第1章 课时15 等腰三角形(4)-【培优精练】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

课时15等腰三角形(4) 马基础练习 1.(2023·株洲)一技术人员用刻度尺（单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知 ∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A,B对应的刻度为1,7，则CD= () A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm B 0123456789 第1题 第2题 第3题 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边AC的中点，BD=2,则BC的长为 () A.1 B.3 C.2 D.4 3.(2025·陕西模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO为AB边上的中线.若∠B=50°， 则∠OCA的度数为 A.40 B.45° C.50° D.55 4.(2024秋·滦州市期末)如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑动时， 点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距离 () A.始终不变 B.不断变小 C.不断变大 D.先变小后变大 D B 第4题 第5题 第6题 5.如图，已知直线11亿2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在12上，如果 边AB与L1的交点D是AB的中点，那么∠1= 6.(2025春·长沙期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若∠A =23°，则∠DCB的大小为 7.(2023春·颍州区期末)如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，过点B作直线CD的 垂线，垂足为E.求证：∠EBC=∠A. ·42· 8.(2023春·覃塘区期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2,CD是斜边 上的中线，CE是高，F是CD的中点，连接EF. (1)求线段CD的长； (2)求证：△EDF是等边三角形 9.(2023秋·丹阳市期中)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，点E,F分别是 BD,AC的中点，连接EF,EA,EC (1)试判断EF与AC的位置关系，并说明理由； (2)若∠EAF=25°，则∠ADC= 母能力训练 10.(2025·白河县模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE平分 ∠ADC,BC=4,∠A=30°，则DE的长是 () A.4 B.2 C.3 D.1 B B 第10题 第11题 第13题 11.(2024秋·苏州期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，以点C为圆 心，CD的长为半径画弧，与线段BD相交于另一点E,连接CE.若∠A=∠DCE,则∠A的 度数为 () A.20° B.30° C.36° D.40° 12.(2025春·渝北区期中)在Rt△ABC中，斜边AB上的中线和高分别为5cm,4cm,则 △ABC的面积等于 cm2. 13.(2023秋·礼县期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC,P点 是BD的中点，若AD=6,则CP的长为 ·43· 14.(2024秋·泰州期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点 E,点F是线段AD的中点，连接EF,CF. (1)求证：EF=CF; (2)若∠BAC=30°，AD=12,求C,E两点之间的距离. D 15.(2025春·泉山区阶段考)已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E,F分别是AC,BD的中点. (1)求证：EF⊥BD; (2)若∠BAD=30°，AC=8,求BD的长. 壁拓展提升 16.(2024春·龙泉驿区期末)如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC,D是线段BC的中点， 过点D作射线DE和射线DF,分别交边AB,AC于点E,F,∠AED十∠AFD=180°. (1)∠AED与∠CFD相等吗？为什么？ (2)DE与DF相等吗？为什么？ (3)如图2，若∠A=120°，∠EDF=60°，AB=10,试求EF+EC的最小值.（在直角三角形 中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半) E 图1 图2 ·44△EBC,.AD=EC=5. 第15题 第16题 课时15等腰三角形(4) 1.B2.C3.A4.A5.1206.67° 7.,∠ACB=90°，D是AB中点，.CD=BD, .∠ABC=∠ECB.BE⊥CE,∴∠E=90°， ∴.∠ECB+∠CBE=∠ABC+∠A=90°， ∴.∠EBC=∠A.8.(1),在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2,∴.AB=2AC=2X 2=4.:CD是斜边上的中线，.CD=2AB=2; (2)证明：，CD是斜边上的中线，.CD=DB= AD=2AB.:∠B=30,∠CAB=60,△ACD 是等边三角形.CE⊥AD,∴.AE=DE,∠ECD= 30,.DE=2DC.“F是CD的中点，EF= 1 CD,∴.EF=DF,.△EDF为等边三角形.9.(I) EF垂直平分AC.理由：：∠BAD=∠BCD=90°，E 是BD的中点，.AE=BD,CE=BD,∴.AE=CE,又 F是AC的中点，∴.EF⊥AC,∴.EF垂直平分AC (2)65°10.B11.C12.2013.314.(1) 证明：DE⊥AB,∴.∠DEA=90,在Rt△AED和 R△ACD中，：点F是斜边AD的中点，.EF=2 AD,CF=号AD,EF=CF;(2)解：如图，连接 CE,由I)得EF=AF=CF=2AD=6,:∠FEA= ∠FAE,∠FCA=∠FAC,∴.∠EFC=2∠FAE+2 ∠FAC=2∠BAC=2X30°=60°，∴.△EFC是等边三 角形，∴.CE=EF=6,∴.C,E两点间的距离是6. 15.(1)证明：如图，连接BE,DE,,∠ABC= ∠ADC=90,E是AC的中点，BE=DE=号AC ·10· F是BD的中点，∴.EF⊥BD;(2)解：由(1)可 知，BE=AE=DE=2AC=4,∠EAB=∠EBA, ∠EAD=∠EDA,∴.2∠EAB=∠CEB,2∠EAD= ∠CED.∠BAD=30°，∴.∠BED=60°，BE= DE,.△BED是等边三角形，.BD=BE=4.16. (1)相等.，∠AFD+∠CFD=180°，∠AED+ ∠AFD=180°，∴.∠AED=∠CFD;(2)相等.如图 1过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,分别交于M,N,连 接AD,D是线段BC的中点且△ABC为等腰三角 形，.AD平分∠BAC.DM⊥AB,DN⊥AC,. DM=DN,∠DME=∠DNF=90°，在△DEM和 ∠AED=∠CFD, △DFN中，∠DME=∠DNF,'.△DEM≌△DFN DM=DN, (AAS),.DE=DF;(3)由(2)可知DE=DF, :∠EDF=60°，.△DEF为等边三角形，.DE= EF,∴.求EF十EC的最小值，即为求DE十EC的最小 值，如图2，作点C关于直线AB对称点G,连接GE, BG,GD,GC,AG,由对称的性质可得GE=EC,.求 DE十EC最小值即为求DE十GE最小值.，'GE十ED 最小值为GD的长度，则EF+EC最小值为GD的长 度，由对称的性质可得△ABC≌△ABG,∴.∠ABC= ∠ABG,BC=BG,AC=AG.,'△ABC为等腰三角 形，∠A=120°，∴.∠ABC=30°，∴.∠GBC=∠ABC+ ∠ABG=60°，∴.△GBC为等边三角形，由等边三角形 对称性可得△ABC≌△AGC.,D是线段BC的中点， ∴.GD⊥BC.AB=10,.AD=5,AG=10,∴. GD=15,∴.EF+EC最小值为15. B D B C 第14题 第15题 M E D 图 图2 第16题 课时16小结与思考(1) 1.D 2.A 3.A 4.D 5.D 6.AB=CD 7.①②③8.证明：AD=CF,∴.AD+DC= CF+DC,∴.AC=DF,在△ABC和△DEF中， AB-DE, BC=EF,∴.△ABC≌△DEF(SSS. AC=DF, 9.,△ABC是等边三角形，.AB=AC,∠ACB= ∠BAC.·AE∥BC,.∠CAE=∠ACB, ∴.∠BAD=∠CAE,△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE, RAB=AC, .△ABD≌△ACE(ASA). ∠ABD=∠ACE, 10.AB=AC,或∠AEB=∠ADC,或∠B=∠C 11.①②③12.(1)证明：，AB∥CD,.∠ABD= ∠CDF.AE∥CF,∴.∠AEB=∠CFD.BF= DE,∴.BF十EF=DE十EF,.BE=DF,在△ABE ∠ABE=∠CDF, 和△CDF中，{BE=DF, ∴.△ABE≌△CDF ∠AEB=∠CFD, (ASA); (2)解：AF=CE,理由如下：如图， △ABF≌△CDE,.AB=CD,AE=CF,在 (AB=CD, △ABF和△CDE中，∠ABD=∠CDB,∴.△ABF≌ BF=DE, △CDE(SAS),.AF=CE.13.(1),△ACB和 △DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴.AC=BC,DC=EC,∴.∠ACB+∠ACD= ∠DCE+∠ACD,∴.∠BCD=∠ACE,在△ACE与 [AC=BC, △BCD中，∠ACE=∠BCD,∴.△ACE≌△BCD CE=CD, (SAS),∴.AE=BD;(2)△ACB≌△DCE, △ACE≌△DCB,△MCE≌△NCB,理由如下： .AC=EC,.AC=CD=EC CB..ACB= ∠DCE,∴.△ACB≌△DCE(SAS)；在△ACE与 AC=DC, △DCB中， ∠ACE=∠DCB,..△ACE≌△DCB CE=CB, I∠MEC=∠NBC, (SAS),在△MCE与△NCB中，CE=CB, ∠MCE=∠NCB, .△MCE≌△NCB(ASA).14.(1)①证明：.AD 是BC边上的高线，∴.∠ADB=∠ADC=90°， .∠BAD=90°-∠B,∠CAD=90°-∠C..AB= AC,∴.∠C=∠B,.∠BAD=∠CAD.②解：：AD 是BC边上的高线，∴.∠ADB=∠ADC=90°， .∠BAD=90°-∠B,∠CAD=90°-∠C.,AB> AC,∴.∠C>∠B(在同一个三角形中，大边对大角)， .∠BAD>∠CAD.故答案为：∠C>∠B,>; (2)①证明：延长AD至E,使ED=AD,连接CE,如 图1所示.，AD是BC边上的中线，.BD=CD,又 ,∠ADB=∠EDC,.△ABD≌△ECD(SAS), ∴.∠BAD=∠E,AB=EC.AB=AC,.EC= AC,∴.∠CAD=∠E,∴.∠BAD=∠CAD;②解：延 长AD至E,使ED=AD,连接CE,如图2所示：同① 得：△ABD≌△ECD(SAS),.∠BAD=∠E,AB= EC.AB>AC,∴.EC>AC,∴.∠CAD>∠E, .∠BAD<∠CAD,故答案为：<. 第12题 B B D D 图1 图2 第14题 ·11·