新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 学科网（北京）股份有限公司 巴楚县第一中学2025-2026学年第一学期高三开学考试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，则（    ）. A． B． C． D． 2．在某次全市高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，10，5，8，4，2，则这组数据的平均数和分位数分别为（    ） A．6，3 B．5，3 C．5，4 D．6，4 3．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（    ） A． B． C． D． 4．若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（    ） A．2 B．10 C．11 D．56 6．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 7．工匠们要用一球体雕刻出一正三棱台，正三棱台的顶点都在该球体的球面上，且要求雕刻出的棱台的侧棱长为，上、下底面边长分别为和，则所用球体的半径为（    ） A．7 B． C． D． 8．已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（   ） A． B．若，则M到x轴距离为4 C．若，则 D．的最小值为4 11．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（    ） A．，函数都为“旋转函数” B．若函数为“旋转函数”，则 C．若函数为“旋转函数”，则 D．当或时，函数不是“旋转函数” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是 . 13．若向量与不共线也不垂直，且，则 . 14．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，. (1)求的通项公式； (2)当时，记，求数列的前项和. 16．（15分） 为测试甲、乙两个AI（人工智能）模型解决数学问题的能力，某同学准备了5道数学题让甲、乙同时进行解答，每道题甲答对的概率均为，乙答对的概率均为，且每次解答是否正确相互独立. (1)若已知前两题中甲至少答对了1题，求前两题甲都答对的概率； (2)设甲、乙均答对的题数为，求的分布列与数学期望. 17．（15分） 已知四棱锥，平面，底面是矩形，，，，分别是与的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 18．（17分） 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点M在C上且在第一象限，，的面积为2. (1)求C的方程. (2)A，B是C上异于M的两个动点，直线MA与MB的斜率之积为1，证明：直线AB过定点. (3)点M关于x轴的对称点为N，分别过M，N作C的两条切线，这两条切线的交点G恰好在x轴上，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN交于点T，求面积的最大值. 19．（17分） 已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)①求证：有且仅有一个极值点； ②当时，设的极值点为，若． 求证：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.C 2.D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.D 8.B 9.BD 10.ACD 11.BCD 7 12.24 14.-2 15.(13分) (1)由题意知 a,(d+1=3 10a,+45d=100' (1分) 〔27 解得/41 a2或 B别 41= d=- ”9 当}22时b19=d+13,故a,=2n-山b=34分》 〔27 =1号故a臣-小号-3s 时6=2头， 1-2 当 /4s、7 9 分) [6,-2770 189 所以 a,=2n-1 bn=3-1 或 6n=3×27分) 网回0.5c及-周 因为元=1得+3得+s目++a-倡”8分别 m=g+g+++-G 两相-g得信门u州 =1+2× 2a-目2-2+2得分剂 故7，=3-” 3n-1 .(13分) 16.(15分) (1)设事件“前两题中甲至少答对了1题”为A,事件“前两题甲都答对”为B, 依题意，P(4)=1-1-=3,2分) 2 4 4=剧--子6剂 所以P(B)=P(03 P(AB)1 则在前两题中甲至少答对了1题的条件下，前两题甲都答对的概率为？《5分) 国依范意，每道题甲、乙均管对的威率为兮号背6分剂 X的所有可能值为0,1,2,3,4,5，(7分) X~85.即X=)=Cf,=0,1,2,3.4,5 243 Px2c x=3=c器 P(X=4)=( rx=-=crr2 (13分) 所以X的分布列为 中 0 1 2 3 4 5 32 80 80 40 10 P 243 243 243 243 243 243 (14分) 数学期望E(X)=5×{- 33 .(15分) 17.(1)取PA的中点E,连接BE,WNE D ⊙ 则NE1/AD,NE=AD=2 2 而底面ABCD为矩形，M是BC的中点， 所以AD/1BM,BM=2, 所以NEI/BM,NE=BM,所以四边形NEBM为平行四边形，(3分) 所以MN //BE,又BEC平面PAB,而MN不在平面PAB内， 所以MN//平面PAB.(5分) (2)因为PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形，所以以A为原点，以AB,AD,AP所在 直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示. Z D x 则P(0,0,2,A0,0,0),B(2,0,0,M(2,2,0),N(0,2,1) 所以PB=(2,0,-2,AM=(2,2,0),AN=(0,2,1 设平面AMN的一个法向量为m=(x,y,z, 2x+2y=0 则 2y+z=0, 令x=1,则y=-1,z=2, 所以平面AMN的一个法向量为m=(1,-1,2),(9分) PBm 2-4 2 所以cos(PB,m)= √5 PBmV4+4×V1+1+42√2×V66 所以直线PB与平面AMN所成角的正弦值为cos(PB,m》=5 (12分) 6 (3)因为AP=(0,0,2),平面AMN的一个法向量为m=(1,-1,2) 所以点P到平面AMN的距离为： APm 426 d= .(15分) m V1+1+43 18.(17分) 【详解10设a1.则0uF的面积为s-0F-×分6=2.分州剂 所以以=82分) 根据抛物线的定义，得FM=a- 5卫 所以a=2p,(3分)》 8 所以 =2p×2p,解得p=2,即C的方程为y2=4x.(4分) (2)由(1)知M(4,4),设Ax,y),B(x2,y2,直线AB的方程为x=y+n, 则x≠4且x2≠4，联立 x+可得y-4柳-4n=0,△=162+16m>0,5分) y2=4x 由韦达定理可得y1+y2=4t,yy2=-4n,(6分) kw4=片-4=当-4.4 4 X4上-4片+4，同理ks= 为+4，(7分) 4 又因为4ke=1,所以kMko=4x4=l,8分】 乃+4y2+4 整理得yy2+4y+2)=0,所以-4n+16t=0,即n=4t,(9分) 所以x=y+4t=t(y+4),即直线AB过定点0，-4；(10分) (3)因为M4,4),所以N(4,-4), 设直线GM的方程为y-4=k(x-4), 由4(x-4可得2-4y+161-利=0. y2=4x, 则△=16-641-=0，解得&=分山分刎 所以直线GM的方程为y=x+4),且G-4,0,同理可得直线GN:y=-x+4),12 分) 设S24,1+2),因为G=25,所以21+4=24-21)即元=+2 2-t 由0<元<1得t∈-2,2)，设直线ST:x=my-t-2)+2t, 由 x=m(y-1-2)+21可得y2-4my+4m1+8m-8=0, y2=4x, 由△=(-4m)-4(4mt+8m-8t)=0,可得m=t或m=2,(13分) 当m=2时，直线ST:x=2y-4,与直线GM的方程一样，舍去，故m=t,所以直线 5T:x=-,即-+=0，与直线cN:y=+4到联立求得T-21-2:4分剂 点G(-4,0)到直线ST:x=y-t2的距离为d= 2-44-2 (15分) V1+2V1+2 又ST=V2t+2)2+(t+2-t+22=41+7, 所以△GS7的面积为5a5xd=x41+F 4-t2 2 =8-22,(16分) V1+2 因为t∈(-2,2)，所以当t=0时，△GST面积取到最大值为8.(17分) M 0 R 19.(17分) 0由f到--sn+,得/到=-c0sx+0.l分 设hx)=f'x=x-cosx+a, 当a=1时，f倒=-simx+x,到=到=-cox+1. 令h(x)=f'(x=x-cosx+1,则h'(x)=1+sinx≥0， 所以函数h(x在R上单调递增，又h(0)=0, 所以当xe(-o,0)时，f'(x=h(x)<0,f(x)单调递减， 当xe(0,+o)时，f'(x=h(x>0,f(x)单调递增 所以f(x)的最小值是∫(0)=0；…5分 (2)①由(1)知：h(x=f'x=x-c0sx+a, 因为h'x=1+sinx之0，所以h(x在R上单调递增即f'(x在R上单调递增，…7 分 又f'(-2-a=-2-cos2+a<0,f'(2-a=2-cos2-a>0, 所以f'(-2-af'(2-a<0,9分 所以∫'(x存在唯一的变号零点x,即f(x)有且仅有一个极值点x；…10分 ②由①知，f(x有且仅有一个极值点x,且f'(x)=x,-cosx,+a=0, 当a∈(-o,1时，f'(0)=a-1≤0，f'(2-a=2-cos(2-a>0, 由①知，x≥0， 要证明f(x)≥gx), 只需证明F=/小-g1x)-方6-9n气+a%(分式+2sm-2马小0， 而a=cosx0-x0,那么F(x)=2x。-3sinx+x COSXo,（x0≥0)，…11分 所以F'(x)=2-2cosx-xosinx, 令P(xo)=F'(x),则P'(xo)=sinx-x coSxo, 令S(xo)=P(xo),则S'(xo)=Xo sin x,…12分 f当x∈0，π]时， 因为S'(x)≥0，所以S(x)在[0，π上单调递增，即P'(xo)在[0，π上单调递增，又P'(0)=0 所以P'(x)≥0 所以P(x)在[0，π上单调递增，即F'(x)在0，π上单调递增，又F'(0)=0, 所以F(x)≥0， 所以F(xo)在[0，π上单调递增，所以F(x)≥F(0)=0,…14分 z当>元时，p(x0)=2x0-3sinx+xc0sx0, =(2+COS)x0-3sinx>x-3>π-3>0，…16分 综上所述，当a∈(-o,1时，f(xo）≥gxo.…17分