精品解析： 2025-2026学年北师大版八年级数学上册期中测试卷

期中测试卷 时间：100分钟　　满分：120分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　) A. B. 1, C. 6,7,8 D. 2,3,4 3. 若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形 4. 的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 5. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. y值随x值的增大而增大 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）（小时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，y的值为（ ） A 3.2米 B. 4米 C. 4.2米 D. 4.8米 8. 如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（ ） A. 16800元 B. 7200元 C. 5100元 D. 无法确定 9. 正比例函数的图象如图所示，则的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C100的坐标为( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题4分，共20分) 11. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：__________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，一次函数与轴交于点，为一次函数上一点（不与点重合），且的面积为6，则点的坐标为_____． 13. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB边向外作正方形，面积分别为S1，S2，若S1＝2，S2＝5，则BC 2＝_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（－1,0）、（3,0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD，在y轴上存在点P，使△PCD的面积为四边形ABCD面积的一半，则点P的坐标为_________________ 15. 对于能使式子有意义的有理数a，b，定义新运算：a△b＝ ．如果，则x△(y△z)= ____________． 三、解答题(共70分) 16. 计算： （1）； （2）． 17. 点在平面直角坐标系的位置如图所示． （1）分别写出点的坐标； （2）依次连接、、得到一个封闭图形，判断此图形的形状． 18. 一次函数（，都是常数，）的图象经过，两点． （1）求这个一次函数的表达式． （2）判断是否在直线上？ 19. 如图，小区有一块四边形空地，其中，小区计划将这块四边形空地进行规划整理．过点作了垂直于的小路．经测量，，，． （1）求这块空地的面积； （2）求小路长．（答案可含根号） 20. 某乒乓球馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元；暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设打乒乓x次时，所需总费用为y元． （1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式； （2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请根据函数图像，写出选择哪种消费方式更合算. 21. 如图，圆柱形玻璃容器高19cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛，在蜘蛛正对面的圆柱形容器的外侧，距上底1.5cm处的点B处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短距离． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求线段的长； （2）点M是x轴上一点，若以为直角边构造直角三角形，请求出满足条件的点M的坐标； （3）如图2，以点A为直角顶点作，射线交轴的负半轴于点，射线交y轴的负半轴于点D，当绕点A旋转时，的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围(不要求写解题过程)． 23. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A，B的融合点．例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的融合点， （1）已知点，，，请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点，点是直线上任意一点，点是点D，E的融合点． ①试确定y与x的关系式． ②若直线ET交x轴于点H，当为直角时，求直线ET的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中测试卷 时间：100分钟　　满分：120分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了无理数的定义和算术平方根，无限不循环小数是无理数，据此进行解答即可． 【详解】解：，，，中，是无理数． 故选：B． 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　) A. B. 1, C. 6,7,8 D. 2,3,4 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可. 【详解】解：A．（）2+（）2≠（）2，故该选项错误，不符合题意； B．12+（）2=（）2,故该选项正确，符合题意； C．62+72≠82，故该选项错误，不符合题意； D．22+32≠42，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会判断是否为直角三角形是解答关键. 3. 若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形 【答案】C 【解析】 【分析】设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，根据∠A+∠B+∠C=180°得出方程x+2x+3x=180，求出x即可． 【详解】解：∵△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3， ∴设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°， ∵∠A+∠B+∠C=180， ∴x+2x+3x=180°， ∴x=30，2x=60°，3x=90°， ∴∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°， 即△ABC是直角三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能根据题意得出方程是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°． 4. 的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算．先计算出原式等于，再根据，即可求解，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴ ∴的值应在7和8之间， 故选：D． 5. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. y的值随x值的增大而增大 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，据此逐一分析各选项的情况，进行作答即可． 【详解】解：A、当时，， 函数的图象经过点，选项A不符合题意； B、， 的值随值的增大而减小，选项B不符合题意； C、当时，，解得：， 当时，，选项C符合题意； D、，， 函数的图象经过第一、二、四象限，选项D不符合题意； 故选：C． 6. 化简结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 7. 现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）（小时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，y的值为（ ） A. 3.2米 B. 4米 C. 4.2米 D. 4.8米 【答案】A 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出两个蓄水池的函数解析式，再联立求出交点坐标即可得． 【详解】解：设甲蓄水池的函数解析式为， 由题意，将点代入得：，解得， 则甲蓄水池的函数解析式为， 同理可得：乙蓄水池的函数解析式为， 联立，解得， 即当甲、乙两池中水的深度相同时，的值为米， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 8. 如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（ ） A. 16800元 B. 7200元 C. 5100元 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再利用直角三角形的性质得出答案． 【详解】解：连接AC， ∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m， ∴， ∴AC=5m， ∴， 又∵， ∴， ∴∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形， ∴四边形ABCD的面积=（）， ∴要投入资金为：（元）； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键． 9. 正比例函数的图象如图所示，则的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象的判断，熟练掌握一次函数图象是解题关键． 首先根据正比例函数的图象，得出k的取值范围；再根据k的取值范围，判断，即可解答． 【详解】解：正比例函数的图象在第二、四象限， ， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C100的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上，由点A，B的坐标利用勾股定理可求出AB的长，进而可得出点C2的横坐标，同理可得出点C4，C6的横坐标，根据点的横坐标的变化可找出变化规律“点C2n的横坐标为2n×6(n为正整数)”，再代入2n=100即可求出结论． 【详解】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上． ∵A(4，0)，B(0，3)， ∴OA=4，OB=3， ∴AB==5， ∴点C2的横坐标为4+5+3=12=2×6， 同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…， ∴点C2n的横坐标为2n×6(n为正整数)， ∴点C100的横坐标为100×6=600， ∴点C100的坐标为(600，0)． 故选B． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 二、填空题(每小题4分，共20分) 11. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根和整式的加减计算，先根据数轴得到，，再根据算术平方根的定义化简后利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故答案：． 12. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，一次函数与轴交于点，为一次函数上一点（不与点重合），且的面积为6，则点的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据坐标特征求得B的坐标，然后根据三角形面积求得P的纵坐标，然后代入解析式即可求得横坐标，即可得到答案. 【详解】解：在一次函数中，令y=0，则， 解得， ∴B（-2，0）， ∵点A的坐标为（-5，0）， ∴AB=3， 设P点的纵坐标为y， ∴根据题意：AB•|y|=6， ∴×3×|y|=6，解得|y|=4， 把y=4代入得， ， 解得， 把y=-4代入得， ， 解得：， ∴点P的坐标为 （，4）或（，-4）； 故答案为（，4）或（，-4）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得P的纵坐标是解题的关键． 13. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，若S1＝2，S2＝5，则BC 2＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】由勾股定理得出,得出,得出，即可得出答案． 【详解】解：∵∠ACB=90°， ∴， ∴， ∴=5-2=3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，根据图形列出边长与面积的关系式是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（－1,0）、（3,0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD，在y轴上存在点P，使△PCD的面积为四边形ABCD面积的一半，则点P的坐标为_________________ 【答案】（0,0）或（0,4） 【解析】 【分析】由平移可得，CD=AB=4，CD∥AB，即可得到四边形ABCD为平行四边形，再根据△PCD的面积为四边形ABCD面积的一半，可得CP=2，进而得出当点P在CD下方时，P（0，0）；当点P在CD上方时，P（0，4）． 【详解】解：由平移可得，C（0，2），D（4，2）， ∴CD=AB=4，CD∥AB， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD面积=4×2=8， 又∵△PCD面积为四边形ABCD面积的一半， ∴△PCD的面积为4， , . 当点P在CD的上方时，OP=OC+CP=2+2=4，点P坐标是（0,4）；当点P在CD的下方时，OP=OC-CP=2-2=0，点P坐标是（0,0）； 所以点P坐标是（0,0）或（0,4）. 15. 对于能使式子有意义的有理数a，b，定义新运算：a△b＝ ．如果，则x△(y△z)= ____________． 【答案】－ 【解析】 【分析】先根据分别求出x、y、z的值，再代入求解即可. 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴, 故答案为：. 【点睛】本题考查有理数的混合运算，此题是定义新运算题型．求出x、y、z的值，并能理解△的运算方法是解题的关键． 三、解答题(共70分) 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算： （1）先化简各数，再合并同类二次根式即可； （2）先化简各数，再合并同类二次根式即可； 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 17. 点在平面直角坐标系的位置如图所示． （1）分别写出点的坐标； （2）依次连接、、得到一个封闭图形，判断此图形的形状． 【答案】（1），，，；（2）见解析，该图形是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系即可得到点的坐标； （2）将A，C，D三点连线，根据图象判断三角形的形状即可得解． 【详解】（1）根据平面直角坐标系可知点的坐标分别为，，，， （2）依次连接，，得到一个封闭图形，如下图所示， 根据图像可知，该图形是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点坐标的确定，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 18. 一次函数（，都是常数，）的图象经过，两点． （1）求这个一次函数的表达式． （2）判断是否在直线上？ 【答案】（1） （2）是 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）把点的坐标代入解析式进行检验即可． 【小问1详解】 解：把，代入得： ，解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴在直线上． 19. 如图，小区有一块四边形空地，其中，小区计划将这块四边形空地进行规划整理．过点作了垂直于的小路．经测量，，，． （1）求这块空地的面积； （2）求小路的长．（答案可含根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，用勾股定理求出直角三角形第三边长，用逆定理判定三角形为直角三角形是解题的关键，同时会利用三角形面积算法求直角三角形斜边上的高． （1）根据和算出的长，再由和 的长得出是直角三角形，分别算出和的面积即可； （2）利用三角形面积的两种不同表示方法，即可得的长． 小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵空地的面积 ∴空地的面积 答：这块空地的面积为． 【小问2详解】 在中， 即4× ． 答：小路的长为． 20. 某乒乓球馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元；暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设打乒乓x次时，所需总费用为y元． （1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式； （2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请根据函数图像，写出选择哪种消费方式更合算. 【答案】（1），；（2）当打球次数不足15次时，选择普通票最合算，当打球次数介于15次到45次之间时，选择银卡最合算，当打球次数超过45次时，选择金卡最合算，当打球次数恰为15次时，选择普通票或银卡同为最合算，当打球次数恰为45次时，选择金卡或银卡同为最合算. 【解析】 【分析】（1）根据银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元，以及旅游馆普通票价20元/张，设游泳x次时，分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可； （2）利用函数交点坐标求法分别得出即可,利用点的坐标以及结合得出函数图象得出答案． 【详解】解：（1）选择银卡消费时，y与x之间的函数关系式为： 选择普通票消费时，y与x之间的函数关系式为： （2）根据题意，分别求出A（0,150）、B（15,300）、C（45,600） ∴当打球次数不足15次时，选择普通票最合算，当打球次数介于15次到45次之间时，选择银卡最合算，当打球次数超过45次时，选择金卡最合算，当打球次数恰为15次时，选择普通票或银卡同为最合算，当打球次数恰为45次时，选择金卡或银卡同为最合算. 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键. 21. 如图，圆柱形玻璃容器高19cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛，在蜘蛛正对面的圆柱形容器的外侧，距上底1.5cm处的点B处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短距离． 【答案】34cm． 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开成长方形MNQP，过点B作BC⊥MN于点C，连接AB，线段AB的长度即为所求的最短距离,利用勾股定理进行运算即可． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开成长方形MNQP，过点B作BC⊥MN于点C，连接AB， 则线段AB的长度即为所求的最短距离． 在Rt△ACB中，AC＝MN－AN－CM＝16cm， BC是上底面的半圆周的长，即BC＝30cm 由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝162＋302＝1156＝342， 所以AB＝34cm 故蜘蛛沿容器侧面爬行的最短距离为34cm． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求线段的长； （2）点M是x轴上一点，若以为直角边构造直角三角形，请求出满足条件的点M的坐标； （3）如图2，以点A为直角顶点作，射线交轴的负半轴于点，射线交y轴的负半轴于点D，当绕点A旋转时，的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围(不要求写解题过程)． 【答案】（1） （2） （3）不变， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理解三角形、全等三角形的判定和性质，坐标与图形，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由两点的坐标结合勾股定理求解即可； （2）过作的垂线，交轴于点，过点作轴于点，设，利用勾股定理建立方程求解即可； （3）过分别作轴和轴的垂线，垂足分别为, 可证明可得到，从而可把 转化为，再利用线段的和差可求得． 【小问1详解】 解：过点A作轴，如图所示： ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵是以为直角边的直角三角形，且点M是x轴上一点， ∴， 过作的垂线，交轴于点，过点作轴于点，如图所示： ∴， 设， ∴，， ∵即， 即， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 不变，理由如下： 过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，如图 则， 又∵， ∴， ∴， ∵, ∴, ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴， 故的值不发生变化，值为． 23. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A，B的融合点．例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的融合点， （1）已知点，，，请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点，点是直线上任意一点，点是点D，E的融合点． ①试确定y与x的关系式． ②若直线ET交x轴于点H，当为直角时，求直线ET的解析式． 【答案】（1）点是点A，B的融合点 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题中融合点的定义即可求得答案； （2）①由题中融合点的定义可得；. ②当时，画出图形，由融合点的定义求得点、坐标，进而求出解析式． 【小问1详解】 解：，， ∴点是点A，B的融合点． 小问2详解】 解：①由融合点定义知，得， 又∵，得． ∴，化简得． ②当时，如图所示，则点T为， 由点是点,的融合点，可得点， 此时设直线的方程为，则，解之得， ∴， 直线ET的解析式为． 【点睛】本题是一次函数综合运用题，涉及到勾股定理的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解，解决本题关键是搞清楚新定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $