精品解析：四川省泸县第五中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

泸县五中初2023级2025年秋期开学定时练习 数 学 全卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分120分．考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 第I卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 某学校举办的跳绳比赛中，八年级参加比赛的6名女同学每分钟跳绳次数分别是168，159，170，172，164，166，这6个数据的中位数是（ ） A. 165 B. 167 C. 168 D. 171 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，3 B. 2，3，4 C. 2，3，5 D. 2，，3 4. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（　　） A. 为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50 B. 了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D. 甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式从左到右一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，矩形中，，，E为的中点，F为边上任意一点，G，H分别为，的中点，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 5 12. 如图，和都是等腰三角形，．，相交于点F，连接．给出下列结论∶①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第II卷（非选择题 共84分） 注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签宇笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 为备战中考，某学校会定期对学生的复习情况进行检测，在最近的五次检测中，小亮同学的数学成绩（单位：分）分别为86，85，88，85，91．这组数据的众数是__________． 14. 如图，若直线与直线交于A点，则不等式的解集为______． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值是______． 16. 如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，则的长为___________． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 解分式方程： 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，得到点，点B在直线上． （1）求m的值和点B的坐标； （2）若一次函数的图象与线段有公共点，求k的取值范围． 21. 一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同． （1）采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ （2）若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，，，求的面积. 下面是他解决问题的思路： 在图①中，先画一个的正方形网格（每个小正方形的边长均为）．再在网格中画一个格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格计算出了的面积，他把这种方法称为构图法． 请用小明的构图法，解决下列问题： （1）如图②是一个的正方形网格，请画出三边长分别为、、5的格点； （2）求的面积． 23. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 25. 在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且．点从点出发沿运动，点从点出发沿运动，点从点出发沿运动． （1）如图1，将沿折叠，点恰好落在点处，则点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）如图2，若，两点以相同的速度同时出发运动，使，求的值； （3）如图3，已知点为的中点，若，两点以相同的速度同时出发运动，连接，作于，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中初2023级2025年秋期开学定时练习 数 学 全卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分120分．考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 第I卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 某学校举办的跳绳比赛中，八年级参加比赛的6名女同学每分钟跳绳次数分别是168，159，170，172，164，166，这6个数据的中位数是（ ） A. 165 B. 167 C. 168 D. 171 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义进行求解即可．本题考查了中位数，一组数据按照从大到小或从小到大排列后，处在中间位置的数或两个数的平均数叫做中位数，熟记定义是解题关键． 【详解】解：159，164，166，168，170，172， 这6个数据中处在中间的是166，168， ∴这6个数据的中位数是， 故选：B 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，3 B. 2，3，4 C. 2，3，5 D. 2，，3 【答案】D 【解析】 【分析】欲求证是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意； B、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意； C、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意； D、因为，所以能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，解题关键是认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 4. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于0． 5. 在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（　　） A. 为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50 B. 了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D. 甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查、判断事件发生的可能性、根据方差判断稳定性，根据全面调查与抽样调查的定义、方差的意义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，说法正确，本选项不符合题意； B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意； C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合题意； D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是乙，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、同底数幂相除法则、负整数指数幂、分式的加减，多项式乘以多项式法则计算，并逐项判定即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 7. 下列各式从左到右一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．利用二次根式的性质进行化简进而得出答案． 【详解】解：A．不能化简，原式不符合题意； B．的符号不确定，需分情况，不符合题意； C．，，∴，符合题意； D．，的符号不确定，不符合题意； 故选：C． 8. 若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，求不等式组的解集，根据数轴上的数右边的比左边的大，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选B． 9. 如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10. 已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：，，进而得到，推出直线经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】解：直线经过第一、二、三象限， ，， ， 直线经过第一、三、四象限， 故选：C． 11. 如图，矩形中，，，E为的中点，F为边上任意一点，G，H分别为，的中点，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出，由勾股定理求出的长． 连接，由矩形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理得到． 【详解】 解：连接， ∵四边形是矩形， ， ，E为中点， ， ， ， ∵G，H分别为，中点， 是的中位线， ． 故选：D． 12. 如图，和都是等腰三角形，．，相交于点F，连接．给出下列结论∶①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】首先，结合等腰三角形的性质先证明，再由全等三角形的性质可推得①正确；结合三角形内角和定理可证②正确；由全等三角形的面积相等推得全等三角形对应高相等，结合角平分线的判定定理可证④正确；结合已证的②④即可推得⑤正确；若③成立，推得的条件与题意不符，则③错误，综上即可得到答案． 【详解】解：∵和都是等腰三角形，， ∴，，，即， 在和中， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴，故②正确； 作交于点P，交于点Q ∵， ∴， 即， ∴， ∴点A在的角平分线上， 即平分，故④正确； 又∵， ∴，故⑤正确； 若③成立，则， 由②⑤可知，，， ∴，， 即， ∵在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，推出， 由题意可知，不一定等于，故③错误。 综上可知正确的有①②④⑤ 故选：B 【点睛】本题考查了等腰三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 第II卷（非选择题 共84分） 注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签宇笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 为备战中考，某学校会定期对学生的复习情况进行检测，在最近的五次检测中，小亮同学的数学成绩（单位：分）分别为86，85，88，85，91．这组数据的众数是__________． 【答案】85 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义， 根据众数是一组数据中出现次数最多的数求解即可． 【详解】解：小亮同学的数学成绩分别为86，85，88，85，91． 出现次数最多的是85， 故这组数据的众数是85， 故答案为：85． 14. 如图，若直线与直线交于A点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系以及数形结合思想的应用，仔细观察图形，利用好交点是解题关键．由直线的图象落在直线图象上方的部分对应的x的取值即为所求解集． 【详解】解：由直线与直线交于A点， 不等式的解集为： 故答案为： 15. 若关于的分式方程有增根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先把去分母整理得，结合，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， 整理得， ∴去分母得， 整理得， 即， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 故， ∴ ∴， 故答案为： 16. 如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判断与性质，勾股定理，分 时，根据翻折变换的性质求出，然后判断出是等腰直角三角形，从而求出；90°时，判断出在同一直线上，利用勾股定理列式求出，再根据翻折变换的性质可得，，然后求出，设，表示出，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， 时，如图， ， 由翻折的性质得， 是等腰直角三角形， ， 时，如图， 由翻折的性质， 在同一直线上，，， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在中，，即 ， 解得， 即， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，结合乘法公式，简化运算，并熟练掌握二次根式混合运算的运算法则是解题的关键． 【详解】解： 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，先通分，再化简，得，即可作答． 【详解】解： 19. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母得，再计算得，最后验根，即可作答． 【详解】解：∵， 整理得， 去分母得， 则， 解得， 经检验：当时，， 故是原分式方程的解． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，得到点，点B在直线上． （1）求m的值和点B的坐标； （2）若一次函数的图象与线段有公共点，求k的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的平移、一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据点坐标的平移可得，再将代入一次函数求解即可得； （2）先求出一次函数的图象经过点，再将点代入求出的值，结合图形即可得． 【小问1详解】 解：∵将点向右平移2个单位长度，得到点， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：对于一次函数，当时，， ∴一次函数的图象经过点， 将点代入得：，解得， 将点代入得：，解得， 画出图形如下： 若一次函数的图象与线段有公共点，则． 21. 一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同． （1）采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ （2）若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元 （2）能，共有3种采购方案：方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支；方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支；方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意正确列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数即可解答． 【小问1详解】 解：设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 则， 答：采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元． 【小问2详解】 解：设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支， 由题意得， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴该公司能实现利润不少于1540元的目标，共有3种采购方案： 方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支； 方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支； 方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，，，求的面积. 下面是他解决问题的思路： 在图①中，先画一个的正方形网格（每个小正方形的边长均为）．再在网格中画一个格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格计算出了的面积，他把这种方法称为构图法． 请用小明的构图法，解决下列问题： （1）如图②是一个的正方形网格，请画出三边长分别为、、5的格点； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用网格计算三角形的面积，利用勾股定理及格点确定三个顶点的位置是解题的关键． （1）根据，，，利用格点作图即可； （2）利用割补法计算面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 23. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】（1）甲 29 （2）甲 （3）乙队员表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【小问1详解】 解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； 【小问2详解】 解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∵， ∴， 即． ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且．点从点出发沿运动，点从点出发沿运动，点从点出发沿运动． （1）如图1，将沿折叠，点恰好落在点处，则点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）如图2，若，两点以相同的速度同时出发运动，使，求的值； （3）如图3，已知点为的中点，若，两点以相同的速度同时出发运动，连接，作于，直接写出的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的非负性以及平方的非负性，即可得，，，由题意得：，．在中，，，，即可得，，即，设，则，利用勾股定理得，即可得，即可求解； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作，使，连接，，证明得出，进而证明，，得出，，，设，则，根据勾股定理得出一元二次方程，解方程得出，进而即可求解． （3）连接，交于点，连接，，取的中点，连接，，证明，可得，即点为矩形的中心，勾股定理求得，进而根据当点，，三点在一条直线上时，取得最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：， 又，， ，， ，； ，，． ，． 四边形为矩形， ，． 将沿折叠，点恰好落在点处， ，， ， ； ， 设，则， ， ， ． ． ． 故答案为：，； 【小问2详解】 延长交轴于点，延长交轴于点，过点作，使，连接，，如图， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ． ，两点以相同的速度同时出发运动， ， 为等腰直角三角形， ， ， 和为等腰直角三角形， ，，， ，，为等腰直角三角形， ． 在和中， ， ， ，， ，， ． ， ， 设，则， ， ， ． 负数不合题意，舍去， ， ． 【小问3详解】 连接，交于点，连接，，取的中点，连接，，如图， ，两点以相同的速度同时出发运动， ． ， ． 在和中， ， ， ， 即点为矩形的中心， 点为的中点，为的中点， ． ，为的中点， ． ， 当点，，三点在一条直线上时，取得最大值， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，构造合理的辅助线，掌握矩形的性质，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $