第1章 课时14 等腰三角形(3)-【培优精练】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

课时14等腰三角形(3) 二基础练习 1.(2024秋·旬阳市期末)如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=AC,若△ABC的周长为12，则 BC的长为 () A.3 B.4 C.8 D.9 B -1 B D B 第1题 第2题 第3题 2.(2024·泰安)如图，直线L∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上，若 ∠ABE=21°，则∠ACD的度数是 () A.45° B.39° C.29 D.21 3.(2023·贵州)5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库” 中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为 12m,则底边上的高是 () A.4m B.6m C.10m D.12m 4.(2024秋·殷都区期末)如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC,BF=BD,则∠CDF的度数 是 () A.10° B.15° C.20° D.25° B( 布mi开布mIT 0c123个45 B B 第4题 第5题 第6题 5.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形，则 ∠B= 6.(2023·江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B,C 表示的刻度分别为1cm,3cm,则线段AB的长为 cm 7.(2023·荆州)如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的 延长线于E,连接DE.求证：CD=CE. ·39· 8.(2024·利川市模拟)如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线 段CA上任意一点，且BM=CN,直线BN与AM交于点Q. (1)求证：△BAN≌△ACM; (2)求∠BQM的大小. 9.(2024秋·周村区期中)已知△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF按 如图所示放置，让三角尺在BC所在的直线上向右平移.如图1，当点E与点B重合时，点A 恰好落在三角尺的斜边DF上 (1)利用图1证明：EF=2BC; (2)如图2，在三角尺平移过程中，设AB,AC与三角尺的斜边的交点分别为G,H,猜想线段 AH与BE存在怎样的数量关系？并证明你的结论， B(E) E B 图1 图2 母能力训练 10.(2025·南昌模拟)如图，△ABC是等边三角形，分别以A和C点为圆心，一定的长度为半 径画弧，两弧交于M,N两点，连接MN,交AC于点D,又以C为圆心，以CD的长度为半 径画弧交BC的延长线于E点，连接ED并延长交AB于点F,经过此操作后，下列结论错 误的是 () A.MN平分∠ABCB.∠BEF=30° C.CD=DF D.BE=2BF B.M B。 B O A:A2 A3 A.N B 第10题 第11题 第12题 11.(2024秋·苍梧县期末)如图，已知∠MON=30°，点A1,A2,A3,…在射线ON上，点B1, B2,B3,…在射线OM上，△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形，若OA1= 2,则△A6B6A7的边长为 () A.16 B.32 C.64 D.128 12.(2024秋·鄂伦春自治旗期末)如图，已知△ABC是等边三角形，且AC=CE,DF=DE,点 G,D,F分别为AC,CE,GD的中点，则∠E=. ·40· 13.(2025·南岗区)等边△ABC中，边长为6，D在射线CA上，AD=3,点E在射线BC上， BD=ED,则BE的长为 14.(2010·雅安)如图，点C是线段AB上除点A,B外的任意一点，分别以AC,BC为边在线 段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连 接MN. (1)求证：AE=BD; (2)求证：MN∥AB. D 15.(2024秋·天河区期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,点E为AD上一 点，连接BD,CE交于点F,CE∥AB. (1)若△ABD为等边三角形，请判断△DEF的形状，并说明理由； (2)若AD=12,CE=9,求CF的长. 壁拓展提升 16.(2024春·景泰县期中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a(0°<a<60),点D在 △ABC内，BD=BC,∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°. (1)求∠ADB的度数； (2)判断△ABE的形状并加以证明； (3)连接DE,若DE⊥BD,DE=10,直接写出AD的长. ·41·三种情况：①当BD=BF时，∴.∠BDC=∠BFD= 3a.:∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-a,.90° a=3a,.a=22.5°，∴.∠A=∠BCD=2a=45°.②当 DB=DF时，.∠DBE=∠BFD=3a.∠DBE= ∠ABC-∠CBE=90°-a-a=90°-2a,∴.90°-2a= 3a,.a=18°，∴.∠A=∠BCD=2a=36°；③当FB= FD时，∴.∠DBE=∠BDF,,∠BDF=∠ABC> ∠DBF,∴.不存在FB=FD,综上所述：如果△BDF 是等腰三角形，∠A的度数为45°或36 F 3 D E D C E H 第13题 第14题 课时14等腰三角形(3) 1.B2.B3.B4.B5.306.27.证明： ,BD是等边△ABC的中线，∴.BD⊥AC,∠ACB= 60°，∴.∠DBC=30°.BD=DE,∴.∠E=∠DBC= 30°.：∠CDE十∠E=∠ACB=60°，∴.∠E= ∠CDE=30°，∴.CD=CE.8.(1),△ABC为等边 三角形，.AB=BC=CA,∠BAC=∠BCA=60°. BM=CN,.CM=AN,又：∠BAN=∠ACM, .△BAN≌△ACM;(2),∴.∠CAM=∠ABN, '.∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ= ∠BAC=60°.9.(1)证明：由题意得，∠F=30°， ,△ABC是等边三角形，∴.AC=BC,∠ACB=60, ∴.∠CAF=∠ACB-∠F=60°-30°=30°， .∠CAF=∠F=30°，.CA=CF,.BC=CF, .EF=2BC;(2)解：AH=BE,证明如下： ,△ABC是等边三角形，∴.AC=BC,∠ACB=60°， .∠CHF=∠ACB-∠F=60°-30°=30°， .∠CHF=∠F,.CF=CH.:EF=2BC, ∴BE+CF=BC,又，AC=AH+CH,AC=BC, ∴.AH=BE.10.C11.C12.1513.9或3 14.证明：(1)：△ACD和△BCE是等边三角形， ,∴.AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°，∠ECB=60°. ∠DCA=∠ECB=60°，∴.∠DCA+∠DCE= ∠ECB十∠DCE,∠ACE=∠DCB,在△ACE与 (AC=DC, △DCB中，∠ACE=∠DCB,∴.△ACE≌△DCB CE=CB, (SAS),.AE=BD;(2):由(1)得，△ACE≌ △DCB,∴.∠CAM=∠CDN..'∠ACD=∠ECB= 60°，而A,C,B三点共线，∴.∠DCN=60°，在△ACM ∠MAC=∠NDC, 与△DCN中，AC=DC, ∴.△ACM≌ ∠ACM=∠DCN=60°， △DCN(ASA),.MC=NC.:∠MCN=60°， .△MCN为等边三角形，.∠NMC=∠DCN= 60°，.∠NMC=∠DCA,.MN∥AB. 15.(1)△DEF是等边三角形，理由如下：，△ABD 为等边三角形，.∠ADB=60°，∠ABD=60°.，CE∥ AB,∴.∠DEF=∠A=60°，∠EFD=∠ABD=60°， ∴.△DEF是等边三角形；(2)连接AC交BD于点 O,如图，：AB=AD,CB=CD,∴.AC垂直平分BD, .AO⊥BD,∴.∠BAO=∠DAO=30°.CE∥AB, .∠ACE=∠BAO=∠DAO,∴.AE=CE=9, ∴.DE=AD-AE=12-9=3,,△DEF是等腰三角 形，.EF=DE=3,.CF=CE-EF=6. 16.(1)BD=BC,∠DBC=60°，∴.△DBC是等边 三角形，.DB=DC,∠BDC=∠DBC=∠DCB= 60°，在△ADB和△ADC中，AB=AC,AD=AD, DB=DC,∴.△ADB△≌△ADC(SSS),.∠ADB= ∠ADC,.∠ADB=2(360°-60)=150；(2)结 论：△ABE是等边三角形.理由如下：，∠ABE= ∠DBC=60°，∴.∠ABD=∠CBE,在△ABD和 △EBC中，∠ADB=∠BCE=150°，BD=BC, ∠ABD=∠CBE,.△ABD≌△EBC(ASA), ∴.AB=BE.∠ABE=60°，∴.△ABE是等边三角 形；(3)如图：连接DE,∠BCE=150°，∠DCB= 60°，∴.∠DCE=90°.，∠EDB=90°，∠BDC=60°， ∠EDC=30,EC=2DE=5.:△ABD≌ ·9· △EBC,.AD=EC=5. 第15题 第16题 课时15等腰三角形(4) 1.B2.C3.A4.A5.1206.67° 7.,∠ACB=90°，D是AB中点，.CD=BD, .∠ABC=∠ECB.BE⊥CE,∴∠E=90°， ∴.∠ECB+∠CBE=∠ABC+∠A=90°， ∴.∠EBC=∠A.8.(1),在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2,∴.AB=2AC=2X 2=4.:CD是斜边上的中线，.CD=2AB=2; (2)证明：，CD是斜边上的中线，.CD=DB= AD=2AB.:∠B=30,∠CAB=60,△ACD 是等边三角形.CE⊥AD,∴.AE=DE,∠ECD= 30,.DE=2DC.“F是CD的中点，EF= 1 CD,∴.EF=DF,.△EDF为等边三角形.9.(I) EF垂直平分AC.理由：：∠BAD=∠BCD=90°，E 是BD的中点，.AE=BD,CE=BD,∴.AE=CE,又 F是AC的中点，∴.EF⊥AC,∴.EF垂直平分AC (2)65°10.B11.C12.2013.314.(1) 证明：DE⊥AB,∴.∠DEA=90,在Rt△AED和 R△ACD中，：点F是斜边AD的中点，.EF=2 AD,CF=号AD,EF=CF;(2)解：如图，连接 CE,由I)得EF=AF=CF=2AD=6,:∠FEA= ∠FAE,∠FCA=∠FAC,∴.∠EFC=2∠FAE+2 ∠FAC=2∠BAC=2X30°=60°，∴.△EFC是等边三 角形，∴.CE=EF=6,∴.C,E两点间的距离是6. 15.(1)证明：如图，连接BE,DE,,∠ABC= ∠ADC=90,E是AC的中点，BE=DE=号AC ·10· F是BD的中点，∴.EF⊥BD;(2)解：由(1)可 知，BE=AE=DE=2AC=4,∠EAB=∠EBA, ∠EAD=∠EDA,∴.2∠EAB=∠CEB,2∠EAD= ∠CED.∠BAD=30°，∴.∠BED=60°，BE= DE,.△BED是等边三角形，.BD=BE=4.16. (1)相等.，∠AFD+∠CFD=180°，∠AED+ ∠AFD=180°，∴.∠AED=∠CFD;(2)相等.如图 1过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,分别交于M,N,连 接AD,D是线段BC的中点且△ABC为等腰三角 形，.AD平分∠BAC.DM⊥AB,DN⊥AC,. DM=DN,∠DME=∠DNF=90°，在△DEM和 ∠AED=∠CFD, △DFN中，∠DME=∠DNF,'.△DEM≌△DFN DM=DN, (AAS),.DE=DF;(3)由(2)可知DE=DF, :∠EDF=60°，.△DEF为等边三角形，.DE= EF,∴.求EF十EC的最小值，即为求DE十EC的最小 值，如图2，作点C关于直线AB对称点G,连接GE, BG,GD,GC,AG,由对称的性质可得GE=EC,.求 DE十EC最小值即为求DE十GE最小值.，'GE十ED 最小值为GD的长度，则EF+EC最小值为GD的长 度，由对称的性质可得△ABC≌△ABG,∴.∠ABC= ∠ABG,BC=BG,AC=AG.,'△ABC为等腰三角 形，∠A=120°，∴.∠ABC=30°，∴.∠GBC=∠ABC+ ∠ABG=60°，∴.△GBC为等边三角形，由等边三角形 对称性可得△ABC≌△AGC.,D是线段BC的中点， ∴.GD⊥BC.AB=10,.AD=5,AG=10,∴. GD=15,∴.EF+EC最小值为15. B D B C 第14题 第15题