可得平面MCF的一个法向量为m=(2,2,-1). 设平面CFE的法向量为n=(x2,y2,z2), 则 令z2=-1,可得平面CFE的一个法向量为n=(2,0,-1). 巩固训练　【解析】不存在.如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),M1,1,. 假设存在点P(0,0,a)(0≤a≤1)满足条件, 则=(1,0,-a),=(-1,1,0). 设平面PAC的法向量为n=(x,y,z), 则得 令z=1,则x=a,y=a,即n=(a,a,1). 由题意知∥n,由=-1,-1,-,得==,解得a=2. 又0≤a≤1,所以在棱DD1上不存在点P,使是平面PAC的一个法向量. 随堂检测·精评价 1.A　【解析】因为A,B均在直线l上,所以=(1,1,3),与共线的向量(2,2,6)是直线l的一个方向向量. 2.A　【解析】因为=(-2-a,1,b+1),直线l的一个方向向量为m=(3,-2,1),且向量与向量m共线, 所以==,解得a=-,b=-, 所以a+b=-2. 3.D　【解析】由题意知即解得 所以a=-,,-. 4.【解析】由题意得=(2,1,1),=(3,-1,-1). 设平面α的法向量为u=(x,y,z), 则令z=-1,则y=1,x=0, ∴u=(0,1,-1)为平面α的一个法向量. 学科网（北京）股份有限公司 $