3.1.1 函数的概念9题型分类（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

本讲义聚焦函数概念及其相关核心素养的培养，系统构建从函数定义、三要素到定义域、值域、同一函数判定及区间的完整知识体系，前后衔接紧密，由抽象定义过渡到具体应用，层层递进，形成清晰的学习支架。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言三大核心素养的融合。例如题型1通过现实情境判断函数关系，培养学生用数学眼光观察世界的能力；题型8借助配方法、换元法求值域，强化逻辑推理与运算能力；题型9结合区间表示与实际问题，提升学生用数学语言表达现实规律的能力。课中可辅助教师精准讲解难点，课后便于学生查漏补缺，巩固基础并拓展思维，真正实现“学—练—悟”一体化教学。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.1.1 函数的概念9题型分类 一、函数的概念 (1)函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 函数值 与x的值相对应的y值 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集 (2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 二、区间的概念 (1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b). (2)区间的几何表示 在用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点． 区间 数轴表示 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] (3)含“∞”的区间的几何表示 区间 数轴表示 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则． (2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号． 三、同一个函数的判定 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． 四、常见函数的值域 (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为，当a<0时，值域为. （一） 函数关系的判断 1、判断一个对应关系是否是函数的两个条件 (1)A，B必须是非空数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与其对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2、根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数，如图所示： 题型1：函数关系的判断 1．（2025高一·全国·随堂练习）下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系； (2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系； (3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系； (4)某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系； (5)往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间的关系； (6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间的关系． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【解析】（1）地球绕太阳公转，二者的距离与时间存在函数关系， 其中时间时自变量，距离是因变量 （2）在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间存在函数关系， 其中时间为自变量，高度是因变量 （3）某超市一天的销售额与客流量之间存在函数关系， 其中客流量是自变量，销售额是因变量 （4）某十字路口，通过汽车的数量与时间存在函数关系， 其中时间是自变量，通过汽车的数量是因变量 （5）往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间存在函数关系， 其中时间是自变量，杯中水的体积是因变量 （6）抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间不存在函数关系. 2．（2025高一·全国·专题练习）（多选）下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是（   ） A．，，中的数平方 B．，，中的数开方 C．，，中的数取倒数 D．，，中的数取绝对值 【答案】AD 【解析】按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义． 3．（2025高一·全国·专题练习）设，，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①中，因为在集合M中当时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，对应元素，所以③不是；④中，当时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，给出下列四个对应关系：①；②；③；④．其中能构成从M到N的函数的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】只有是符合题意的对应关系． （二） 求函数的定义域 求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 注：求定义域时要将结果写成集合或区间形式. 题型2：求具体函数的定义域 5．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的定义域． (1)； (2)． 【答案】(1)且 (2)或 【解析】（1）由，得．所以定义域为． （2）由，得或， 所以定义域为． 6．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的定义域． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)且 (3)且 (4) 【解析】（1）函数的定义域为． （2）由于0的零次幂无意义，故，即．又，即， 所以函数的定义域为． （3）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，解得，且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则，即，解不等式组得． 因此函数的定义域为． 7．（2025高一·全国·课后作业）求下列函数的定义域． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数解析式有意义列不等式组求解即可. 【解析】（1）由题意，知，解得且且， ∴其定义域为． （2）由题意，知解得，∴其定义域为． （3）依题意，知，解得，且， ∴其定义域为． （4）由题意，知，解得，且，且， ∴其定义域为． 题型3：求抽象函数的定义域 8．（2025高一·江苏·课后作业）（1）已知函数f(x)的定义域为[2，3]，求函数f(2x-3)的定义域； （2）已知函数f(2x-3)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域． 【答案】（1）；（2）[-1，1]． 【分析】(1)根据复合函数的意义列出不等式组，求解即得； (2)根据复合函数的意义求出函数2x-3在区间[1，2]上的值域即可. 【解析】（1）因为函数f(x)的定义域为[2，3]，则在函数f(2x-3)中，有2≤2x-3≤3，解得， 所以函数f(2x-3)的定义域为； （2）因为函数f(2x-3)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，则2x∈[2，4]，2x-3∈[-1，1]， 所以f(x)的定义域为[-1，1]. 9．（2025高一·全国·单元测试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】定义域为的取值范围，结合同一对应法则下括号内范围相同，求出答案. 【解析】由题意得，故，故函数的定义域为. 故选：D 10．（2025高一·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义域求出的定义域，从而可求解. 【解析】因为函数的定义域是， 所以，所以,即的定义域为， 所以，解得，即的定义域是. 故选:C. 题型4：已知函数定义域求参数 11．（2025高三·河北·学业考试）函数的定义域为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】函数定义域满足，根据解集结合根与系数的关系解得答案. 【解析】的定义域满足：，解集为， 故且，解得. 故答案为： 12．（2025高一·河南南阳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式可得且，结合其定义域为，即可确定的取值范围，即得答案. 【解析】由可知且，又的定义域为， 故，否则 ，则 ，不合题意， 故选：A. 13．（2025高一·全国·课后作业）函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的形式，可知无解，讨论和两种情况，即可求解. 【解析】由题意得：无解，当时得3=0，无解； 当时，，解得：； 综上所述. 故选：B. （三） 已知自变量的值求函数值 函数求值的方法 ①求f(a)：已知f(x)时，只需用a替换f(x)中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 注：函数求值的关注点用来替换f(x)中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 题型5：已知自变量的值求函数值 14．（2025高一·全国·专题练习）设，． (1)求，，，； (2)求． 【答案】(1)，，， (2) 【解析】（1）因为，所以， ． 因为，所以． ． （2）． 15．（2025高一·全国·专题练习）设，，求，． 【答案】， 【解析】， ． 16．（2025高一·全国·专题练习）设，，若，求a的值. 【答案】或 【解析】由得，解得或 17．（2025高一·全国·专题练习）若，求，，，的值． 【答案】，，， 【解析】，， ，． （四） 区间的应用 用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 注：区间是数集的另一种表示方法，但并不是任何数集都能用区间表示，如集合{0},Z,Q等就不能用区间表示. 题型6：区间的应用 18．（2025高一·全国·专题练习）把下列数集用区间表示． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 19．（2025高一·全国·专题练习）用区间表示为 ． 【答案】 【分析】根据区间的定义及表示求解 【解析】，故答案为：[0，2)(2，+∞)。 【点睛】考查区间的概念 20．（2025高一·全国·专题练习）已知区间，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，得，则a的取值范围为． （五） 同一个函数的判定 判断两个函数为同一个函数的条件： (1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形． 题型7：判断两个函数为同一个函数 21．（2025高一·全国·课后作业）下列函数；；；与函数是同一函数的是 ． 【答案】 【分析】分别判断每个函数的定义域和对应关系是否和一致即可. 【解析】的定义域为， 定义域是，所以与函数不是同一函数； 定义域是，所以与函数不是同一函数； ，且定义域为，所以与函数是同一函数； ，所以与函数不是同一函数． 故答案为：. 22．（2025高一·全国·专题练习）下列各组函数： ①，； ②，； ③，； ④，； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数， 其中表示同一函数的是 （填序号）． 【答案】⑤ 【解析】①与的定义域不同，不是同一函数；②与的对应关系不同，不是同一函数；③，与的对应关系不同，不是同一函数；④与的定义域不同，不是同一函数；⑤与的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数． 23．（2025高一·全国·专题练习）试判断函数与函数是否为同一函数，并说明理由． 【答案】不是同一函数，理由见解析 【解析】不相同．对于函数，由，解得，故定义域为；对于函数，由解得或，故定义域为，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数． 24．（2025高一·江苏·课后作业）判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由： （1），；    （2），，； （3），；        （4），. 【答案】答案见解析. 【分析】根据函数的三要素：定义域，对应关系，值域是否相同来判断即可. 【解析】（1）函数的定义域为R，的定义域为， 所以两者不是同一个函数. （2）函数的定义域为R，，的定义域为，定义域不同，所以两者不是同一个函数. （3）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数. （4）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数. 25．（2025高一·全国·专题练习）下列各组函数是同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】k根据函数的定义域和解析式是否一致，判断同一个函数 【解析】A：定义域为R，，定义域为，定义域不同。 B：定义域为，定义域为，定义域不同. C：定义域为R，定义域为，定义域不同. ：，且，两函数定义域相同，解析式也一样。故选D． 【点睛】考查同一个函数的判定方法 26．（2025高一·全国·专题练习）下列各组函数是同一函数的是 （填序号）． ①与； ②与； ③与． 【答案】②③ 【解析】①，，对应关系不同，故与不是同一函数；②，，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；③与，对应关系和定义域均相同，故是同一函数． （六） 求函数的值域 求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法． ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法． ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． 题型8：求函数的值域 27．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域． (1)； (2)，； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）（直接法），，的值域为． （2）（观察法），把x代入得，6，3，2，的值域为． （3）（分离常数法），显然，所以，故函数的值域为． （4）（换元法）设，则，且，所以，由，结合函数的图象可得原函数的值域为． 28．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)，且 (4) 【解析】（1），，即函数的值域为． （2），因为，由函数图象可知． （3）（分离常数法）， 且定义域为，，即． 函数的值域为． （4）（换元法）令，则， 则， 结合图象可得函数的值域为． 29．（2025高一·江苏·假期作业）函数，的值域为 ，函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数的解析式及定义域直接求解. 【解析】∵，，，∴函数的值域为． ∵，∴，∴函数的值域为. 故答案为：，. 30．（2025高一·北京顺义·期中）二次函数，，则函数在此区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【解析】解：， 则， 所以函数在此区间上的值域为. 故选：A. 31．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 【答案】 【分析】采用分离常数的方式可直接求得结果. 【解析】， ，，， 即的值域为. 故答案为：. 32．（2025高一·山西·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解. 【解析】设，则，且， 则函数可化为， 所以函数的值域为. 故选：A. 33．（2025高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【解析】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 34．（2025高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3)且 (4) 【分析】（1）由，进而求得函数的值域； （2）根据二次函数的图象与性质，结合函数的单调性，求得函数的最值，即可求解； （3）化简函数，结合反比例函数的性质，即可求解； （4）令，则，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【解析】（1）解：因为，所以，所以函数的值域为. （2）解：由，可得其对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 又由当时，；当时，，所以函数的最大值为， 所以函数在区间上的值域为. （3）解：由函数，可得其定义域为， 则，即，所以函数的值域为且. （4）解：令，则， 则， 根据二次函数的性质，可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，，所以函数的值域为. 35．（2025高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)，； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)． 【分析】（1）可由观察法求解；（2）函数是二次函数，可采用配方法结合图像求解；（3）函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，由求解；（4）利用变量的代换，即换元法求值域；（5）通过变形，利用基本不等式求最值；（6）通过变形，利用基本不等式求最值；（7）通过变形利用判别式法求解． 【解析】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为． （2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．      （3）（分离常数法）  ，因为，所以，所以故函数的值域为． （4）（换元法）  设，则，且， 所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．    （5）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 故函数的值域为． （6）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故函数的值域为． （7）由知， 整理得． 当时，方程无解；当时，，即． 故所求函数的值域为． 【点睛】方法点睛：本题主要考查求函数得值域，常见的方法有： （1）观察法，对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； （2）配方法，函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； （3）分离常数法，反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； （4）换元法，通过对函数解析式进行适当换元，将复杂的函数化为几个简单的函数，从而求值域； （5）通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； （6）通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 题型9：函数值域的应用 36．（2025高一·山西·期中）（多选）已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域， 【解析】令，解得， 令，解得， 根据的图象关于轴对称的性质， 可得的定义域可能为，或，故B、C、D正确. 故选：BCD. 37．（2025高一·辽宁朝阳·期中）已知函数的值域是，则它的定义域可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，由二次函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【解析】令，解得；令，解得； 由二次函数的图像与性质可得，若要使函数的值域是， 则它的定义域是可能是． 故答案为：（答案不唯一）． 38．（2025高二·黑龙江·期末）已知函数的定义域与值域都为，则实数的值为 【答案】 【分析】利用二次函数的定义域即为满足条件的解集，即可判断开口方向和二次函数的零点，从而得到参数的两个关系式，再利用值域中的最大值，即为二次函数的最大值开方，则再得到一个相等关系，从而利用消元法，即可解得参数. 【解析】由于的值域为，所以， 的定义域为，则方程的两根为， 所以， 则抛物线的对称轴为 ， 故答案为：. 39．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，求实数m，n的值． 【答案】，或， 【分析】将函数的值域问题转化为一元二次方程有解问题进行求解即可. 【解析】由可得，，即， 此方程一定有解，则，即， 因为函数的值域是， 所以不等式的解集为， 所以和是方程的两根， 所以，解得或. 40．（2025高二·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 【答案】5 【分析】由题意得，解方程组可得的值. 【解析】函数的对称轴方程为， 所以函数在上为减函数， 又函数在上的值域也为， 则，即， 由①得：，代入②得：，解得：（舍），． 把代入得：． 故答案为：5． 41．（2025高一·河南驻马店·期末）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数在定义域上递减，且值域为，可得，根据二次函数的性质可得答案. 【解析】因为函数在定义域上递减，且值域为， 所以 ，即 ，即 ， 所以 ， 所以，设，则， 由可得， 在上递增，所以， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 一、单选题 1．（2025高一·广东佛山·期中）某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（    ） A．y是x的函数 B．w是y的函数 C．w是z的函数 D．w是x的函数 【答案】B 【分析】根据函数的定义，结合题意，可得答案. 【解析】对于AD，由于同学姓名非数字，故AD错误； 对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确； 对于C，假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，故C错误； 故选：B. 2．（2025高一·内蒙古赤峰·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先配方，求出函数的单调区间，即可求出值域. 【解析】令，配方得, ∴函数在上单调递减，在单调递增， 又，∴，， 故函数的值域是， 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的值域，属于基础题. 3．（2025高三·重庆·阶段练习）已知函数，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据函数解析式求得正确答案. 【解析】由得， 依题意，， 令得. 故选：D 4．（2025高一·广西桂林·期中）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】运用配方法求出函数的最小值，结合二次函数的单调性、函数的定义域和值域进行求解即可. 【解析】， 当时，；当或时，. 因此当时，函数在区间上的最小值为， 最大值为，所以，实数的取值范围是. 故选：D 5．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数最值性质进行求解即可． 【解析】解：设，则，则， 则函数等价为， 对称轴为， 则当时，函数取得最大值， 即，即函数的值域为，， 故选：． 6．（2006·陕西）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题首先可令，然后将函数转化为，最后利用反比例函数性质得出当时函数的值域，即可得出结果. 【解析】令，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时函数的值域为， 则函数值域为， 故选：B. 【点睛】本题考查函数值域的求法，考查通过换元法求函数值域，考查反比例函数的性质，考查推理能力，是简单题. 7．（2025·安徽）下列函数中，不满足：的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析：A中，B中，C中，D中 考点：函数关系判断 8．（2025高一·河北石家庄·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的定义域为，求出的定义域，结合分式的分母不为0求解. 【解析】因为函数的定义域为， 所以， 解得， 又由知，， 所以函数的定义域为， 故选：D 9．（2025高一·全国·课后作业）下列函数与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数满足函数三要素相同，逐个计算判定即可． 【解析】对于A 选项，函数，但定义域满足.而的定义域为.因为定义域不同，所以A选项不是同一个函数. 对于B 选项，函数.而，因为对应关系不同，所以B选项不是同一个函数. 对于C 选项,函数.而，因为对应关系不同，所以C选项不是同一个函数. 对于D 选项，函数，定义域为.与的定义域相同，对应关系也相同，所以D选项是同一个函数. 故选：D. 10．（2025高一·全国·课后作业）函数 的定义域是（    ） A．或 B．或   C．或 D． 或 【答案】B 【分析】根据偶次根式函数有意义列不等式求解定义域. 【解析】由题意，可得，即， 即， 解得或. 故选：B． 二、多选题 11．（2025高一·全国·单元测试）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C．+ D． 【答案】AC 【分析】要使函数有意义，要牢记分母不为零，底数不为零，偶次方根被开方数大于等于零. 【解析】A选项，依题可知，且，所以，故A正确； B选项，依题可知，所以，故B错误； C选项，依题可知，且，所以，故C正确； D选项，依题可知2，所以，故D错误， 故选：AC. 12．（2025高一·浙江绍兴·阶段练习）已知函数，则在下列实数中，函数值y可以取值的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】求出函数的定义域，讨论或，利用基本不等式即可求解. 【解析】，定义域为， 当时，， 当且仅当时，即取等号，可得A、C正确； 当，则，，所以， 所以， 当且仅当时，即取等号，所以D正确， 故选：ACD． 13．（2025高一·全国·课后作业）托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】函数概念：设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数.根据函数的概念可确定选项. 【解析】A.当时，，在集合没有对应值，不符合函数概念. B.当时，，在集合没有对应值，不符合函数概念. C.对于，按照对应关系，在集合中有唯一确定的和它对应，符合函数概念. D.对于，按照对应关系，在集合中有唯一确定的和它对应，符合函数概念. 故选：CD． 14．（2025高一·全国·课后作业）(多选)已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据二次函数的性质确定函数定义域形式，再结合给定值域求解作答. 【解析】由，得，即，得 由，得，即或 故定义域内必须含有1，0与2至少含有一个，且定义域一定是的子集. 设定义域为若，则，则A成立； 若，则，则B，C成立. D不可能为定义域. 故选：ABC. 三、填空题 15．（2025高三·辽宁辽阳·期末）已知函数的值域是，则 ． 【答案】 【分析】配方后，结合二次函数的值域，列出方程，求出答案. 【解析】， 故，解得． 故答案为： 16．（2025高一·全国·课后作业）在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据定义的新运算，求出函数的表达式，进而求函数的值域. 【解析】由题意知， 即， 所以, 所以，且， 所以． 故答案为：. 17．（2025高一·重庆沙坪坝·期末）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如，，当时，函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用高斯函数的定义，分段求出函数取值集合，再求并集作答. 【解析】依题意，当时，，则，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以当时，函数的值域为. 故答案为： 18．（2025高一·吉林松原·阶段练习）已知集合，的定义域为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先利用具体函数的定义域求得集合，再利用数轴法即可得解. 【解析】因为，所以，得， 所以， 因为，所以，解得，即. 故答案为：. 19．（2025高一·全国·专题练习）已知函数＝x2－mx＋n，且＝－1，＝m，则＝ ，＝ ． 【答案】 －1； x4－2x3－2x2＋3x＋1. 【分析】由已知条件列方程组求参数m、n，进而写出的解析式，再求即可求，同理求. 【解析】由题意知：，解得， ∴＝x2－x－1，故＝1，则＝－1， 由上，＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1. 故答案为：－1，x4－2x3－2x2＋3x＋1. 20．（2025高一·天津·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围，可得解. 【解析】的定义域为是使在实数集上恒成立. 若时,要使恒成立,则有 且,即,解得. 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以 综上,即实数a的取值范围是. 故填: . 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题,将恒成立转化为不等式恒成立,然后利用一元二次不等式的知识求解是解决本题的关键,同时要注意对二次项系数进行讨论，属于基础题. 21．（2025高一·全国·课后作业）已知满足，且，，那么 . 【答案】 【分析】根据题目条件得到，代入数据得到答案. 【解析】 . 故答案为 【点睛】本题考查了函数值的计算，化简得到是解题的关键. 四、解答题 22．（2025高一·全国·课后作业）求函数的定义域，并用区间表示. 【答案】函数的定义域为，用区间表示为. 【分析】根据所给解析式列出不等式组，要求分母不为0，被开方数大于等于0. 【解析】要使函数有意义，则，解得， 即且， 函数的定义域为且.， 用区间表示为. 【点睛】本题考查给定函数求定义域，此类题型要求满足函数各部分有意义，一般有以下几种情况：（1）整式的定义域为；（2）分式的分母不为0；（3）偶次根式的被开方数大于等于0；（4）若，则；（5）对数的真数大于0. 23．（2025高一·全国·课后作业）已知函数，是否存在实数，使得函数的定义域和值域都是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在实数满足条件 【分析】根据二次函数的性质，明确其单调性，建立方程组，可得答案. 【解析】存在．理由如下： 的对称轴为，顶点且开口向上． ，当时，随的增大而增大， ∴要使的定义域和值域都是，则有， ，即，或（舍）， ∴存在实数满足条件． 24．（2025高一·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求，的值． 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据题意知且，由此可求其定义域； （2）直接将代入解析式求值即可. 【解析】（1）根据题意知且， 且，即函数的定义域为. （2）. . 25．（2025高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，值域为，求m，n的值． 【答案】 【解析】可将整理为,因为,由,则,即,由一元二次方程、二次函数、一元二次不等式（即“三个二次”）之间的关系,则关于y的一元二次方程的两根为1和9,利用韦达定理求解；同时,时也成立 【解析】解：去分母,并整理成关于x的一元二次方程的形式, 由,得, 根据一元二次方程有实数根的条件列式, 由,得若,则, 即, 根据一元二次方程、二次函数、一元二次不等式（即“三个二次”）之间的关系, 由知,关于y的一元二次方程的两根为1和9, 故有,解得 当时,也符合题意, ∴ 【点睛】本题考查已知函数定义域、值域求参数问题,考查二次函数,一元二次方程,一元二次不等式的关系的应用 26．（2025高一·内蒙古通辽·期中）已知函数，. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）1；（2）． 【分析】(1)直接将a和 代入解析式进行化简求和即可；（2）根据第一问可得到，故，又因为即可得到结果. 【解析】（1）由于， 所以． （2）方法一：因为，，， 所以． 方法二：由（1）知， 从而， 故． 而， 所以． 【点睛】这个题目给我们的启迪是：注意从特殊到一般的应用，（1）此类求值问题，一般要求的式子较多，不便逐个求解.求解时，注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律,进而去化简，从而得到问题的解决方法;（2）已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解;（3）已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值)，只需将函数值代入解析式，建立关于自变量(或参数)的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制． 27．（2025高一·全国·课后作业）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域． 【答案】（1）；（2） ． 【分析】根据抽象函数定义域的整体性代换求解即可. 【解析】（1）因为函数中的相当于函数中的， 所以，所以， 所以所以 的定义域为 （2）因为 的定义域为， 即，所以， 所以的定义域为 即所以， 所以的定义域为． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.1.1 函数的概念9题型分类 一、函数的概念 (1)函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 函数值 与x的值相对应的y值 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集 (2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 二、区间的概念 (1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b). (2)区间的几何表示 在用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点． 区间 数轴表示 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] (3)含“∞”的区间的几何表示 区间 数轴表示 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则． (2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号． 三、同一个函数的判定 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． 四、常见函数的值域 (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为，当a<0时，值域为. （一） 函数关系的判断 1、判断一个对应关系是否是函数的两个条件 (1)A，B必须是非空数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与其对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2、根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数，如图所示： 题型1：函数关系的判断 1．（2025高一·全国·随堂练习）下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系； (2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系； (3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系； (4)某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系； (5)往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间的关系； (6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间的关系． 2．（2025高一·全国·专题练习）（多选）下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是（   ） A．，，中的数平方 B．，，中的数开方 C．，，中的数取倒数 D．，，中的数取绝对值 3．（2025高一·全国·专题练习）设，，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，给出下列四个对应关系：①；②；③；④．其中能构成从M到N的函数的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ （二） 求函数的定义域 求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 注：求定义域时要将结果写成集合或区间形式. 题型2：求具体函数的定义域 5．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的定义域． (1)； (2)． 6．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的定义域． (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（2025高一·全国·课后作业）求下列函数的定义域． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3：求抽象函数的定义域 8．（2025高一·江苏·课后作业）（1）已知函数f(x)的定义域为[2，3]，求函数f(2x-3)的定义域； （2）已知函数f(2x-3)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域． 9．（2025高一·全国·单元测试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型4：已知函数定义域求参数 11．（2025高三·河北·学业考试）函数的定义域为，则实数的值为 ． 12．（2025高一·河南南阳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·全国·课后作业）函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （三） 已知自变量的值求函数值 函数求值的方法 ①求f(a)：已知f(x)时，只需用a替换f(x)中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 注：函数求值的关注点用来替换f(x)中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 题型5：已知自变量的值求函数值 14．（2025高一·全国·专题练习）设，． (1)求，，，； (2)求． 15．（2025高一·全国·专题练习）设，，求，． 16．（2025高一·全国·专题练习）设，，若，求a的值. 17．（2025高一·全国·专题练习）若，求，，，的值． （四） 区间的应用 用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 注：区间是数集的另一种表示方法，但并不是任何数集都能用区间表示，如集合{0},Z,Q等就不能用区间表示. 题型6：区间的应用 18．（2025高一·全国·专题练习）把下列数集用区间表示． (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（2025高一·全国·专题练习）用区间表示为 ． 20．（2025高一·全国·专题练习）已知区间，则a的取值范围是 ． （五） 同一个函数的判定 判断两个函数为同一个函数的条件： (1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形． 题型7：判断两个函数为同一个函数 21．（2025高一·全国·课后作业）下列函数；；；与函数是同一函数的是 ． 22．（2025高一·全国·专题练习）下列各组函数： ①，； ②，； ③，； ④，； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数， 其中表示同一函数的是 （填序号）． 23．（2025高一·全国·专题练习）试判断函数与函数是否为同一函数，并说明理由． 24．（2025高一·江苏·课后作业）判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由： （1），；    （2），，； （3），；        （4），. 25．（2025高一·全国·专题练习）下列各组函数是同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 26．（2025高一·全国·专题练习）下列各组函数是同一函数的是 （填序号）． ①与； ②与； ③与． （六） 求函数的值域 求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法． ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法． ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． 题型8：求函数的值域 27．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域． (1)； (2)，； (3)； (4)． 28．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)． 29．（2025高一·江苏·假期作业）函数，的值域为 ，函数，的值域为 ． 30．（2025高一·北京顺义·期中）二次函数，，则函数在此区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 31．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 32．（2025高一·山西·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 33．（2025高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 34．（2025高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4). 35．（2025高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)，； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 题型9：函数值域的应用 36．（2025高一·山西·期中）（多选）已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 37．（2025高一·辽宁朝阳·期中）已知函数的值域是，则它的定义域可能是 ． 38．（2025高二·黑龙江·期末）已知函数的定义域与值域都为，则实数的值为 39．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，求实数m，n的值． 40．（2025高二·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 41．（2025高一·河南驻马店·期末）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 一、单选题 1．（2025高一·广东佛山·期中）某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（    ） A．y是x的函数 B．w是y的函数 C．w是z的函数 D．w是x的函数 2．（2025高一·内蒙古赤峰·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·重庆·阶段练习）已知函数，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 4．（2025高一·广西桂林·期中）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（2006·陕西）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽）下列函数中，不满足：的是 A． B． C． D． 8．（2025高一·河北石家庄·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·全国·课后作业）下列函数与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一·全国·课后作业）函数 的定义域是（    ） A．或 B．或   C．或 D． 或 二、多选题 11．（2025高一·全国·单元测试）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C．+ D． 12．（2025高一·浙江绍兴·阶段练习）已知函数，则在下列实数中，函数值y可以取值的有（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·全国·课后作业）托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025高一·全国·课后作业）(多选)已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（2025高三·辽宁辽阳·期末）已知函数的值域是，则 ． 16．（2025高一·全国·课后作业）在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为 ． 17．（2025高一·重庆沙坪坝·期末）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如，，当时，函数的值域为 . 18．（2025高一·吉林松原·阶段练习）已知集合，的定义域为，若，则实数的取值范围是 ． 19．（2025高一·全国·专题练习）已知函数＝x2－mx＋n，且＝－1，＝m，则＝ ，＝ ． 20．（2025高一·天津·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围 ． 21．（2025高一·全国·课后作业）已知满足，且，，那么 . 四、解答题 22．（2025高一·全国·课后作业）求函数的定义域，并用区间表示. 23．（2025高一·全国·课后作业）已知函数，是否存在实数，使得函数的定义域和值域都是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 24．（2025高一·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求，的值． 25．（2025高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，值域为，求m，n的值． 26．（2025高一·内蒙古通辽·期中）已知函数，. （1）求的值； （2）求的值． 27．（2025高一·全国·课后作业）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $