21.2 解一元二次方程 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2 解一元二次方程 一、选择题： 1．用配方法解方程，下列配方正确的是(   ) A． B． C． D． 2．一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（   ） A．当时，方程无解 B．当时，方程有两个不相等的实根 C．当时，方程有一个实根 D．当时，方程有两个实根 5.是下列哪个一元二次方程的根  (    ) A. B. C. D. 6.若方程与方程的解相同，则，的值为    ． A. ， B. ， C. ， D. ， 7.关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长等于(    ) A. B.   C. D. 或 二、填空题： 1．一元二次方程x2 ＝x的解为　 　 2．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根是1，则另一个根为 　 　 ． 3．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则这个方程的解为　 　 ． 4．已知a，b是一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0的两个根，若ab＝6，则a+b＝　 　 ． 5．设x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则 　 　 ． 6.一元二次方程的根是          ． 7.已知一元二次方程的两根为与，则的值为           ． 三、解答题： 1．解方程： (1)； (2) 2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 4．已知是关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)方程的两个实数根分别为，，若，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由． 5．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，求出该方程的衍生点M的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值； (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案和解析 一、选择题 1. A 2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  二．填空题 1. x1＝0, x2＝1 　 2．﹣2． 3．x1＝x2＝2． 4．5． 5．﹣6． 6.，  7.  三．解答题 1．(1)，； (2)，． 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法． （1）利用因式分解法求解一元二次方程即可； （2）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ，，， ， ， ，． 2．(1) (2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式、韦达定理以及方程的求解方法．解题的关键在于利用韦达定理将 转化为关于 m 的方程，并解出 m 的值． （1）利用判别式 确定方程有两个不相等的实数根，从而得到 m 的取值范围； （2）应用韦达定理将根的和与积表示出来，并通过给定条件转化为关于 m 的方程；最后解出 m 的值并验证其合理性，确保满足初始条件，特别是判别式的条件． 【详解】（1）解：， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 的取值范围为； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为， ， ， ， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 的值为1． 3．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得、，再与结合可得，易得求解即可． 【详解】（1）证明：∵关于的一元二次方程为， ∴， ∴此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两个实数根分别为、， ∴，， ∴，解得：， ∴，解得：． 4．(1)证明见解析 (2)经过，理由见解析 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键； （1）先求出该一元二次方程的判别式的值，再根据一元二次方程根判别式，即可得证． （2）根据，，得出，将代入，即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵任何数的平方都大于等于，即， ∴，该一元二次方程总有两个实数根． （2）解：经过，理由如下： 在一元二次方程中， ，． ∵， ∴将，代入可得： 即动点所形成的函数关系式为． 将代入得： 当时，， ∴动点所形成的函数图象经过点． 5．(1) (2) (3)有，， 【分析】本题考查根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论思想． （1）解方程，根据 判断得解； （2）用因式分解法解方程，可得，根据做分类讨论，分别计算即可判断得解； （3）依据题意，衍生点与的取值无关，直线过定点，故方程的衍生点M为，根据，由根与系数的关系求解． 【详解】（1）解：解方程得， ， ， ， ， 该方程的衍生点M的坐标为； （2）方程为， ， ，或，， ①当，即时， 衍生点M的坐标为． ∵点M在直线上， 代入得， ∴，符合题意； ②当，即时， 衍生点M的坐标为， ∵点M在直线上， 代入得， ，与矛盾，故舍去； 综上，； （3）存在b，c满足条件，理由如下： ， 直线经过定点， ∴方程的衍生点M为， 即，， ，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $