北京市清华大学丘成桐数学科学中心2025年数学 拔尖创新人才培养与测试试题

清华大学丘成桐数学科学中心2025年数学 拔尖创新人才培养与测试试题 1.设多项式P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d的四个根为a,B,Y,6.已知a+B=y+6=0且 aB+y6=6.若P(1)=-20,则P(3)的值为() A.-144 B.-54C.54 D.108 2.定义数列{an}:1=1,a2=3,且对n≥1有递推关系：an+2=2an+1+am 考虑新数列{cn},其中cn=a吮+1-an·an+2(n≥1)， 设数列{an}的特征方程的两根为a,B(a>lB),则下列关于数列cn}的性质中，正确的是() A.cn=(-2)n,且a=1+V2,B=1-V2 3.设S={1,2,…,2n,考虑S的所有n元子集构成的族F。定义F的所有不同子族个数为f(n).当 n=4时，f(4)模1000的余数为（) A.256B.376 C.424D.792 4.在一个4×4的方格表中，要放入8个相同的棋子，使得每行每列都恰好有2个棋子.满足条 件的放置方案总数为() A.60 B.72 C.90 D.96 x≡0(mod7) 5.求满足同余方程组x≡5(mod17)的最小正整数x0: (x≡7(mod19) 6.设G是一个有6个顶点的简单图，每个顶点的度数都是3.三角形（三个顶点两两相邻的子图) 个数为t,求t的所有可能取值（从小到大，用逗号分隔）为 7.f:R→R是满足函数方程fx+y)+f(x-y)=2f(x)c0s(y)的连续函数.已知f()= V2,f(月=1.记S=f(1)+f(月，求不超过100s的最大整数为 8.定义数列{cn:c1=2,c2=5,且对n≥1有递推关系：Cn+2+cn=3cn+1,设Sn=c1+c2+ …+cn为数列{cn}的前n项和.若存在正整数k使得Sk+3-Sk是首位为1的六位数，则k的值为 9.设a,B,y是锐角三角形的三个内角，满足anotanBtany=兰。 (I)证：ana+tanB+tay=9 (2)求tana的取值范围： (3)求S=tanatanB+tanβtany+tanytana的取值范围。 10.考虑函数方程：f(x2)+f(y2)=f(x2+y2)+f(xy)2,其中f:R→R是未知函数。 (1)若f连续且f(1)=1,求所有符合条件的函数f(x): (2)若f一致连续，求所有符合条件的函数f(x), 11.已知两个复矩阵： 矩阵A与矩阵B相似，求数组(x,y,z,w)所有可能的取值。