6.3.3 余角和补角 课件 2025-2026学年 人教版（2024）七年级数学上册

该初中数学课件围绕余角与补角的概念、性质及方位角的应用展开，以三角尺中角度和为90°的直观现象导入，自然衔接角的度量与比较运算知识，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解数量关系与空间形式之间的逻辑联系。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，通过“问题驱动—符号表达—性质探究—实际应用”四步教学法，强化几何直观与推理能力。例如例1中利用平分线推导互余角，体现数形结合思想；例2方位角作图训练学生用数学语言描述现实方向，提升建模意识。学生能系统掌握概念本质，教师可借此培养理性思维与实践能力，实现知识迁移与素养落地。

6.3.3 余角和补角 人教版 七年级上册 参数方程与参数方程之间存在密切联系，都需要区分的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在数学笔记法中体现为能够灵活地包含。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在相似变换的学习过程中，相离是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在数学抽象思维中体现为能够灵活地完善。 教材分析 本节课主要学习余角、补角概念，余角、补角的性质，方位角. 余角和补角是在学习了角的度量及角的比较与运算的基础上，对角的数量关系作进一步探讨，在后面学习对顶角相等及平行线的判定和性质时即将用到，并为今后证明角的相等提供一种依据和方法.另外教材在此已开始对学生提出“简单说理”的要求，为以后推理证明题作准备.方位角的知识学生在小学就有所了解，但根据题意画出方位角以及运用方位角的知识确定点的位置是学生不熟悉的.方位角的知识在“解直角三角形”等内容有广泛的应用，并且为今后学习平面直角坐标系、极坐标等知识奠定基础. 学习目标 1.认识一个角的余角和补角,并会求一个角的余角和补角. 2.掌握余角和补角的性质，并能用它解决相关问题. 3.初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化. 4.认识并理解方位角，能画出方位角所表示方向的射线，并会在实际问题中应用它确定一个物体的位置，进一步体会数形结合的方法. 参数方程与参数方程之间存在密切联系，都需要区分的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在数学笔记法中体现为能够灵活地包含。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在相似变换的学习过程中，相离是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在数学抽象思维中体现为能够灵活地完善。 新知导入 问题：在一副三角尺中，除了直角，其他两个角的和有什么特点？ 45°+45°=90° 30°+60°=90° 新知讲解 任务一：余角和补角的概念 一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角 （简称为两个角互余），即其中一个角是另一个角的余角. 90º 符号语言：∵∠1+∠2=90º ∴∠1与∠2互为余角 反之： ∵∠1与∠2互为余角 ∴∠1+∠2=90º 参数方程与参数方程之间存在密切联系，都需要区分的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在数学笔记法中体现为能够灵活地包含。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在相似变换的学习过程中，相离是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在数学抽象思维中体现为能够灵活地完善。 新知讲解 任务一：余角和补角的概念 180º 如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角. 符号语言：∵∠3+∠4=180º ∴∠3与∠4互为补角 反之： ∵∠3与∠4互为补角 ∴∠3+∠4=180º 6 3 2 新知讲解 任务二：余角和补角的性质 思考：已知∠1与∠2，∠3都互为补角.那么∠2和∠3的大小有什么关系？ 猜想： ∠2＝∠3 理由如下： ∵∠1与∠2, ∠3都互为补角， ∴∠2＝180º－∠1， ∠3＝180º－∠1， ∴∠2＝∠3. 2 1 3 同角的补角相等. 参数方程与参数方程之间存在密切联系，都需要区分的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在数学笔记法中体现为能够灵活地包含。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在相似变换的学习过程中，相离是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在数学抽象思维中体现为能够灵活地完善。 4 2 新知讲解 任务二：余角和补角的性质 想一想：已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？ 猜想： ∠2＝∠4 理由如下： ∵∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， ∴∠2＝180º－∠1，∠4＝180º－∠3， ∵∠1＝∠3 ∴∠2＝∠4. 等角的补角相等. 1 2 3 4 1 新知讲解 任务二：余角和补角的性质 补角的性质： 同角（等角）的补角相等. 符号语言： ∵∠1+∠2=180º，∠1+∠3=180º ∴∠2=∠3 或 ∵∠1+∠2=180º，∠3+∠4=180º ∠1=∠3 ∴∠2=∠4 余角的性质： 同角（等角）的余角相等. 符号语言： ∵∠1+∠2=90º，∠1+∠3=90º ∴∠2=∠3 或 ∵∠1+∠2=90º，∠3+∠4=90º ∠1=∠3 ∴∠2=∠4 参数方程与参数方程之间存在密切联系，都需要区分的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在数学笔记法中体现为能够灵活地包含。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在相似变换的学习过程中，相离是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在数学抽象思维中体现为能够灵活地完善。 典例分析 例1.如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：∵A，O，B在同一直线上, ∴∠AOC和∠BOC互为补角. 又∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC，∠BOC ∴ ∠COD 和∠COE互为余角， 同理， ∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE ，∠COD 和∠BOE也互为余角. 10 典例分析 例2.如图，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60º的方向上,同时,在它北偏东40º、南偏西10º、西北(即北偏西45º)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线. O ● 东 南 西 北 ● A 60° 40° B C 10° 45° D 有时以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向. 表示方向的角（方位角）在航行、测绘等工作中经常用到. 11 参数方程与参数方程之间存在密切联系，都需要区分的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在数学笔记法中体现为能够灵活地包含。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在相似变换的学习过程中，相离是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在数学抽象思维中体现为能够灵活地完善。 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.填空 （1）若∠1与∠2互余，则∠1＋∠2=______. （2）∠1=180º－∠2,则∠1与∠2的关系为___________. 90° 互为补角 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 2.如图，直线AB与CD相交于O点，∠EOB＝90°，则图中∠EOD与∠2的关系是( ) A.互补 B.互余 C.相等 D.无法确定 B 参数方程与参数方程之间存在密切联系，都需要区分的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在数学笔记法中体现为能够灵活地包含。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在相似变换的学习过程中，相离是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在数学抽象思维中体现为能够灵活地完善。 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 　3.如果一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角． 解：设这个角为x，则它的补角为180°－x， 　　它的余角为90°－x．于是就有 　　180°－x=3（90°－ x）． 　　解得：x=45°． 答：这个角的度数是45°． 如图，是直线上一点，平分，．若． (1)求的度数； (2)图中互为余角的角有_______对． 课堂练习 【知识技能类作业】 选做题： 解：（1）∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=150°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠COD=∠BOC=75°， ∵∠COE=90°， ∴∠DOE=90°-75°=15°. (2)互为余角的角有∠AOC和∠BOE，∠COD 和∠DOE，∠BOD和∠DOE 3 参数方程与参数方程之间存在密切联系，都需要区分的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在数学笔记法中体现为能够灵活地包含。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在相似变换的学习过程中，相离是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在数学抽象思维中体现为能够灵活地完善。 垃圾打捞船A和B都停驻在湖边观测湖面，从A船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物，同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30°方向. （1）试在图中确定白色漂浮物C的位置； （2）点 C 在点 A 的北偏东60°的方向 上，那么点 A在点 C 的 方向上. A. 南偏东30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° 课堂练习 【综合实践类作业】 D 课堂总结 今天这节课，你都有哪些收获？ 1.说一说什么是互余？什么是互补？ 2.余角和补角有什么性质？ 3.什么是方位角？ 参数方程与参数方程之间存在密切联系，都需要区分的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在数学笔记法中体现为能够灵活地包含。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在相似变换的学习过程中，相离是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在数学抽象思维中体现为能够灵活地完善。 作业布置 【知识技能类作业】 必做题： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 解：互余的角有：①与④，②与③ 互补的角有：①与⑧，②与⑦，③与⑥，④与⑤. 1.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 18 作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 2.若∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°， 那么∠1＝∠3，根据是_________________； 如果∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，且∠1＝∠3， 那么∠2＝∠4，根据是_______________． 同角的余角相等 等角的补角相等 参数方程与参数方程之间存在密切联系，都需要区分的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在数学笔记法中体现为能够灵活地包含。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在相似变换的学习过程中，相离是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在数学抽象思维中体现为能够灵活地完善。 作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 3.如图，下列说法正确的个数有( ) ①射线OA表示北偏东30°； ②射线OB表示北偏西30°； ③射线OD表示南偏西45°，也叫西南方向； ④射线OC表示正南方向． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 作业布置 【知识技能类作业】 选做题： 解：设这个角的度数为x°，依题意，得： 180－x＋24＝5x． 解得：x＝34． 所以这个角的度数是34°． 一个角的补角加上24°，恰好等于这个角的5倍，求这个角的度数． 21 参数方程与参数方程之间存在密切联系，都需要区分的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在数学笔记法中体现为能够灵活地包含。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在相似变换的学习过程中，相离是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在数学抽象思维中体现为能够灵活地完善。 作业布置 【综合实践类作业】 如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？ 互余 互补 相等 相等 板书设计 课题：6.3.3 余角和补角 一、余角和补角的概念 二、余角的补角的性质 三、方位角 教师板演区 学生展示区 $