1.3 课时2 空间向量运算的坐标表示 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量运算的坐标表示，通过复习平面向量坐标运算，引导学生类比猜想空间向量运算规则，构建从二维到三维的知识迁移支架，衔接前后知识点。 以问题链驱动探究，设置自主预习、合作探究、随堂检测分层任务，通过类比迁移培养数学抽象，结合高考真题强化数学运算，引导学生用数学思维推理空间关系，提升逻辑推理与数学表达能力，适合自主学习与课堂互动。

1.3 课时2 空间向量运算的坐标表示 【学习目标】 1.掌握空间向量运算的坐标表示.(数学运算) 2.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.(数学抽象、数学运算) 3.掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式,能运用公式解决问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.前面我们已经学习了平面向量的加减、数乘和数量积运算,那么我们是如何对平面向量进行坐标运算的呢? 2.你能否类比平面向量运算的坐标表示给出空间向量运算的坐标表示的猜想? 3.空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一样吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)即使建立的坐标系不同,同一向量的坐标仍相同. (　　) (2)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则==. (　　) (3)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0. (　　) (4)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||==. (　　) 2.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(　　). A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6) C.a·b=10 D.|a|=6 3.(人教A版选择性必修第一册P22练习T1改编)已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则下列计算错误的是(　　). A.a+b=(-2,7,4) B.4a=(-12,8,20) C.3a-b=(-10,1,16) D.a·b=-2 4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,c),且|a+b|=. (1)求c的值; (2)若ka+b与2a-b互相垂直,求实数k的值. 【合作探究】 探究1　空间向量运算的坐标表示 问题1:通过前面对平面向量坐标运算的复习,类比得出空间向量数量积的坐标运算表达式. 问题2:平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别? 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),空间向量的坐标运算法则如下表所示: 运算 坐标表示 加法 a+b=　　　　 减法 a-b=　　　　 数乘 λa=　　　　 数量积 a·b=　　　　 空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的,因此,一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 例1　(1)已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b). (2)已知O是坐标原点,且A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),若=(-),求点P的坐标. 【方法总结】关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题,首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标问题,首先把向量用坐标形式表示出来,然后建立方程(组),解方程(组)求出其坐标. 已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=(　　). A.-1 B.1 C.0 D.-2 已知△ABC中,A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5),求顶点B,C的坐标及. 探究2　空间向量的平行、垂直 问题1:如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直?这个结论对于空间向量还成立吗? 问题2:设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),当b≠0时,a∥b的充要条件能否表示为==? 空间向量的平行与垂直的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量) 例2　(1)(2023年新高考全国Ⅰ卷节选)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.证明:B2C2∥A2D2. (2)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形,平面PAB⊥平面ABCD.证明:平面PAD⊥平面PBC. 【方法总结】利用空间向量证明面面垂直的方法 利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题,再通过空间向量的坐标运算得出结论. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点. (1)求证:A1E⊥BD. (2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定点E的位置. 探究3　夹角与距离 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点. 问题1:向量的坐标是多少?如何求P1P2? 问题2:如何求∠P1OP2的余弦值? 向量的模、夹角与两点间的距离公式 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 模 |a|== 夹角公式 cos<a,b>== 两点间的 距离公式 若点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||== 例3　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点. (1)求BN的长; (2)求A1B与B1C所成角的余弦值; (3)求证:BN⊥平面C1MN. 【方法总结】利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤 (1)建系:根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.(2)求坐标:①求出相关点的坐标;②写出相关向量的坐标.(3)论证、计算:结合公式进行论证、计算.(4)转化:转化为求夹角或距离的问题. 已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)若点D在直线AC上,且⊥,求点D的坐标; (2)求以BA,BC为邻边的平行四边形的面积. 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,以,,为单位正交基底,建立空间直角坐标系. (1)写出正方体ABCD-A1B1C1D1各顶点的坐标. (2)证明:CF∥DE. (3)求向量在向量上的投影向量的坐标. 【随堂检测】 1.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离为(　　). A. B. C. D. 2.已知向量a=(x,1,2),b=(1,2,-y),且(2a+b)∥(-a+2b),则(　　). A.x=,y=1 B.x=,y=-4 C.x=2,y=- D.x=1,y=-1 3.已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则 (1)a·(b+c)=　　　　;  (2)(a+2b)·(a-2b)=　　　　.  4.如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,PD=DC=1,且PB⊥AM. (1)证明:平面PAM⊥平面PBD. (2)求DA的长. 参考答案 课时2　空间向量运算的坐标表示 自主预习·悟新知 预学忆思 1.设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a+b=(a1+b1,a2+b2),a-b=(a1-b1,a2-b2),λa=(λa1,λa2)(λ∈R),a·b=a1b1+a2b2. 2. 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3); (2)a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); (3)λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R); (4)a·b=a1b1+a2b2+a3b3. 3.空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.D　【解析】由已知得a+b=(10,-5,-2),所以A错误;a-b=(-2,1,-6),所以B错误;a·b=24+6-8=22,所以C错误;|a|==6,所以D正确. 3.D　【解析】因为a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),所以a+b=(-2,7,4),A正确; 4a=(-12,8,20),B正确; 3a-b=(-9,6,15)-(1,5,-1)=(-10,1,16),C正确; a·b=-3+10-5=2,D错误. 4.【解析】(1)a+b=(1,1,0)+(-1,0,c)=(0,1,c), 所以|a+b|==,解得c=±2. (2)当c=2时, ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), 2a-b=(2,2,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2), 因为ka+b与2a-b互相垂直, 所以3(k-1)+2k-22=0,解得k=; 当c=-2时, ka+b=(k,k,0)+(-1,0,-2)=(k-1,k,-2), 2a-b=(2,2,0)-(-1,0,-2)=(3,2,2), 因为ka+b与2a-b互相垂直, 所以3(k-1)+2k-22=0,解得k=. 综上,k=. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1:设{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k, 所以a·b=(a1i+a2j+a3k)·(b1i+b2j+b3k), 利用向量数量积的分配律以及i·i=j·j=k·k=1,i·j=j·k=k·i=0, 得到a·b=a1b1+a2b2+a3b3. 问题2:平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算、数乘运算、数量积运算,其算法是相同的,但空间向量要比平面向量多一个竖坐标,竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的. 新知生成 (a1+b1,a2+b2,a3+b3)　(a1-b1,a2-b2,a3-b3)　(λa1,λa2,λa3),λ∈R　a1b1+a2b2+a3b3 新知运用 例1　【解析】(1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2); a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6); a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7; (2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14; (a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8. (2)由题意知,=(2,6,-3),=(-4,3,1). 设P(x,y,z),则=(x-2,y+1,z-2). 因为=(-)=3,,-2, 所以解得 则点P的坐标为5,,0. 巩固训练1　A　【解析】因为p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),所以p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1,故选A. 巩固训练2　【解析】设B(x,y,z),C(x1,y1,z1),则=(x-2,y+5,z-3),=(x1-x,y1-y,z1-z). 因为=(4,1,2),所以解得 所以点B的坐标为(6,-4,5). 因为=(3,-2,5), 所以解得 所以点C的坐标为(9,-6,10),则=(-7,1,-7). 探究2　情境设置 问题1:设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),当b≠0时,a∥b的充要条件是a=λb(λ∈R),即a1b2-a2b1=0.a⊥b的充要条件是a·b=a1b1+a2b2=0(a≠0,b≠0). 上述充要条件在空间中仍成立,设空间向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),当b≠0时,a∥b的充要条件是a=λb,λ∈R,可以用坐标表示为(a1,a2,a3)=λ(b1,b2,b3), 得到(λ∈R),这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示. a⊥b的充要条件是a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量). 问题2:空间向量平行的充要条件不等价于==,因为b≠0的含义是b的坐标分量b1,b2,b3至少有一个不为零,而非每一个坐标分量都不为零.例如,当b与坐标平面Oxy平行时,b3=0,此时无意义. 因此只有当b与三个坐标平面均不平行,即b1,b2,b3均不为零时才能有a∥b⇔==.特殊地,当b=0时,b=(0,0,0),此时b与任意向量都平行. 新知运用 例2　【解析】(1)以C为坐标原点,CD,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1), 所以=(0,-2,1),=(0,-2,1),所以=,所以∥, 又B2C2,A2D2不在同一条直线上,所以B2C2∥A2D2. (2)取AB的中点O,CD的中点M,连接OM,则OM⊥AB. 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以OM⊥平面PAB. 又PA=PB,所以PO⊥AB. 以O为原点,OP,OB,OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 设AP=a(a>0),AD=b(b>0),则A(0,-a,0),B(0,a,0),P(a,0,0),C(0,a,b), 所以=(a,a,0),=(0,0,b),=(a,-a,0). 因为所以AP⊥BP,AP⊥BC. 又BP,BC⊂平面PBC,BP∩BC=B, 所以AP⊥平面PBC, 又AP⊂平面PAD, 所以平面PAD⊥平面PBC. 巩固训练　【解析】如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,连接AC,交BD于点O,连接A1O. 设正方体的棱长为1,E(0,1,m)(0≤m≤1),则B(1,1,0),A1(1,0,1),D(0,0,0),O,,0. (1)=(-1,1,m-1),=(-1,-1,0), 因为·=0,所以A1E⊥BD. (2)因为△A1DB是等边三角形,O为BD的中点,所以A1O⊥BD. 又平面A1BD∩平面EBD=BD,且平面A1BD⊥平面EBD,所以A1O⊥平面EBD,所以·=0. 又=,-,1,=(-1,0,m), 所以·=-+m=0,解得m=. 故当E为CC1的中点时,平面A1BD⊥平面EBD. 探究3　情境设置 问题1:=-=(x2-x1,y2-y1,z2-z1), 于是||= =, 所以P1P2=|| =. 问题2:利用公式cos∠P1OP2==计算. 新知运用 例3　【解析】(1)如图所示,建立空间直角坐标系Cxyz. 依题意得B(0,1,0),N(1,0,1), ∴||= =, ∴线段BN的长为. (2)依题意得A1(1,0,2),B1(0,1,2),C(0,0,0), ∴=(-1,1,-2),=(0,-1,-2), ∴·=-1×0+1×(-1)+(-2)×(-2)=3. 又||=,||=, ∴cos<,>==. 故A1B与B1C所成角的余弦值为. (3)依题意得,C1(0,0,2),M,,2, ∴=,,0,=(1,0,-1),=(1,-1,1), ∴·=×1+×(-1)+0×1=0, ·=1×1+0×(-1)+(-1)×1=0, ∴⊥,⊥,∴BN⊥C1M,BN⊥C1N. 又C1M∩C1N=C1,C1M,C1N⊂平面C1MN, ∴BN⊥平面C1MN. 巩固训练1　【解析】(1)由题意得=(1,-3,2),点D在直线AC上. 设=λ=λ(1,-3,2)=(λ,-3λ,2λ),λ∈R,O为坐标原点, 则-=(λ,-3λ,2λ),=+(λ,-3λ,2λ)=(λ,2-3λ,3+2λ), =-=(λ,2-3λ,3+2λ)-(-2,1,6)=(λ+2,1-3λ,2λ-3), ·=(1,-3,2)·(λ+2,1-3λ,2λ-3)=λ+2-3+9λ+4λ-6=14λ-7=0, ∴λ=,=,,4,∴D,,4. (2)∵=(2,1,-3),=(3,-2,-1), ∴||==,||==, ∴·=2×3+1×(-2)+(-3)×(-1)=7, ∴cos B=cos<,>===,∴sin B=, 则S=||||sin B=××=7, ∴以BA,BC为邻边的平行四边形的面积为7. 巩固训练2　【解析】(1)由题可知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2). (2)因为E,F分别为AA1,BB1的中点,所以E(2,0,1),F(2,2,1), 所以=(2,0,1),=(2,0,1),所以=. 又DE,CF不在同一条直线上,所以DE∥CF. (3)易知向量=(-2,2,-2),=(-2,2,0), 向量在向量上的投影向量为||·cos<,>·=·=·==(-2,2,0), 所以向量在向量上的投影向量的坐标为(-2,2,0). 随堂检测·精评价 1.C　【解析】∵AB的中点为M2,,3, ∴=2,,3, ∴|CM|=||==. 2.B　【解析】2a+b=(2x+1,4,4-y),-a+2b=(2-x,3,-2y-2), ∵(2a+b)∥(-a+2b), ∴存在非零实数λ,使得2a+b=λ(-a+2b), ∴∴ 3.(1)9　(2)-38　【解析】(1)b+c=(2,0,5), a·(b+c)=(2,-3,1)·(2,0,5)=9. (2)|a|=,|b|=, (a+2b)·(a-2b)=|a|2-4|b|2=-38. 4.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 设DA=t(t>0),则D(0,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),A(t,0,0),B(t,1,0),M,1,0,所以=,=(t,1,-1),=(0,0,-1). 因为·=0,所以AM⊥PD,又PB⊥AM,PB∩PD=P,PB,PD⊂平面PBD, 所以AM⊥平面PBD,而AM⊂平面PAM, 所以平面PAM⊥平面PBD. (2)由(1)知=(t,1,-1),=, 因为PB⊥AM,所以·=t·+1×1+(-1)×0=-+1=0,所以t=,即DA=. 学科网（北京）股份有限公司 $