专题2.6 直角三角形（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共35题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练

本讲义聚焦直角三角形的核心知识体系，从定义、性质到判定层层递进，构建清晰的学习支架。通过“两个锐角互余”“斜边中线定理”“两角互余判直角”三大考点深入剖析，辅以几何语言与图形直观结合的方式，帮助学生建立从具体情境抽象出数学模型的能力。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言的融合应用。例如在中考真题演练中引导学生观察图形结构识别互余关系，培养几何直观和推理能力，如第1题要求找出图中所有互余角，强化空间观念；变式训练3通过动态点构造不同位置下的角度关系，激发创新意识；课后分层练习兼顾基础巩固与拔高拓展，既利于教师课堂精准施教，又便于学生自主查漏补缺，实现学以致用。

专题2.6 直角三角形 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共35题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直角三角形的定义 1 知识点梳理02：直角三角形的性质 2 知识点梳理03：直角三角形的判定 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：直角三角形的两个锐角互余 3 考点2：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 7 考点3：锐角互余的三角形是直角三角形 15 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 22 基础夯实 22 培优拔高 31 知识点梳理01：直角三角形的定义 定义 表示 图示 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 用符号“”表示 知识点梳理02：直角三角形的性质 文字语言 几何语言 图示 性质定理1 直角三角形的两个锐角互余. 性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则AD=CD=BD=AB. 拓展 （1）性质定理2的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. （2）在直角三角形中， 30° 角所对的直角边等于斜边的一半. 证明 :作 Rt△ABC 关于直线AC对称的 △ADC ，则 △ABD 是等边三角形， ∴ AB=BD=AD . 又∵ AC⊥BD , ∴ AC 是 BD 边上的中线， ∴ BC=CD , ∴ BC=AB. 知识点梳理03：直角三角形的判定 直角三角形的判定方法 方法 文字叙述 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 在 △ABC 中， ∵∠B=90° , ∴△ABC 是直角三角形. 判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 在 △ABC 中， ∵∠A+ ∠C=90^∘ ， ∴△ABC 是直角三角形. 考点1：直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，根据条件可以得出，利用得出，得出，求出的值即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 【变式训练1】（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图，在中，平分． (1)则 ； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义及直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是熟练运用这些几何性质，以已知角为基础逐步推导未知角的度数． （1）先根据三角形内角和定理（三角形内角和为)，结合已知、，求出的度数；再依据角平分线的定义（角平分线将角分成两个相等的角），计算出的度数． （2）先由得出为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余（直角三角形两锐角和为)，结合求出的度数；再利用（1）中已求得的的度数，通过与的差值求出的度数． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴； 故答案为：． （2）∵， ， ∴， ∴． 【变式训练2】如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答本题的关键． 本题根据垂直的知识得到，再根据三角形的内角和定理与等量变换得到，然后即可求解； 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练3】（2023八年级上·安徽合肥·竞赛）（1）【判断】如图1，在中，，，作的平分线交于点D，在上任取点F，作，垂足为点E，则_______； （2）【迁移】如图2，将（1）中“在上任取点F”改为“在的延长线上任取点F”，其他条件不变，则______； （3）【拓展】如图3，在中，，，是的平分线，在直线上任取点F，过点F作与直线交于点E，请直接写出与α，β之间的数量关系______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （2）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （3）对于图3，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【规范解答】解：（1）在中，，， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， ， ； （2）不变，理由如下：    由（1）可知，， 是的外角， ， ， ； （3）在中，，， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， ， ． 考点2：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D是上的一点，且，点E是的中点，连结． (1)请说明； (2)吗？若成立请给出说明过程； 【答案】(1)见解析 (2)成立，过程见解析 【思路引导】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． （1）由直角三角形斜边中线得到，则，由三角形外角可得，再结合已知条件即可证明； （2）由（1）可得，即，即可证明． 【规范解答】（1）解， ． 点E是的中点， ． ． ， ． ， ． （2）解：由（1）得， 又， ， ． 【变式训练1】（22-23八年级上·全国·期中）在等腰中，，，为上一点．如图，，分别为，延长线上一点，若为的中点，且时，求证：是等腰直角三角形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查的是等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．由等腰直角三角形的性质可得，，，进而证得，由“”可证，可证，，从而得证，可得结论． 【规范解答】证明：如图，连接， ，，点是的中点， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【答案】模型证明：见解析；模型应用：见解析；模型构造： 【思路引导】模型证明：利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； 模型应用：连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； 模型构造：作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【规范解答】模型证明： 解：如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中，， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中，， ∴， ． ∴， 模型应用： 证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ； 模型构造： 解：如图所示，过作于，连接． ，且， ∴． ∴． ∵． ∴， ∴， ∴为等边三角形． ，， ∵ ∴． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 【考点剖析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． 【变式训练3】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，点为的中点，是延长线上一点，连接，过点作的垂线交射线于点． (1)证明：； (2)如图，取的中点，连接，． ）证明：； ）连接，当平分时，，且点到直线的距离为，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)）见解析；）． 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键 （）连接，证明和全等即可得到； （））延长到，使得，连接，证明和全等，然后证明和全等，即可得到结论； ）根据平分，可以证出，，从而得到和的关系，即和的关系，根据的面积求出，从而求得的面积． 【规范解答】（1）证明：连接，如图： ∵，，是中点， ∴，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2））证明：延长到，使得，连接，如图： ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ）解：如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， 由（）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点3：锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查三角形的内角和定理，三角形中线的性质．根据与互余求得，根据三角形的面积公式求出的面积，再根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【规范解答】解：∵与互余，即， ∴， ∴． ∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为3． 故答案为：3 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 【规范解答】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路引导】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 【规范解答】（1）证明： ， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2）证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 2．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 【规范解答】解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【规范解答】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 4．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    【答案】1 【思路引导】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值． 【规范解答】解：设点P的运动时间为，由题意得， ，    ∵， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：1． 【考点剖析】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键． 5．（2022·贵州黔西·中考真题）在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CD=BD=AD，根据折叠的性质可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=，根据平行线的性质，可得出∠AED=∠EDC，根据等边对等角即可求得∠EAD的度数，最后=∠EAD-∠CAD即可求出． 【规范解答】∵D是斜边AB的中点，△ABC为直角三角形， ∴CD=BD=AD， ∵△CDE由△CDB沿CD折叠得到， ∴△CDE≌△CDB， 则CD=BD=AD=ED， ∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=， ∴∠EDC=180°-2， ∵， ∴∠AED=∠EDC=180°-2， ∵ED=AD， ∴∠EAD=∠AED=180°-2， ∵∠B=，△ABC为直角三角形， ∴∠CAD=90°-， ∴=∠EAD-∠CAD=180°-2-（90°-）=90°-， 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形两个锐角互余，熟练地掌握相关知识是解题的关键． 基础夯实 1．（2023八年级上·山东滨州·竞赛）如图，在中，是高，是角平分线，若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的数量关系．由是高，，可得，再由是角平分线，，从而得，进而可求的度数． 【规范解答】解：∵在中，是高， ， ， ， ∵是角平分线，， ， 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形顶角是，则一腰上的高与底边的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的应用．作出示意图，先根据两底角相等、内角和为180度计算出，再根据直角三角形中两锐角互余即可求解． 【规范解答】解：如图所示，等腰中，， ， ， ， ， ， 即一腰上的高与底边的夹角是， 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，，于，，则（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的性质．先由平行线的性质得到，再由垂直的定义得到，最后由直角三角形两锐角互余即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 4．（25-26八年级上·全国·期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 【答案】/75度 【思路引导】本题考查三角形外角性质，对顶角相等，直角三角形性质，解题的关键是掌握直角三角形性质． 根据三角形内角和定理求出的度数，再利用外角性质求出的度数即可得到结果． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 5．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用“直角三角形斜边中点到三顶点距离相等”得出等腰三角形，再结合等腰三角形底角相等和三角形外角等于不相邻两内角和推导角度． 由且E为中点，得，故；由得，再利用三角形外角性质得，，计算得角度． 【规范解答】解：由条件可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2025·黑龙江大庆·三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为 【答案】/度 【思路引导】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质、直角三角形的性质是解题的关键．根据三角形的外角性质求出，再根据平行线的性质解答即可． 【规范解答】解：如图所示， 解：在中，，， 则， ， ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【规范解答】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 8．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质得，再根据直角三角形的性质得，然后根据直角三角形的性质得，可得答案； 对于（2），先求出，即可得，接下来说明，进而得垂直平分再根据等腰三角形的性质得， 然后根据得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵为上的中线， ∴， ∴是直角三角形. ∵点F为中点， ∴. ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（ 1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中,为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【思路引导】本题考查了三角形的面积公式、三角形中线的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是熟练运用各性质与定理，结合已知条件逐步推导所需线段长度或角度． （1）先根据三角形面积公式(面积底高)，以为底、为高，结合已知面积和长度求出的长；再由中线性质(中线平分对边)，得为的一半，进而求出的长； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数；再由角平分线性质(角平分线平分角)，得为的一半；接着在中，利用直角三角形两锐角互余求出的度数；最后通过与的差求出的度数． 【规范解答】（1）解：∵为边上的高，的面积为， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴； （2）∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）（1）如图，平分，平分，，求证：； （2）如图2，，，在线段上找一点，使，当直角顶点移动时，问与是否存在确定的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【思路引导】（1）通过角平分线定义得到角的倍数关系，结合直角三角形两锐角互余，推出同旁内角互补，进而证明两直线平行． （2）作平行线，利用平行线的性质得到角的等量关系，再结合角平分线定义和直角三角形的性质，推导出角的数量关系． 本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：平分平分， ． ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 过作，如图． ， ， ， ， ，， ∴， ． 培优拔高 11．（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，，且，于点，于点．若，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余得出，，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解． 【规范解答】解：∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的外角性质、直角三角形的性质，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．分、两种情况，根据直角三角形的性质、三角形的外角性质计算即可． 【规范解答】解：当时，， 当时，， ∵是的外角， ∴， 综上所述，的度数为或， 故选：C． 13．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，为边上的中线，平分，交于点D，过点B作，垂足为点F，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 由直角三角形的两锐角互余可得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，由等腰三角形的性质得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质即可解答． 【规范解答】解：如图：∵在中，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 14．（24-25七年级下·山东滨州·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力的方向与斜面垂直（），摩擦力的方向与斜面平行（）．若摩擦力与重力方向的夹角．，则斜面的坡角的度数是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了坡角的概念、平行线的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握平行线的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求出，根据对顶角相等求出，再根据直角三角形的性质求出即可． 【规范解答】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 15．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查折叠，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键． 根据长方形的性质，折叠的性质得到，根据平行线的性质，直角三角形两锐角互余得到，化简即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是 ． ①的面积等于的面积；②；③． 【答案】①②③ 【思路引导】根据中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等解答即可． 【规范解答】解：∵是中线， ∴的面积等于的面积； 故①正确； ∵，是高， ∴， ∴， 故②正确； ∵，是高， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 故答案为：①②③． 【考点剖析】本题考查了中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键． 17．（20-21八年级上·上海黄浦·期末）已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路引导】本题考查的是等腰三角形性质及判定、直角三角形性质， （1）先证明，结合得出，即可证明结论； （2）连接，根据直角三角形性质得出，由等腰三角形性质得出，进而证明，即可证明结论． 【规范解答】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）连接， ，点为的中点， ， ∵点为的中点，， ∴， ， ∵点为的中点， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【思路引导】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质和等边三角形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质进行推理和计算； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【规范解答】（1）证明：连接、， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， 又 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 19．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，，连接、，且于点F，与交于点G， ①求证：； ②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析；② 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，即可得证； （2）由（1）可得：，，由全等三角形的性质可得，，，，再由梯形和三角形的面积公式计算即可得解； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，由（1）可得，，由全等三角形的性质可得，，从而可得， 再证明，即可得证；②由①可得，，从而可得出，结合题意可得，由①可得，由全等三角形的性质可得，求出，再由三角形的面积公式计算即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（1）可得：，， ∴，，，， ∴实线所围成的图形的面积； （3）①证明：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）可得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：由①可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 20．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图①，已知，是直线、间的一点，于点，交于点． (1)的度数是___________． (2)如图②，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按每秒的速度返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数： ②当时，则时间的值为___________． 【答案】(1) (2)①或；②秒或秒或秒 【思路引导】（1）延长交于点G，可得，再由三角形内角和定理解答即可； （1）①分两种情况讨论，根据题意画出图形，即可求解；②分三种情况讨论，根据题意画出图形，结合平行线的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①第一种情况，如图， ∵，， ∴， ∴射线的运动时间为， ∴射线旋转的角度为， ∵， ∴； 第二种情况，如图， ∵，， ∴， ∴射线的运动时间为， ∴射线旋转的角度为， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或； ②如图，射线从出发，运动至如图位置时，，与交于点H， 根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 射线垂直后，再顺时针向运动至如图位置时，， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 射线从出发，运动至如图位置时，，此时垂直时，立刻按每秒的速度向运动， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，满足条件的t的值为秒或秒或秒． 【考点剖析】本题主要考查平行线性质，三角形内角和定理，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形是解决本题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 直角三角形 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共35题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直角三角形的定义 1 知识点梳理02：直角三角形的性质 1 知识点梳理03：直角三角形的判定 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：直角三角形的两个锐角互余 2 考点2：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 4 考点3：锐角互余的三角形是直角三角形 7 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 12 知识点梳理01：直角三角形的定义 定义 表示 图示 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 用符号“”表示 知识点梳理02：直角三角形的性质 文字语言 几何语言 图示 性质定理1 直角三角形的两个锐角互余. 性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则AD=CD=BD=AB. 拓展 （1）性质定理2的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. （2）在直角三角形中， 30° 角所对的直角边等于斜边的一半. 证明 :作 Rt△ABC 关于直线AC对称的 △ADC ，则 △ABD 是等边三角形， ∴ AB=BD=AD . 又∵ AC⊥BD , ∴ AC 是 BD 边上的中线， ∴ BC=CD , ∴ BC=AB. 知识点梳理03：直角三角形的判定 直角三角形的判定方法 方法 文字叙述 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 在 △ABC 中， ∵∠B=90° , ∴△ABC 是直角三角形. 判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 在 △ABC 中， ∵∠A+ ∠C=90^∘ ， ∴△ABC 是直角三角形. 考点1：直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 【变式训练1】（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图，在中，平分． (1)则 ； (2)求的度数． 【变式训练2】如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 【变式训练3】（2023八年级上·安徽合肥·竞赛）（1）【判断】如图1，在中，，，作的平分线交于点D，在上任取点F，作，垂足为点E，则_______； （2）【迁移】如图2，将（1）中“在上任取点F”改为“在的延长线上任取点F”，其他条件不变，则______； （3）【拓展】如图3，在中，，，是的平分线，在直线上任取点F，过点F作与直线交于点E，请直接写出与α，β之间的数量关系______． 考点2：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D是上的一点，且，点E是的中点，连结． (1)请说明； (2)吗？若成立请给出说明过程； 【变式训练1】（22-23八年级上·全国·期中）在等腰中，，，为上一点．如图，，分别为，延长线上一点，若为的中点，且时，求证：是等腰直角三角形． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【变式训练3】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，点为的中点，是延长线上一点，连接，过点作的垂线交射线于点． (1)证明：； (2)如图，取的中点，连接，． ）证明：； ）连接，当平分时，，且点到直线的距离为，求的面积． 考点3：锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 4．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    5．（2022·贵州黔西·中考真题）在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（2023八年级上·山东滨州·竞赛）如图，在中，是高，是角平分线，若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形顶角是，则一腰上的高与底边的夹角是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，，于，，则（    ）   A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 5．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于 ． 6．（2025·黑龙江大庆·三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 8．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中,为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，求的度数． 10．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）（1）如图，平分，平分，，求证：； （2）如图2，，，在线段上找一点，使，当直角顶点移动时，问与是否存在确定的数量关系？并说明理由． 培优拔高 11．（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，，且，于点，于点．若，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 13．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，为边上的中线，平分，交于点D，过点B作，垂足为点F，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·山东滨州·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力的方向与斜面垂直（），摩擦力的方向与斜面平行（）．若摩擦力与重力方向的夹角．，则斜面的坡角的度数是 ． 15．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ． 16．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是 ． ①的面积等于的面积；②；③． 17．（20-21八年级上·上海黄浦·期末）已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 18．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，，连接、，且于点F，与交于点G， ①求证：； ②若，，求的面积． 20．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图①，已知，是直线、间的一点，于点，交于点． (1)的度数是___________． (2)如图②，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按每秒的速度返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数： ②当时，则时间的值为___________． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $