重难点03：有理数的11大规律探究问题 同步培优讲义　2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点03 有理数的十大规律探究问题 题型01： 数字排列规律探究 【例1】观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（　　） A．22007 B．22007﹣1 C．22008 D．22006 【例2】观察一列有规律的数：﹣1，3，﹣7，15，﹣31，则它的第n个数是　　． 【例3】（1）观察一列有规律的数：，，，，…，那么第n个数是 　　；（用含n的式子表示） （2）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…，那么第n个数是 　　．（用含n的式子表示） 【例4】如图，将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第3行第4列的数为23，则位于第25行第11列的数是 　　． 题型02： 个位数字规律探究 【例5】观察下列算式，，，，，，…，通过观察，用你发现的规律，可以得出的末位数字为 ． 【例6】观察下列等式：，，，，，，．解答下列问题：的末位数字是 ． 【例7】观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【例8】观察下列算式：，，，，，，，，，，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，的末位数字是 ． 【例9】2+22+23+⋅⋅⋅+210的结果的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 题型03： 乘方中的规律探究 【例10】下列一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…第2021个数是（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【例11】观察下列算式： ①； ②； ③； ④； ⑤； … (1)根据以上规律写出第⑧条算式：________________； (2)计算：； (3)计算：． 【例12】观察下列等式： ， ， ， … 问题： (1)等式左边各项幂的底数和右边幂的底数有什么关系？ (2)上面的等式有何规律，你能用一个式子写出来吗？ (3)利用（2）中的规律，求的值． 题型04： 四则运算中的规律探究 【例13】观察下列式子： ；； ； …… 根据上述规律， ． 【例14】观察以下一系列等式： ①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30； ②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31； ③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32； ④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；…… 利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝　　． 【例15】如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法： 解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100① 在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101② ②减去①，得2S﹣S＝2101﹣1 即S＝2101﹣1 即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1 【理解运用】计算 （1）1+3+32+33+…+399+3100 （2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100． 题型05： 数轴中的规律探究 【例16】一只青蛙从数轴上的原点开始做如下运动，第一次从原点向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到.第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到．若按以上规律跳了2020次时，它落在数轴上的点所表示的数是（   ） A． B．1010 C． D．1009 【例17】一只小球从数轴上的原点出发，第一次向左跳1个单位长度到点，第二次从点向右跳2个单位长度到点，第三次从点向左跳3个单位长度到点，第四次从点向右跳4个单位长度到点，若小球按以上规律跳了6次，它在数轴上的点所表示的数是 ，若小球按以上规律跳了次，它在数轴上的点所表示的数是 （用含的代数式表示）． 题型06：幻方类规律探索 【例18】爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 【例19】在一个方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等．若方格中9个数的和为m，则称这个三阶幻方为“m幻方”．例如：图1中的三阶幻方为“45幻方”．如果图2中的三阶幻方为“m幻方”，则m的值为（   ） A．33 B．36 C．39 D．42 【例20】课本再现：填幻方 有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 ； （2）如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值是 ． 【例21】我国古代夏禹时期的“洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方；用今天的数学符号表示，“洛书”就是一个把这个连续整数填入其中的三阶幻方；幻方需要满足的条件是：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． (1)按《论语》十二章，图1中空格应填字，“夫”字所对应“洛书”中的数字是 ： (2)如图2，三阶幻方中间的数字是．用的代数式表示幻方中个数的和为 (3)图3是一个三阶幻方，求出标有的方格中所填的数是多少？ 题型07： 表格中的规律探究 【例22】下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：    根据此规律确定的值为 ，的值为 ，的值为 ． 【例23】如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例24】将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17 第二行 2 3 6 15 … 第三行 9 8 7 14 … 第四行 10 11 12 13 … 第五行 … 表中数2在第二行第一列，与有序数对对应，数5与对应，数14与对应，根据这一规律探究． （1）有序数对对应的数为 ； （2）数2024对应的有序数对为 ． 【例25】根据表格，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … (1)【初步感知】______；______； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：的值每增加，的值就减少．类似地，的值的变化规律是什么? (3)【问题解决】请直接写出一个含的代数式，要求的值每增加，代数式的值就减小：______；若要求的值每增加，代数式的值就增加，且当时，代数式的值为．你能找到这样的满足条件的代数式吗?请直接写出______． 题型08： 图形递进个数的规律探究 【例26】“链状烷烃”是一种无环的饱和烃类化合物，它们的分子结构是一个直线状的碳原子链，每个碳原子与两个氢原子和两个相邻碳原子相连.“链状烷烃”的分子式如、可分别按如图对应展开，则中的值是（    ） A． B． C． D． 【例27】如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形与等边三角形镶嵌而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，第4个图案有13个三角形，…，按照这样的规律，第5个图案中有 　　个三角形，第n个图案中有 　　个三角形（用含有n的代数式表示）． 【例28】某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；图2为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；…. (1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块； (2)若铺设这条小路共用去块六边形地砖，分别用含的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)当时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量． 【例29】用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有5颗棋子，第2个图形中有8颗棋子，第3个图形中有11颗棋子，第4个图形中有14颗棋子，…，按照这种方式摆下去． (1)第5个图形中有______颗棋子，第6个图形中有______颗棋子； (2)用含的代数式表示第个图形中棋子的数量； (3)第几个图形有6077颗棋子？请说明理由． 题型09： 图形运动过程中的规律探究 【例30】有一个正六面体的骰子放在桌面上，将骰子按如图所示顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动2025次后，骰子朝下一面的数字是（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【例31】如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 题型10： 新定义问题中的规律探究 【例32】现规定一种新运算▲，满足“1▲1＝0”，“2▲1＝3”，“3▲1＝8”，“4▲1＝15”，“5▲1＝24”，按照规律，则“9▲1＝　　”，“n▲1＝　　”． 【例33】定义：若正整数a，b，c满足，则称为梦想数.例如，，，则15，40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（   ） A．98 B．87 C．76 D．65 【例34】观察下图的运算过程并找出规律： ，则的值为（    ） A．8 B． C． D．26 【例35】定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，（   ） A． B． C． D．3 【例36】定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，取n＝24，则 若n＝13，则第2021次“F”运算的结果是（　　） A．1 B．4 C．2021 D．42021 题型11：裂项相消法规律探究 【例37】【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【例38】观察下面的等式，… (1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________； (2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算： ①； ②直接写出结果：________； (3)根据以上探索经验，计算：． 【例39】阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式：①；②；③；把①、②、③三个等式相加，于是．阅读以上材料，请你解答以下问题： (1) ； (2)根据以上观察，聪明的你发现_____； (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点03 有理数的十大规律探究问题 题型01： 数字排列规律探究 【例1】观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（　　） A．22007 B．22007﹣1 C．22008 D．22006 【思路引领】通过观察可发现数据的规律分别是2n+1．根据规律解题即可． 【解答】解：观察4，8，16，32，…，你会发现，这些数值可以变成22，23，24，25…，那么它的第2007个数是22008． 故选：C． 【总结提升】此题的关键是找出规律，第一个数是22那么第2007个数是22008． 【例2】观察一列有规律的数：﹣1，3，﹣7，15，﹣31，则它的第n个数是　　． 【思路引领】根据题中数据：﹣1，3，﹣7，15，﹣31，可得第n个数为（﹣1）n•（2n﹣1）． 【解答】解：由：﹣1，3，﹣7，15，﹣31，…则它的第n个数是（﹣1）n（2n﹣1）． 故答案为（﹣1）n（2n﹣1）． 【总结提升】此题考查数字的变化规律，找出数字符号和运算的规律解决问题． 【例3】（1）观察一列有规律的数：，，，，…，那么第n个数是 　　；（用含n的式子表示） （2）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…，那么第n个数是 　　．（用含n的式子表示） 【思路引领】（1）观察所给的数列发现，每个分数的分子都是1，且分母可以写成1×2，2×3，3×4……，进而解决问题． （2）观察所给数列发现，正负数相间，且后一个分数的分子是前一个分子的2倍，后一个分数的分母比前一个分数的分母多2，据此可解决问题． 【解答】解：（1）观察数列可知， 每一个分数的分子都是1，且分母依次可写成1×2，2×3，3×4…… 所以第n个数是，即为． 故答案为：． （2）观察数列可知， 这一列数中正负数相间，且后一个分数的分子是前一个分子的2倍，后一个分数的分母比前一个分数的分母多2， 所以第n个数是． 故答案为：． 【总结提升】本题考查数的排列规律，根据所给数列，分别求出分子分母的变化规律是解题的关键． 【例4】如图，将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第3行第4列的数为23，则位于第25行第11列的数是 　　． 【分析】先由题意得分别求出第1行第1列、第2行第2列、第3行第3列和第4行第4列的数，可得第25行第25列的数是1201，进而可得答案． 【解答】解：由题意可知： 第1行第1列的数是1，1＝2×1×（1﹣1）+1， 第2行第2列的数是5，5＝2×2×（2﹣1）+1， 第3行第3列的数是13，13＝2×3×（3﹣1）+1， 第4行第4列的数是25，25＝2×4×（4﹣1）+1， …， 第25行第25列的数是2×25×（25﹣1）+1＝1201， 即第25行最右边的数是1201， 第25行第11列需要从右向左移动14个数，14×2＝28， 所以第25行第11列的数是1201﹣28＝1173， 故答案为：1173． 【点评】本题考查规律型的数字变化类，基本技巧是标出序列号，再结合题目中已知的量找出一般规律． 题型02： 个位数字规律探究 【例5】观察下列算式，，，，，，…，通过观察，用你发现的规律，可以得出的末位数字为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了数字的变化规律，幂的乘方，能够通过所给条件，探索出数的规律是解题的关键．计算，通过观察可知每4次运算的尾数循环一次，则的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵， 由题意可知，，，，，，的个位数字，每4个是一组循环， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同， ∴的个位数字是6， 故答案为：6． 【例6】观察下列等式：，，，，，，．解答下列问题：的末位数字是 ． 【答案】2 【分析】通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环，从而可以求得到的末位数字是多少． 【详解】∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…， 可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环， ∵2017÷4=504余1， ∴的末位数字与相同，即为3， ∵，2024÷4=506， ∴的末位数字与相同，即为1， ∴因为的值为负数，故末位数为11-3=8， 故答案为：8. 【点睛】本题考查尾数的特征，解题的关键是通过观察题目中的数据，发现其中的规律． 【例7】观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴尾数，，，的规律是4个数一循环， ∵， ∴的个位数字是， 又∵， ∴的结果的个位数字与的个位数字相同， ∴的结果的个位数字是． 故选：A． 【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 【例8】观察下列算式：，，，，，，，，，，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，的末位数字是 ． 【答案】9 【分析】本题考查数字的变化规律．通过观察所给的式子，发现每4次运算尾数循环出现，由此求解即可． 【详解】解：，，，，，，，． 其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现， ， 的末尾数字与的尾数相同为2， ，，，，，，，，， 其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现， ， 的末尾数字与的尾数相同为7， 的末位数字是9， 故答案为：9． 【例9】2+22+23+⋅⋅⋅+210的结果的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】找出21+22+23+24+25+26+⋯2n的末位数字的规律，即可得出结论． 【解答】解：21＝2，末位数是2， 21+22＝6，末位数是6， 21+22+23＝14，末位数是4， 21+22+23+24＝30，末位数是0， 21+22+23+24+25＝62，末位数是2， 21+22+23+24+25+26＝126，末位数是6， …， 发现规律：21+22+23+24+25+26+⋯2n的末尾数是2，6，4，0，…连续重复下去， ∴2+22+23+⋅⋅⋅+210的末位数是6． 故选：C． 【点评】本题是数字问题，主要考查了含乘方的有理数混合计算，规律的寻找，找出21+22+23+24+25+26+⋯2n的末位数字的规律是解本题的关键． 题型03： 乘方中的规律探究 【例10】下列一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…第2021个数是（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】通过计算得到，是第1个数；，是第2个数；，是第3个数；，是第4个数；，是第5个数，则数的序号比指数大1，于是得到第2021个数是． 【详解】解：∵一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…， ∴这些数变为：，…， ∴第2021个数是． 故选：C． 【例11】观察下列算式： ①； ②； ③； ④； ⑤； … (1)根据以上规律写出第⑧条算式：________________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2)55 (3) 【分析】本题主要考查数字规律及有理数的乘方运算，解题的关键是得出数字的一般规律及有理数的乘方运算； （1）根据题干所给算式可进行求解； （2）由（1）及题意可得规律，然后代入进行求解即可； （3）根据规律可进行求解 【详解】（1）解：由题意得：第⑧条算式为； 故答案为； （2）解：根据（1）中规律得： 原式 ； （3）解：由题意得： 【例12】观察下列等式： ， ， ， … 问题： (1)等式左边各项幂的底数和右边幂的底数有什么关系？ (2)上面的等式有何规律，你能用一个式子写出来吗？ (3)利用（2）中的规律，求的值． 【答案】(1)等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数 (2) (3) 【分析】（1）根据所给的3个算式，可得：等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数； （2）根据所给的3个算式，可得：每个等式的左边是从1开始的连续几个正整数的立方和，右边等于这几个连续的正整数的和的平方，据此计算解答； （3）根据（2）的规律计算即可 【详解】（1）解：，右边幂的底数：， ，右边幂的底数： ，右边幂的底数： … ，右边幂的底数：， 等式左边各项幂的底数和右边幂的底数的关系为：等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数 （2）解：； （3）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，关键是找规律，本题的规律为：左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数． 题型04： 四则运算中的规律探究 【例13】观察下列式子： ；； ； …… 根据上述规律， ． 【答案】/ 【分析】本题考查数字类规律探究，根据前几个等式的左右两边的式子的变化规律求解即可． 【详解】解：； ； ； …… 根据上述规律，， 故答案为：． 【例14】观察以下一系列等式： ①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30； ②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31； ③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32； ④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；…… 利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝　（3101﹣1）　． 【思路引领】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，原式计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得： 31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30； 32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31； 33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32； 34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33； …… 3101﹣3100＝（3﹣1）×3100＝2×3100， 相加得：31﹣30+32﹣31+33﹣32+34﹣33+…+3101﹣3100＝2×（30+31+32+…+3100）， 整理得：30+31+32+…+3100（3101﹣30）（3101﹣1）． 故答案为：（3101﹣1）． 【总结提升】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键． 【例15】如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法： 解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100① 在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101② ②减去①，得2S﹣S＝2101﹣1 即S＝2101﹣1 即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1 【理解运用】计算 （1）1+3+32+33+…+399+3100 （2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100． 【思路引领】（1）利用题中的方法求出原式的值即可； （2）根据题中的方法利用加法即可． 【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，① ①式两边都乘以3，得3S＝3+32+33+…+3101，② ②﹣①得：2S＝3101﹣1，即S， 则原式； （2）设S＝1﹣3+32﹣33+…+3100，① ①式两边都乘以3，得3S＝3﹣32+33﹣…+3101，② ②+①得：4S＝3101+1，即S， 则原式． 【总结提升】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 题型05： 数轴中的规律探究 【例16】一只青蛙从数轴上的原点开始做如下运动，第一次从原点向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到.第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到．若按以上规律跳了2020次时，它落在数轴上的点所表示的数是（   ） A． B．1010 C． D．1009 【答案】B 【分析】由题意可得表示的数是，表示的数是1，表示的数是，表示的数是2，则可得表示的数是3，表示的数为4，即可求解． 【详解】解：由题意可得表示的数是，表示的数是1，表示的数是，表示的数是2， 则可得表示的数是3，表示的数为4， ∴点所表示的数是n, ∴跳了2020次时，它落在数轴上的点所表示的数是1010． 故选：B． 【点睛】本题考查数字的变化规律，数轴的认识，找出其中的变化规律是解题的关键． 【例17】一只小球从数轴上的原点出发，第一次向左跳1个单位长度到点，第二次从点向右跳2个单位长度到点，第三次从点向左跳3个单位长度到点，第四次从点向右跳4个单位长度到点，若小球按以上规律跳了6次，它在数轴上的点所表示的数是 ，若小球按以上规律跳了次，它在数轴上的点所表示的数是 （用含的代数式表示）． 【答案】 3 / 【分析】由题意可得表示的数，表示的数是1，表示的数，表示的数2，则可得表示的数3，点所表示的数是，即可求解． 【详解】解：由题意可得表示的数， 表示的数是， 表示的数， 表示的数， 表示的数 则可得表示的数， 点所表示的数是， 故点所表示的数是． 故答案为：3，． 【点睛】此题考查数字的变化规律，数轴的认识，找出其中的变化规律是解题的关键． 题型06：幻方类规律探索 【例18】爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是有理数的加法及解一元一次方程、求代数式的值，关键在于理解题意，正确计算出a、b的值． 因为这8个数字的和是，所以横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于，因此；内圈右边的圆圈应填3，则或，或． 【详解】解∶这8个数字的和是， 横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于， 根据题意有∶，解得； 根据内圈正方形的4个数字之和等于，得内圈右边的圆圈应填3，则或． 因此，或． 故答案为：或． 【例19】在一个方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等．若方格中9个数的和为m，则称这个三阶幻方为“m幻方”．例如：图1中的三阶幻方为“45幻方”．如果图2中的三阶幻方为“m幻方”，则m的值为（   ） A．33 B．36 C．39 D．42 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，一元一次方程的应用，根据“每行每列每条对角线上的三个数之和相等”可得第一行第三个方格中的数字，根据对角线上两数之和等于中间数的2倍即可列出方程，据此即可求解． 【详解】解：第一行第三个方格中的数字为 由题意得：， ∴， 故选：B． 【例20】课本再现：填幻方 有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 ； （2）如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中数据计算即可作答； （2）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 【详解】解：（1）任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （2）将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为， 故答案为：． 【例21】我国古代夏禹时期的“洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方；用今天的数学符号表示，“洛书”就是一个把这个连续整数填入其中的三阶幻方；幻方需要满足的条件是：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． (1)按《论语》十二章，图1中空格应填字，“夫”字所对应“洛书”中的数字是 ： (2)如图2，三阶幻方中间的数字是．用的代数式表示幻方中个数的和为 (3)图3是一个三阶幻方，求出标有的方格中所填的数是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及整式的加减，根据幻方的定义，构造关于的一元一次方程是解题的关键． （1）对应幻方中的各数，可得出“夫”字所对应“洛书”中的数字是； （2）将对角线上的三个数相加，可得出对角线上三个数之和为，结合“幻方的每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等”，可得出每行的数字之和为，再，即可求出结论； （3）根据“每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等”，可补充图3中的部分数据，结合第一列及对角线上三个数字之和相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【详解】（1）解：根据题意得：“夫”字所对应“洛书”中的数字是． 故答案为：； （2）， 对角线上三个数之和为， 幻方中个数的和为． 故答案为：； （3）在图中补充部分数据，如图所示． 根据题意得：， 解得：． 答：标有的方格中所填的数是． 题型07： 表格中的规律探究 【例22】下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：    根据此规律确定的值为 ，的值为 ，的值为 ． 【答案】 9 10 209 【分析】根据表格可知，右上角中的数等于左下角数的2倍，左上的数与左下的数差为1，右下角的数等于左下角的数与右上角的数的乘积加上左上角的数．据此规律即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：9，10，209． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是仔细观察表格，总结出表格中数据的规律． 【例23】如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了日历中的数字规律，代数式求值，根据题意找到规律是解题关键． 【详解】解：月历横排相邻的两个数字相差1，竖排两个数字相差7， ， 整理得：， 当，时，，故A不符合题意； 当，时，，故B不符合题意； 当，时，，故C不符合题意； 当，时，，故D符合题意； 故选：D． 【例24】将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17 第二行 2 3 6 15 … 第三行 9 8 7 14 … 第四行 10 11 12 13 … 第五行 … 表中数2在第二行第一列，与有序数对对应，数5与对应，数14与对应，根据这一规律探究． （1）有序数对对应的数为 ； （2）数2024对应的有序数对为 ． 【答案】 28 【分析】本题考查规律探究，找出规律是解决此题的关键． 根据题意得出第一列奇数行的数字为行数的平方，且偶数行从左到右依次增大，第一行偶数列的数字为列数的平方，即可求解． 【详解】解：根据数字排列可得：第一列奇数行的数字为行数的平方，且偶数行从左到右依次增大，第一行偶数列的数字为列数的平方． （1）根据规律可得：第五行第一个数字为，故第六行第一个数字为， 第六行第三个数字为， 有序数对对应的数为28， 故答案为：28； （2）， ∴45行第一个数字为2025， ∴所在的位置是第 45 行，此行从左到右依次减小， ∴2024在第 45 行第2列， 故数2024对应的有序数对为， 故答案为：． 【例25】根据表格，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … (1)【初步感知】______；______； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：的值每增加，的值就减少．类似地，的值的变化规律是什么? (3)【问题解决】请直接写出一个含的代数式，要求的值每增加，代数式的值就减小：______；若要求的值每增加，代数式的值就增加，且当时，代数式的值为．你能找到这样的满足条件的代数式吗?请直接写出______． 【答案】(1)，； (2)每增加，的值增加； (3)，． 【分析】本题考查了代数式的值和一元一次方程，解题关键是根据题意，发现规律，列出方程求解． （1）把对应的值代入可得，的值； （2）仿照题目中的描述，语言叙述（）中的规律即可； （3）第一个代数式设代数式为：，根据的值每增加，代数式的值就减小得，从而可得解，第二个代数式根据当时，代数式的值为，可以设这个代数式为一次式：，再由已知确定符合条件的值即可． 【详解】（1）解：把代入得，，即； 把代入得，，即； 故答案为：，； （2）解：根据表中当取，，，，时，对应的的值为，，，，，可知， 每增加，的值增加； （3）∵要求的值每增加，代数式的值就减小， ∴设代数式为：，则 ∴， ∴代数式为：， ∵当时，代数式的值为， ∴设这个代数式为：， ∵的值每增加，代数式的值就增加， ∴， ， ∴这个代数式可以为：， 故答案为：，． 题型08： 图形递进个数的规律探究 【例26】“链状烷烃”是一种无环的饱和烃类化合物，它们的分子结构是一个直线状的碳原子链，每个碳原子与两个氢原子和两个相邻碳原子相连.“链状烷烃”的分子式如、可分别按如图对应展开，则中的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现字母“”和“”个数变化的规律是解题的关键．先根据已知图形得出第个图形中字母“”的个数为，字母“”的个数为，然后将代入求出m的值即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中字母“”的个数为：1，字母“”的个数为：； 第2个图形中字母“”的个数为：2，字母“”的个数为：； 第3个图形中字母“”的个数为：3，字母“”的个数为：； ， 所以第个图形中字母“”的个数为，字母“”的个数为， 当时，（个， 即中的值是． 故选：B． 【例27】如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形与等边三角形镶嵌而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，第4个图案有13个三角形，…，按照这样的规律，第5个图案中有 　16　个三角形，第n个图案中有 　（3n+1）　个三角形（用含有n的代数式表示）． 【思路引领】由所给的图形可知：第1个图案中三角形的个数为4；第2个图案中三角形的个数为4+3＝7；第3个图案中三角形的个数为4+3+3＝10；据此可得其规律． 【解答】解：第1个图案中三角形的个数为4； 第2个图案中三角形的个数为4+3＝4+3×1＝7； 第3个图案中三角形的个数为4+3+3＝4+3×2＝10； 第4个图案中三角形的个数为4+3+3+3＝4+3×3＝13； 第5个图案中三角形的个数为4+3+3+3+3＝4+3×4＝16； .....． 第n个图案中三角形的个数为4+3×（n﹣1）＝4+3n﹣3＝3n+1． 故答案为：16；3n+1． 【总结提升】本题主要考查了规律型：图形的变化类，解答的关键是找到三角形个数变化的规律． 【例28】某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；图2为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；…. (1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块； (2)若铺设这条小路共用去块六边形地砖，分别用含的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)当时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量． 【答案】(1)， (2)正方形地砖有块，三角形地砖有块 (3)正方形地砖和三角形地砖的总数量为块 【分析】本题主要考查图形的规律，整式的运算，理解图形的数量关系，掌握整式的运算是解题的关键． （1）根据图形的数量，找出数量关系即可求解； （2）根据（1）中的数量关系列式求解即可； （3）把代入上述的数量关系式即可求解． 【详解】（1）解：第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； 第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； 第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； ， ∴第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； ∴每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加块， 故答案为：，； （2）解：根据第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块， ∴用去块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块； （3）解：当时，正方形地砖有：（块），三角形地砖有：（块）， ∴（块）， ∴正方形地砖和三角形地砖的总数量为块． 【例29】用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有5颗棋子，第2个图形中有8颗棋子，第3个图形中有11颗棋子，第4个图形中有14颗棋子，…，按照这种方式摆下去． (1)第5个图形中有______颗棋子，第6个图形中有______颗棋子； (2)用含的代数式表示第个图形中棋子的数量； (3)第几个图形有6077颗棋子？请说明理由． 【答案】(1)17；20 (2)用含的代数式表示第个图形中棋子的数量为 (3)第2025个图形中有6077颗棋子 【分析】本题考查了图形的规律探究，代数式求值以及一元一次方程的应用．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，第5个图形中有颗棋子，第6个图形中有颗棋子，计算求解即可； （2）由题意知，第n个图形中棋子的数量为，计算求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第1个图形中有5颗棋子， 第2个图形中有颗棋子， 第3个图形中有颗棋子， 第4个图形中有颗棋子，…， 第5个图形中有颗棋子， 第6个图形中有颗棋子， 故答案为：17；20； （2）解：由（1）可知，第个图形中棋子的数量为， 用含的代数式表示第个图形中棋子的数量为； （3）解：， 解得， 第2025个图形中有6077颗棋子． 题型09： 图形运动过程中的规律探究 【例30】有一个正六面体的骰子放在桌面上，将骰子按如图所示顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动2025次后，骰子朝下一面的数字是（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了规律问题的探索，找到数字朝上一面数字的规律是解题的关键；由题意知，3与4相对，2与5相对，由图知，第4次滚动后骰子朝上一面的数字是3，因此每4次一个循环，而，即可求得骰子朝上一面的数字，从而得到骰子朝下一面的数字． 【详解】解：由题意知，3与4相对，2与5相对； 第1次滚动后骰子朝上一面的数字是5，第2次滚动后骰子朝上一面的数字是4，第3次滚动后骰子朝上一面的数字是2，第4次滚动后骰子朝上一面的数字是3，第5次滚动后骰子朝上一面的数字是5，……，因此每4次一个循环，骰子朝上一面的数字按5，4，2，3的顺序循环，而，则第205次滚动后，骰子朝上一面的数字为5，所以骰子朝下一面的数字是2； 故选：A． 【例31】如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的规律探究，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此题的关键．圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合即可解答． 【详解】解：由图可知，旋转1周，点B对应的数是0，点C对应的数是，点D对应的数是，点E对应的数是，点F对应的点为，点A对应的点为，继续旋转，点B对应的点为，点C对应的点为，……． ∵ 又∵， ∴数轴上表示的点与圆周上点D重合． 故选C． 题型10： 新定义问题中的规律探究 【例32】现规定一种新运算▲，满足“1▲1＝0”，“2▲1＝3”，“3▲1＝8”，“4▲1＝15”，“5▲1＝24”，按照规律，则“9▲1＝　　”，“n▲1＝　　”． 【思路引领】根据新运算范例得出▲1＝n2﹣1，据此求解即可． 【解答】解：由题意知9▲1＝92﹣1＝81﹣1＝80， n▲1＝n2﹣1， 故答案为：80、n2﹣1． 【总结提升】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【例33】定义：若正整数a，b，c满足，则称为梦想数.例如，，，则15，40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（   ） A．98 B．87 C．76 D．65 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘方，根据新定义，逐一判断即可．熟练掌握有理数的乘方是解题的关键． 【详解】解：A、不能写成两数的平方差，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：A． 【例34】观察下图的运算过程并找出规律： ，则的值为（    ） A．8 B． C． D．26 【答案】B 【分析】本题考查数字规律问题．根据题意找出规律即可得到本题答案． 【详解】解：根据题意可知： ∵，，， ∴列式为：， 故选：B． 【例35】定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，根据差倒数的概念，分别求出、、，发现每三个数按、、循环，据此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察可知，每三个数按、、循环， ， ， 故选：C． 【例36】定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，取n＝24，则 若n＝13，则第2021次“F”运算的结果是（　　） A．1 B．4 C．2021 D．42021 【答案】B 【分析】根据新定义的运算方法多计算几次找规律即可． 【详解】解：当n＝13时， 则第1次“F”运算的结果是：3×13+1＝40， 第2次“F”运算的结果是：， 第3次“F”运算的结果是：3×5+1＝16， 第4次“F”运算的结果是：＝1， 第5次“F”运算的结果是：3×4+1＝4， 第6次“F”运算的结果是：＝1， 第7次“F”运算的结果是：6×1+1＝4， ...， 观察以上结果，从第4次开始结果就只有1和4两个数循环出现，且当次数为奇数时结果为4，次数为偶数时结果为1， 而当2021次时是奇数次， ∴结果为4， 故选：B． 【点睛】本题是新定义运算的题型，考查规律型：数字的变化类，根据新定义运算找出数字的排列规律是解题的关键． 题型11：裂项相消法规律探究 【例37】【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据题干所给方法求解即可； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ； （3）解： ． 【例38】观察下面的等式，… (1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________； (2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算： ①； ②直接写出结果：________； (3)根据以上探索经验，计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题考查的是裂项相消的计算技巧的应用，有理数的四则混合运算，理解题意是解本题的关键； （1）观察已知等式再归纳即可解答； （2）①结合（1）中规律把已知等式变形即可计算结果；②结合①的过程进行计算即可得结果； （3）把运算先化为具有（2）中运算式的特点，再根据以上规律将原式变形即可计算． 【详解】（1）解：∵， 归纳可得：第5个式子是；第n个式子是； 故答案为：； （2）解：① ； ② ， 故答案为：； （3）解： ） ． 【例39】阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式：①；②；③；把①、②、③三个等式相加，于是．阅读以上材料，请你解答以下问题： (1) ； (2)根据以上观察，聪明的你发现_____； (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． （1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $