1.3 课时1 空间直角坐标系 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3 课时1 空间直角坐标系 【学习目标】 1.了解空间直角坐标系.(直观想象) 2.理解空间直角坐标系的知识形成过程和原理,会用空间直角坐标系刻画点的位置,掌握空间向量的坐标表示.(直观想象、数学运算) 3.学会用空间直角坐标系解决数学问题和实际问题,并体会类比和归纳的数学思想.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.观察图片,教室里的灯是看成一个点还是一个向量呢? 2.我们学习了哪些表示点的方法?你能例举这些方法在生活中的应用吗? 3.预习教材P16~18的所有内容,并回答下列问题: (1)空间中点的位置要如何表示呢? (2)空间直角坐标系有什么特征? (3)什么是右手直角坐标系? (4)平面直角坐标系包含哪些要素?类比到空间直角坐标系,它们需要满足什么条件?请填写下列表格. 坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系 (5)利用单位正交基底的概念,我们可以对平面直角坐标系作如下理解(左边表格内容).类比到空间,你能否给出空间直角坐标系的定义呢?请填写下列表格. 平面直角坐标系 空间直角坐标系 在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i,j} 以O为原点,分别以i,j的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立两条数轴:x轴、y轴 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c)的形式. (　　) (2)空间直角坐标系中,在Oxz平面内的点的坐标一定是(a,0,c)的形式. (　　) (3)空间直角坐标系中,点(1,,2)关于Oyz平面的对称点为(-1,,2). (　　) (4)空间向量a=(1,1,1)为单位向量. (　　) 2.下列点在x轴上的是(　　). A.(0.1,0.2,0.3) B.(0,0,0.001) C.(5,0,0) D.(0,0.01,0) 3.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(　　). A.y轴上 B.Oxy平面上 C.Oxz平面上 D.第一象限内 4.(人教A版选择性必修第一册P18例1改编)如图,在长方体OABC-O'A'B'C'中,OA=6,OC=8,OO'=6,以,,为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1)写出点B'的坐标; (2)求的坐标. 【合作探究】 探究1　空间直角坐标系 问题1:在给定的空间直角坐标系中,空间中的任意一点是否与有序实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系? 问题2:平面直角坐标系是怎么画的?空间直角坐标系又如何画呢?回忆学习立体几何时用到的斜二测画法,先讨论,再找学生代表板演讲解. 1.空间直角坐标系的定义:在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫作　　　　.这时我们就建立了一个空间直角坐标系,O叫作原点,都叫作坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为　　　　平面,　　　　平面,　　　　平面,它们把空间分成八个部分.  2.画法:画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=　　　　,∠yOz=　　　　.  3.右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让指向x轴的正方向,指向y轴的正方向,若中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.  4.空间中点的坐标表示:在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=.在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的,叫作点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫作点A的坐标,y叫作点A的坐标,z叫作点A的坐标.  例1　在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在线段BC1上,且BM=2MC1,N是线段D1M的中点,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,求点M,N的坐标. 【方法总结】由几何直观可知,确定空间中一个点的坐标,我们需要先找出该点在各个坐标轴上的射影,再根据空间向量基本定理,得到点的坐标.可以总结如下步骤: (1)过空间点分别作x轴、y轴和z轴的垂线; (2)确定空间点在坐标轴上的射影的坐标; (3)得到空间点的坐标. 如图,在长方体OABC-D'A'B'C'中,OA=5,OC=4,OD'=3,以,,为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.分别写出D',C,A',B'四点的坐标. 探究2　空间向量的坐标 问题1:空间中任意一点A与哪个向量的坐标相同? 问题2:在空间直角坐标系中,如何定义点A的坐标呢? 问题3:对于给定的向量a,又该如何定义它的坐标呢? 问题4:(x,y,z)的意义是什么? 在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=.有序实数组叫作a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记为　　　　.  例2　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点,试建立恰当的坐标系,求: (1)点B,C1,B1,M,N的坐标; (2)向量,,的坐标. 【方法总结】求空间点、向量的坐标的一般步骤 (1)建系:根据图形特征建立空间直角坐标系. (2)运算:分别找出点在x轴、y轴、z轴上的射影的坐标,综合利用向量的加减及数乘运算表示向量. (3)定结果:根据射影坐标写出点的坐标,将所求向量用已知的基底向量表示出来,确定坐标. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出各顶点的坐标; (2)写出向量,,的坐标. 探究3　空间中点的对称问题 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在中国,剪纸具有广泛的群众基础,交融于各族人民的社会生活,是各种民俗活动的重要组成部分.小明的奶奶是当地的剪纸高手,如图,这是她的剪纸作品. 问题1:这个剪纸图有什么特点? 问题2:点A(1,2)关于x轴、y轴、原点的对称点分别是什么? 问题3:空间点的对称能类比平面上点的对称吗? 在空间直角坐标系中,任意一点P(a,b,c)的几种特殊的对称点的坐标如下: 对称轴或对称平面或对称中心 对称点的坐标 P(a,b,c) x轴 (a,-b,-c) y轴 (-a,b,-c) z轴 (-a,-b,c) Oxy平面 (a,b,-c) Oyz平面 (-a,b,c) Ozx平面 (a,-b,c) 坐标原点 (-a,-b,-c) 例3　在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标; (2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标; (3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点的坐标. 【方法总结】求解对称点的问题时,常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论. 求点A(1,2,-1)关于坐标平面Oxy及x轴对称的点的坐标. 【随堂检测】 1.点(1,1,0)在空间直角坐标系中的(　　). A.y轴上 B.Oxy平面上 C.Oxz平面上 D.第一象限内 2.在空间直角坐标系中,P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的位置关系是(　　). A.关于x轴对称 B.关于Oxy平面对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不对 3.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取D为原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标:=　　　　　　　,=　　　　　　　.  4.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,建立适当的坐标系,求向量的坐标. 参考答案 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 课时1　空间直角坐标系 自主预习·悟新知 预学忆思 1.灯可以看成一个点. 2.用数轴Ox表示点的位置,如广播体操比赛中,同学们的站队位置;用平面直角坐标系表示点的位置,如教室里老师给同学们安排的座位. 3.(1)利用空间直角坐标系表示空间中点的位置. (2)①三条轴两两相交且互相垂直;②有相同的单位长度. (3)在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,若中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. (4)填写表格如下. 坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系 原点 坐标原点 坐标原点 坐标轴 相互垂直的两条坐标轴:x轴和y轴 三条互相垂直的坐标轴:x轴、y轴和z轴 单位长度 单位长度 单位长度 (5)填写表格如下. 平面直角坐标系 空间直角坐标系 在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i,j} 在空间内选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k} 以O为原点,分别以i,j的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立两条数轴:x轴、y轴 以O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴 自学检测 1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.C　【解析】x轴上的点的纵坐标和竖坐标为0. 3.C　【解析】点(2,0,3)的纵坐标为0,所以该点在Oxz平面上. 4.【解析】设=i,=j,=k. (1)因为OA=6,OC=8,OO'=6,所以=6i+8j+6k=(6,8,6), 所以点B'的坐标为(6,8,6). (2)由题图知=-=+-=-6i+8j+6k=(-6,8,6). 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1:是.在给定的空间直角坐标系中,空间中给定一点,其坐标与唯一的有序实数组(x,y,z)相对应;反之,给定一个有序实数组(x,y,z),空间中也有唯一的点与之对应. 问题2:平面直角坐标系Oxy的画法:在平面内分别画两条与单位正交基底向量i,j方向相同的x轴和y轴,它们互相垂直,相交于原点. 拓展到空间中,在x轴和y轴的基础上添加与x轴和y轴都垂直的z轴. 借鉴在立体几何中学习的斜二测画法,在画空间直角坐标系Oxyz时,让x轴与y轴所成的角为135°(或45°),即∠xOy=135°(或45°),画z轴和y轴垂直,即∠yOz=90°. 新知生成 1.i,j,k　坐标轴　Oxyz　i,j,k　Oxy　Oyz　Ozx 2.135°(或45°)　90° 3.右手拇指　食指 4.xi+yj+zk　有序实数组(x,y,z)　A(x,y,z)　横　纵　竖 新知运用 例1　【解析】如图,过点M作MM1⊥BC于点M1,连接DM1,取DM1的中点N1,连接NN1. 由BM=2MC1,知MM1=CC1=,M1C=BC=. 因为M1M∥DD1,所以M1M与z轴平行,点M1与点M的横坐标、纵坐标相同,又点M的竖坐标为,所以M,1,. 易得N1为DM1的中点,则N1,,0. 因为N1N与z轴平行,且N1N==,所以N,,. 巩固训练　【解析】因为点D'在z轴上,且OD'=3,所以点D'的坐标是(0,0,3). 同理,点C的坐标是(0,4,0). 点A的坐标是(5,0,0),所以点A'的坐标是(5,0,3). 点B的坐标是(5,4,0),所以点B'的坐标是(5,4,3). 探究2　情境设置 问题1:空间直角坐标系中,易知点A的坐标与从原点O出发的向量的坐标相同. 问题2:在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫作点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z). 问题3:因为空间向量是自由向量,所以我们在空间直角坐标系Oxyz中,可以作=a.由空间向量基本定理可知,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)叫作a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,简记为a=(x,y,z). 问题4:(x,y,z)具有双重含义,既可以表示点的坐标,也可以表示向量的坐标,在表述时注意区分. 新知生成 xi+yj+zk　(x,y,z)　a=(x,y,z) 新知运用 例2　【解析】∵CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥BC,且CA=CB=1,CC1=2,∴以为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示.设=i,=j,=k. (1)∵点B在y轴上,且CB=1, ∴=0i+j+0k,∴点B的坐标是(0,1,0). 同理,点C1的坐标为(0,0,2). ∵点B1在x轴、y轴、z轴上的射影分别为点C,B,C1,它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为0,1,2, ∴点B1的坐标是(0,1,2). 同理,点M的坐标为,,2,点N的坐标为(1,0,1). (2)∵=-=+-=i-j+k, ∴=(1,-1,1), 而=-=-+=i-j+2k, ∴=(1,-1,2). 又∵=-,∴=(-1,1,-2). 巩固训练　【解析】(1)设x轴、y轴、z轴的单位向量分别为i,j,k. 因为正方体的棱长为2,所以=2i,=2j,=2k.因为D(0,0,0),所以A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2).又因为=+=2i+2j,所以B(2,2,0). 同理,可得A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2). (2)因为E,F分别为棱BB1,DC的中点, 所以=-=-++=-2i-j-k=(-2,-1,-1), =-=-(++)=-2i-j-2k=(-2,-1,-2), =+=-=2j-k=(0,2,-1). 探究3　情境设置 问题1:这个剪纸图是轴对称图形. 问题2:点A(1,2)关于x轴、y轴、原点的对称点分别是(1,-2),(-1,2),(-1,-2). 问题3:能. 新知运用 例3　【解析】(1)因为点P关于x轴对称后,它的横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数,所以点P关于x轴对称的点的坐标为(-2,-1,-4). (2)因为点P关于Oxy平面对称后,它的横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,所以点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(-2,1,-4). (3)设对称点为P'(x,y,z),则M为线段PP'的中点, 由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12, 所以点P'的坐标为(6,-3,-12). 巩固训练　【解析】如图所示,过点A作AM⊥坐标平面Oxy交平面于点M,并延长到点C,使AM=CM,则点A与点C关于坐标平面Oxy对称,且点C的坐标为(1,2,1). 过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B,使AN=NB, 则点A与点B关于x轴对称且点B的坐标为(1,-2,1). 故点A(1,2,-1)关于坐标平面Oxy对称的点的坐标为(1,2,1),点A(1,2,-1)关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,1). 随堂检测·精评价 1.B　【解析】点(1,1,0)的竖坐标为0,所以该点在Oxy平面上. 2.A　【解析】P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的横坐标相同,而纵、竖坐标互为相反数,所以两点关于x轴对称. 3.(-2,0,1)　(1,1,2)　【解析】设x轴、y轴、z轴的单位向量分别为i,j,k, ∵正方体的棱长为2,∴=2i,=2j,=2k, 又O,M分别是AC,DD1的中点,∴=k,==(+)=i+j,∴=-=-2i+k=(-2,0,1), =+=+=i+j+2k=(1,1,2). 4.【解析】以{,,}为单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示, 则=i,=j,=k,又M,N分别为AB,PC的中点, ∴==j, ==(+)=(+-)=i+j-k, ∴=++=-j+k+i+j-k=i+k=,0,. 学科网（北京）股份有限公司 $