2.3 二次函数与一元二次方程、不等式7题型分类（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

本讲义聚焦一元二次不等式及其与方程、函数的内在联系，构建从定义识别到解法步骤，再到参数讨论、恒成立问题和实际应用的完整知识链条，形成“概念—方法—迁移”的学习支架体系。 资料设计突出数学抽象与逻辑推理素养，以典型例题引导学生从图像直观理解解集规律，如通过判别式分类讨论强化数形结合意识，体现“会用数学的眼光观察现实世界”；在含参不等式求解中强调分类讨论思想，培养严谨的运算能力和推理能力，彰显“会用数学的思维思考现实世界”；多道应用题设置真实情境，如刹车距离、企业利润优化等，促使学生建立数学模型解决问题，展现“会用数学的语言表达现实世界”。课中便于教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升综合解题能力。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式7题型分类 一、一元二次不等式 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 二、二次函数图象、方程及不等式的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 三、常用数集及表示符号 1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 3.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 四、不等式解法 1．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数) 法一：或 法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 法一：或 法二： ＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k （一） 一元二次不等式的解法 1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边. 2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. （2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. （3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. （4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. （5）写解集.根据图象写出不等式的解集. 3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程根的个数:讨论判别式△与0的关系. (3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 题型1：解不含参数的一元二次不等式 1．（2025高一·全国·专题练习）解下列不等式． (1)； (2); (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)R． 【解析】（1）方程的两根分别为． 函数的图象是开口向上的抛物线与x轴有两个交点和，（如图所示） 观察图象可知，不等式的解集为或． （2）原不等式可化为． ， 由图象可得解集为． （3）原不等式移项整理得． ， 方程无实根． 函数的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点． 原不等式的解集为R． 2．（2025高一·全国·专题练习）解下列不等式． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【解析】（1）方程的两根为． 结合二次函数的图象知， 原不等式的解集为或． （2）原不等式可化为． 方程的两根为． 结合二次函数的图象知， 原不等式的解集为或． 3．（2025高一·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）解不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将不等式变形为后可得答案； （2）将不等式变形为后可得答案. 【解析】（1）由得，即， ， ， 即不等式的解集为； （2）由得， 即，不可能成立， 即不等式的解集为. 4．（2025高一·河南郑州·期中）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】化简原不等式，利用一元二次不等式的解法解原不等式即可. 【解析】原不等式即为，解得， 故原不等式的解集为. 故选 ：B. 题型2：解含有参数的一元二次不等式 5．（湖南省益阳市江英学校2025-2026学年高一学期期中数学试题）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程两根大小关系进行求解即可. 【解析】一元二次方程的两个根为， 因为，所以， 因此不等式的解集是， 故选：D 6．（2025高一·安徽滁州·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】先解二次不等式求得的等价条件，再利用充分不必要条件的性质与数轴法即可求得的取值范围. 【解析】因为，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集，则，故， 所以实数的取值范围为． 故选：C． 7．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式对应二次函数的开口方向，并讨论符号求解集即可. 【解析】由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. 8．（2025高一·全国·专题练习）解关于x的不等式． 【答案】分类讨论，答案见解析. 【解析】解：原不等式可化为． 方程的两根为． 由可知： ①当或时，． 解原不等式得或，不等式的解集为或． ②当时，，解原不等式得或， 不等式的解集为或． ③当时，原不等式为，不等式的解集为． ④当时，原不等式为，不等式的解集为． 综上可知， 当或时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 9．（2025高一·江苏·假期作业）解关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】原不等式可化为，分、、三种情况求解即可. 【解析】原不等式可化为. 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或. 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当 时，解集为或. 10．（2025高一·山西运城·阶段练习）若，解关于的不等式 【答案】答案见解析. 【分析】根据一元二次方程根的分布情况分论讨论即可. 【解析】原不等式可化为 ⑴ 当时，原不等式可化为，解得 ∴ 原不等式的解集为; ⑵ 当时，方程的两根， 若，原不等式可化为, ∵ ，∴ 原不等式的解集为; 若，原不等式可化为, ①若，即，原不等式的解集为或; ②若，即，原不等式的解集为或; ③若，即，原不等式可化为，解得; 综上所述， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或， 当，原不等式的解集为或， 当，原不等式的解集为. （二） 三个“二次”之间的关系及应用 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． (3)解决三个“二次”之间的关系这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式与方程根的关系解决.不等式解集的端点值是对应方程的根，往往要用根与系数的关系. 题型3：由不等式的解集求参数 11．（2025高一·安徽宣城·阶段练习）已知不等式的解集是，则（    ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 【答案】A 【解析】由一元二次方程根与系数的关系求得即可得出结果. 【解析】因为不等式的解集是, 所以的两根为，则，即， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求解参数，一元二次不等式的解法，属于基础题. 12．（2025高一·全国·专题练习）若不等式的解集是，求不等式的解集． 【答案】 【解析】解法一  由的解集为，知．又，则． 又为方程的两个根， ．又， ． 不等式变为， 即． 又， 所求不等式的解集为． 解法二  由已知得，且，知，设方程的两根分别为， 则， 其中， ， ， 不等式的解集为． 13．（2025高一·全国·专题练习）已知关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集． 【答案】，或． 【解析】的解集为， 是的两根． 由根与系数的关系得得 代入所求不等式，得． 由或． 的解集为，或． 14．【多选】（宁夏回族自治区青铜峡市2025-2026学年高一学期期中考试数学试题）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】由关于x的不等式的解集为或，可得且方程的根为，再根据韦达定理可将用表示，再逐一判断即可. 【解析】因为关于x的不等式的解集为或， 所以且方程的根为，故A正确； 则，所以， 所以，故C错误； 则不等式即为不等式，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 不等式即为不等式， 即为，解得或， 所以不等式的解集为或，故D正确. 故选：ABD. 15．（2025高二·浙江嘉兴·期末）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可. 【解析】不等式化为，即， 当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意； 当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知， 不等式的解为，由题意，，解得； 当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 16．（上海市华东师范大学第一附属中学2025-2026学年高一学期10月月考数学试题）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果. 【解析】由，得，得或，所以的解集为， 由，得， 当，即时，得，所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为，所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得，所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 所以，得. 故答案为： （三） 分式不等式的解法 （1）解分式不等式的策略: 对于形如的不等式可等价转化为来解决;对于形如:的不等式可等价转化为来解决. （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 题型4：解分式不等式 17．（2025高一·云南曲靖·阶段练习）不等式的解集是 . 【答案】或 【分析】根据同号得正，将分式不等式转化为一元二次不等式，求解即可. 【解析】等价于，解得或， 故解集为或. 故答案为：或 18．（2025高三·全国·中职高考）已知集合，则 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【解析】解：原不等式等价于，化简得， 所以，又等价于，解得： 所以， 故答案为：． 19．（25-26高三·辽宁沈阳·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即可. 【解析】由，得，解得， 因此，而， 所以. 故选：B 20．（25-26高三·北京·开学考试）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出集合，再利用交集的定义求解即可. 【解析】由，， 则. 故选：D. 21．（2025高一·全国·专题练习）解下列不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）原不等式等价于 即． 原不等式的解集为． （2）原不等式可化为，即． 等价于． ∴原不等式的解集为． 22．（25-26高一·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果； （2）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，且，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. （3）根据条件得到，利用，将问题转化成，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. 【解析】（1）因为等价于，得到或， 所以的解集为或. （2）由，得到，即， 等价于，且，解得或， 所以的解集为或. （3）由，得到， 又恒成立， 所以原不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为 （四） 不等式恒成立问题 1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时， 2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时， 题型5：不等式恒成立问题 23．（2025高一·内蒙古包头·期末）若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分成，讨论进行求解. 【解析】对一切实数都成立， ①时，恒成立， ②时，，解得， 综上可得，. 故选：A. 24．（2025高一·福建漳州·期末）不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先根据题意转化为恒成立，讨论的取值，列式求解. 【解析】∵不等式的解集为， ∴恒成立. ①当，即时，不等式化为， 解得：，不是对任意恒成立，舍去； ②当，即时，对任意， 要使， 只需且， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 25．（2025高一·浙江杭州·期末）（1），求实数a的取值范围; （2），求实数a的取值范围. 【答案】(1) ;(2) 或. 【分析】根据二次函数和一元二次不等式的关系结合全称量词命题、特称量词命题的定义求解. 【解析】(1)因为， 所以，即， 解得. (2)因为， 所以，即， 解得或. 26．（2025高一·山东淄博·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：命题“”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解. 【解析】由题意可得：命题“”为真命题， 即对恒成立， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：C. 27．（2025高一·河北邢台·阶段练习）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】参变分离，得到，再由二次函数求最值即可. 【解析】由题意得，由，得， 则恒成立. 令，得， 则二次函数，当时，取得最大值，所以， 所以a的取值范围为． 故选:C 28．（2025高一·全国·专题练习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求m的取值范围； (2)对于恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）要使恒成立， 若，显然． 若． ，即m的取值范围是． （2）解法一  要使在上恒成立，就要使在上恒成立． 令． 当时，随x的增大而增大， 在时有最大值， ；当时，恒成立； 当时，随x的增大而减小， 在时有最大值，得． 综上所述，m的取值范围是． 解法二  当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又． 在上的最小值为， 只需即可．的取值范围是． 29．（2025高一·全国·专题练习）已知． (1)如果对一切恒成立，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得对任意恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【解析】（1）由题意可知，只有当二次函数与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意， 则其相应方程此时应满足，即，解得，即实数a的取值范围为． （2）若对任意恒成立，则满足题意的函数的图象如图所示． 由图象可知，此时a应该满足 解得这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意恒成立． （五） 一元二次方程的实根分布问题 解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向. 题型6：一元二次方程的实根分布问题 30．（2025高一·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【解析】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． 31．（2025高一·江苏徐州·阶段练习）方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解. 【解析】解：由题意，方程的两根都大于， 令， 可得，即，解得． 故答案为：. 32．（2025高一·河北保定·阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有一个正根和一个负根可得判别式大于零以及两根之积小于零，列不等式组即可求解. 【解析】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为， 则，解得， 故选：A 33．（2025高一·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，结合题意分析可得，运算求解即可. 【解析】设， 由题意可知：的零点为，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 34．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及方程的根与函数零点的等价关系，再结合二次函数的性质即可求解. 【解析】显然，关于的方程对应的二次函数 当时，二次函数的图象开口向上， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； ②当时，二次函数的图象开口向下， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； 综上所述，实数的范围是． 故答案为：． （六） 解不等式应用题的步骤 题型7：一元二次不等式的实际应用 35．（2025高一·江苏常州·期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为 （元）. 【答案】120或130 【分析】设每个床位的定价应为元，进而得旅馆每晚的收入为元，再解不等式并结合是10的整数倍求解即可. 【解析】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住， 所以，旅馆每晚的收入为元， 因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元， 所以，，即，解得， 因为是10的整数倍， 所以，每个床位的定价应为120或130元. 故答案为：120或130 36．（2025高一·江西抚州·阶段练习）设某企业每月生产电机台，根据企业月度报表知，每月总产值 (万元)与总支出 (万元)近似地满足下列关系:，，当时，称不亏损企业；当时，称亏损企业，且为亏损额. (1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机? (2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少? 【答案】(1)4台电机 (2)当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元. 【分析】（1）通过解不等式，计算即得结论； （2）通过（1）可知当时企业亏损，通过配方可知亏损额，进而计算可得结论． 【解析】（1）解：依题意，，即， 整理得，解得或（舍， 企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机； （2）解：由（1）可知当时企业亏损， 亏损额， 当时，取最大值， 此时， 即当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元． 37．（2025高一·全国·专题练习）某物流公司购买了一块长米，宽米的矩形地块，计划将图中矩形建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线上，分别在边上，假设的长度为x米． (1)求矩形的面积S关于x的表达式； (2)要使仓库占地的面积不少于144平方米，则的长度应在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据题意，得与相似， ，即，解得， 矩形的面积S关于x的函数为，即． （2）要使仓库占地的面积不少于144平方米，即，化简得．解得． 的长度取值范围为． 38．（2025高一·全国·专题练习）某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低个百分点，预测收购量可增加个百分点． (1)写出降税后税收y（万元）与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的，试确定x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担，收购总金额为万元． 依题意得 ． （2）原计划税收为（万元）， 依题意得，化简得，解得． 又因为，所以，即x的取值范围为． 一、单选题 1．（2025高一·全国·课后作业）下列四个不等式： ①；②；③；④. 其中解集为R的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】求解各一元二次不等式即可判断. 【解析】对于A，即，解得，不符合题意； 对于B，，解得或，不符合题意； 对于C，，解集为R，符合题意； 对于D，即，，解集为， 不符合题意. 故选：C 2．（2025高一·江苏徐州·阶段练习）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】因式分解求解即可. 【解析】即，解得或 故选：B 3．（2025高一·上海·专题练习）不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|a>4或a<－4} B．{a|－4<a<4} C．{a|a≥4或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4} 【答案】A 【分析】由已知可得只需不等式x2＋ax＋4<0有解，即，计算即可得解. 【解析】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解， 所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4. 故选:A. 4．（2025高一·全国·课后作业）在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据运算新定义化简不等式得一元二次不等式，解之即得. 【解析】因， 则， 即得，解得. 故选：B. 5．（2025高一·全国·课后作业）某同学求解关于x的不等式时，因弄错常数b的符号，解得解集为.若该同学解不等式的过程正确，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用三个二次的关系，将其化成方程有两根为和1，根据韦达定理，得到，，代入所求不等式，由化简不等式，即可求得解集. 【解析】由题意，，因弄错常数b的符号，则方程有两根为和1， 由韦达定理，可得，，即，， 代入，可得， 因，故得，解得. 故选：C. 6．（2025高一·全国·课后作业）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原命题为假命题则它的否定为真命题，由二次函数的性质得到判别式小于0，建立不等式求得实数的取值范围. 【解析】因为命题“”是假命题， 所以命题的否定“”是真命题， ，解得. 故选：D. 7．（2025高一·全国·课后作业）与不等式同解的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式的解法逐项求解即可； 【解析】解不等式，即，得. A，解不等式，得，故A不正确； B，解不等式，得，故B正确； C，不等式等价于，得，故C不正确； D，解不等式，得，故D不正确； 故选：B. 8．（2025高一·全国·课后作业）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用分式不等式的解法解原不等式即可得到答案 【解析】解：由可得即，所以， 解得或， 所以不等式的解集是或， 故选：D 9．（2025高一·全国·课后作业）若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由题意得，解不等式即可求解. 【解析】因为不等式对恒成立， 所以，即，所以. 故选：. 10．（2025高二·辽宁·学业考试）刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一条限速为30 km/h的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，但还是发生了交通事故．经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10 m．已知该种车型的刹车距离（单位，m）与刹车前的车速v（单位km/h）之间有如下函数关系：，要判断该汽车是否超速，需要求解的不等式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式即可. 【解析】∵汽车的刹车距离大于10 m, ∴ ∴ 故选：B 11．（2025高一·全国·课后作业）若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式的解集为（    ） A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1<x<2} C．{x|x>2或x<－1} D．{x|－1<x<2} 【答案】C 【分析】首先根据题意得到为的根，从而得到且，将不等式等价于，再解不等式即可. 【解析】由题知： 为的根，所以，即， 又因为的解集为，所以. 故 解得或. 故选：C 二、多选题 12．（2025高一·浙江湖州·阶段练习）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（   ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误． 【解析】由，分类讨论a如下： 当时，； 当时，； 当时，或； 当时，； 当时，或． 故选：AB． 13．（2025高一·全国·课后作业）（多选）若命题“存在实数，使得成立”是假命题，则实数可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BCD 【分析】根据条件得到原命题的否定“任意实数，使得成立”为真命题，再分类讨论二次项系数为和不为，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【解析】命题“存在实数，使得”是假命题， 则其否定为“任意实数，使得成立”是真命题， 当时，原不等式化为恒成立； 当时，则，解得：. 综上，实数的取值范围是． 故选：BCD． 三、填空题 14．（2025高一·全国·课后作业）已知集合，，则 . 【答案】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【解析】由，即， 即，解得，即， 由，即，解得， 即， 所以. 故答案为：. 15．（2025高一·全国·课后作业）若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图像与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 . 【答案】 【分析】判断出二次函数开口的方向，根据函数的图象与的交点即可得结果. 【解析】二次函数的开口向下， 由于二次函数的图象与轴的两个交点为和， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 16．（2025高一·全国·课后作业）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用分式不等式的解法，求得原不等式的解集. 【解析】 ， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，属于基础题. 17．（2025高二·陕西渭南·期中）已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，结合题可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【解析】当时，可得或. ①当时，可得，合乎题意； ②当时，可得，解得，不合乎题意； 当时，由题意可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题. 18．（2025高二·安徽亳州·阶段练习）已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先化简得到，再将“是的充分不必要条件”转化为“是的真子集”，最后求实数的取值范围即可. 【解析】解：因为，所以 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 又因为，所以， 故答案为：， 【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数、利用集合的基本关系求参数，还考查了转化的数学思维方式，是基础题. 19．（2025高一·全国·单元测试）已知不等式的解集为，则 ，的最小值为 . 【答案】 8 【分析】结合一元二次不等式、一元二次方程以及根与系数关系列方程，由此求得，，进而求得.利用基本不等式求得的最小值. 【解析】由题知，，， 则，，， ， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值为8. 故答案为：； 【点睛】本小题主要考查根据一元二次不等式的解集求参数，考查利用基本表达式求最值，属于中档题. 四、解答题 20．（2025高一·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1). (2) (3)或 (4). 【分析】先将不等式化成二次项系数为正的一元二次不等式，判断对应方程的根的个数，结合图象即得原不等式的解集. 【解析】（1）原不等式可化为. 对于方程，因为， 可知函数的图象开口向上，且与x轴无交点， 其大致如图1所示，由图1可知原不等式的解集为. （2）原不等式可化为，即， 函数的图象如图2所示， 由图2可知原不等式的解集为. （3）易知方程的两根分别是，， 则函数的图象与x轴有两个交点，分别为点和点， 又函数的图象是开口向上的抛物线，图象如图3所示， 由图3可得原不等式的解集为或. （4）原不等式可化为， 易知方程有两个相等实根， 画出函数的图象如图4所示， 由图4可知原不等式的解集为. 213．（2025高一·全国·课后作业）已知关于x的不等式.当时，求此不等式的解集. 【答案】答案见解析 【分析】先根据二次项系数进行分大类，再对时，根据方程的根的大小进行分小类，逐一求解不等式即得. 【解析】当时，即为，解得； 当时，由方程，解得或 当时，即为，解得 当时，即为， ① 若，即时，解得或； ② 若，即时，解得或； ③ 若，即时，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为. 22．（2025高一·全国·课后作业）设．若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】把不等式因式分解，转化为函数问题，求出可能的零点，对进行分类讨论，找到符合要求的条件，求出a的取值范围. 【解析】原不等式转化为，令， ①当且时，开口向上，结合不等式解集形式，不能保证解集中的整数解恰有3个，不符合题意，舍去； ②当时，为一次函数，故不能保证解集中的整数解恰有3个，舍去； ②当时，此时，由题意知：，所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需．整理，得．结合题意，有．所以，从而有．综上可得． 23．（2025高二·浙江·开学考试）为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)最多150人 (2)存在， 【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值. （2）根据条件①②列不等式，化简得，结合基本不等式求得的范围. 【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则， ，， ，解得， ∵且，所以调整后的技术人员的人数最多150人； （2）①由技术人员年人均投入不减少有，解得. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 ， 两边同除以得， 整理得， 故有， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， ∴，即存在这样的m满足条件，使得其范围为. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式7题型分类 一、一元二次不等式 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 二、二次函数图象、方程及不等式的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 三、常用数集及表示符号 1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 3.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 四、不等式解法 1．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数) 法一：或 法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 法一：或 法二： ＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k （一） 一元二次不等式的解法 1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边. 2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. （2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. （3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. （4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. （5）写解集.根据图象写出不等式的解集. 3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程根的个数:讨论判别式△与0的关系. (3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 题型1：解不含参数的一元二次不等式 1．（2025高一·全国·专题练习）解下列不等式． (1)； (2); (3)． 2．（2025高一·全国·专题练习）解下列不等式． (1)； (2)． 3．（2025高一·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）解不等式： (1)； (2). 4．（2025高一·河南郑州·期中）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 题型2：解含有参数的一元二次不等式 5．（湖南省益阳市江英学校2025-2026学年高一学期期中数学试题）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·安徽滁州·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 7．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式． 8．（2025高一·全国·专题练习）解关于x的不等式． 9．（2025高一·江苏·假期作业）解关于x的不等式 10．（2025高一·山西运城·阶段练习）若，解关于的不等式 （二） 三个“二次”之间的关系及应用 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． (3)解决三个“二次”之间的关系这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式与方程根的关系解决.不等式解集的端点值是对应方程的根，往往要用根与系数的关系. 题型3：由不等式的解集求参数 11．（2025高一·安徽宣城·阶段练习）已知不等式的解集是，则（    ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 12．（2025高一·全国·专题练习）若不等式的解集是，求不等式的解集． 13．（2025高一·全国·专题练习）已知关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集． 14．【多选】（宁夏回族自治区青铜峡市2025-2026学年高一学期期中考试数学试题）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 15．（2025高二·浙江嘉兴·期末）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（上海市华东师范大学第一附属中学2025-2026学年高一学期10月月考数学试题）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是 ． （三） 分式不等式的解法 （1）解分式不等式的策略: 对于形如的不等式可等价转化为来解决;对于形如:的不等式可等价转化为来解决. （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 题型4：解分式不等式 17．（2025高一·云南曲靖·阶段练习）不等式的解集是 . 18．（2025高三·全国·中职高考）已知集合，则 ． 19．（25-26高三·辽宁沈阳·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高三·北京·开学考试）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 21．（2025高一·全国·专题练习）解下列不等式． (1)； (2)． 22．（25-26高一·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). （四） 不等式恒成立问题 1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时， 2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时， 题型5：不等式恒成立问题 23．（2025高一·内蒙古包头·期末）若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 24．（2025高一·福建漳州·期末）不等式的解集为，则的取值范围是 . 25．（2025高一·浙江杭州·期末）（1），求实数a的取值范围; （2），求实数a的取值范围. 26．（2025高一·山东淄博·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（2025高一·河北邢台·阶段练习）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．（2025高一·全国·专题练习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求m的取值范围； (2)对于恒成立，求m的取值范围． 29．（2025高一·全国·专题练习）已知． (1)如果对一切恒成立，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得对任意恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． （五） 一元二次方程的实根分布问题 解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向. 题型6：一元二次方程的实根分布问题 30．（2025高一·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是 ． 31．（2025高一·江苏徐州·阶段练习）方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ． 32．（2025高一·河北保定·阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（2025高一·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是 ． 34．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ． （六） 解不等式应用题的步骤 题型7：一元二次不等式的实际应用 35．（2025高一·江苏常州·期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为 （元）. 36．（2025高一·江西抚州·阶段练习）设某企业每月生产电机台，根据企业月度报表知，每月总产值 (万元)与总支出 (万元)近似地满足下列关系:，，当时，称不亏损企业；当时，称亏损企业，且为亏损额. (1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机? (2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少? 37．（2025高一·全国·专题练习）某物流公司购买了一块长米，宽米的矩形地块，计划将图中矩形建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线上，分别在边上，假设的长度为x米． (1)求矩形的面积S关于x的表达式； (2)要使仓库占地的面积不少于144平方米，则的长度应在什么范围内？ 38．（2025高一·全国·专题练习）某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低个百分点，预测收购量可增加个百分点． (1)写出降税后税收y（万元）与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的，试确定x的取值范围． 一、单选题 1．（2025高一·全国·课后作业）下列四个不等式： ①；②；③；④. 其中解集为R的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2025高一·江苏徐州·阶段练习）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（2025高一·上海·专题练习）不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|a>4或a<－4} B．{a|－4<a<4} C．{a|a≥4或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4} 4．（2025高一·全国·课后作业）在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 5．（2025高一·全国·课后作业）某同学求解关于x的不等式时，因弄错常数b的符号，解得解集为.若该同学解不等式的过程正确，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 6．（2025高一·全国·课后作业）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·课后作业）与不等式同解的不等式是（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·课后作业）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 9．（2025高一·全国·课后作业）若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 10．（2025高二·辽宁·学业考试）刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一条限速为30 km/h的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，但还是发生了交通事故．经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10 m．已知该种车型的刹车距离（单位，m）与刹车前的车速v（单位km/h）之间有如下函数关系：，要判断该汽车是否超速，需要求解的不等式是（    ）． A． B． C． D． 11．（2025高一·全国·课后作业）若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式的解集为（    ） A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1<x<2} C．{x|x>2或x<－1} D．{x|－1<x<2} 二、多选题 12．（2025高一·浙江湖州·阶段练习）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（   ） A． B． C． D．R 13．（2025高一·全国·课后作业）（多选）若命题“存在实数，使得成立”是假命题，则实数可以是（    ） A． B． C．1 D．2 三、填空题 14．（2025高一·全国·课后作业）已知集合，，则 . 15．（2025高一·全国·课后作业）若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图像与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 . 16．（2025高一·全国·课后作业）不等式的解集为 . 17．（2025高二·陕西渭南·期中）已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 18．（2025高二·安徽亳州·阶段练习）已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 19．（2025高一·全国·单元测试）已知不等式的解集为，则 ，的最小值为 . 四、解答题 20．（2025高一·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 213．（2025高一·全国·课后作业）已知关于x的不等式.当时，求此不等式的解集. 22．（2025高一·全国·课后作业）设．若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，求实数a的取值范围． 23．（2025高二·浙江·开学考试）为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $