第1章 课时13 等腰三角形(2)-【培优精练】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

∠MDO+∠DOM=110°..∠AM0=∠ABM+ ∠BAM,.∠BAM=110°-40°=70°，.a=70°； ③如图3，当OD=OM时，由①得：∠MDO= ∠DM0=40°，∴.∠AM0=180°-∠DM0=140°， .∠AMO=∠ABM+∠BAM∴.∠BAM=140° 40°=100°，.a=100°.0°<a<100°，.a=100°不 合题意，舍去；综上所述：旋转角α的度数为40°或70°. A 第14题 D 图1 4 B M >C B M D 图2 图3 第16题 课时13等腰三角形(2) 1.A2.D3.D4.C5.D6.2a7.(1)证 明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D, .∠ABD=∠CBD.,DE∥BC,.∠EDB= ∠CBD,.∠EBD=∠EDB,∴.BE=DE. (2),∠A=80°，∠C=40°，.∠ABC=60° ,∠ABC的平分线交AC于点D,.∠ABD= ∠CBD=2∠ABC=30',由(1)知∠EDB=∠EBD= 30°.8.证明：∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠CBF+∠CFB=∠DBE+∠DEB=90°.，BF 平分∠ABC,∴.∠CBF=∠DBE,∴.∠CFB= ∠DEB,又，∠FEC=∠DEB,∴.∠CFB=∠FEC, ∴.CE=CF.9.(1),AB=AC,AD⊥BC于点D, ·8· .∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°，又∠C=42°，. ∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°；(2)：AB= AC,AD⊥BC于点D,∴.∠BAD=∠CAD.EF∥ AC,∴.∠F=∠CAD,∴.∠BAD=∠F,∴.AE=FE. 10.B11.C12.证明：在△ADB和△BCA中， AD=BC,AC=BD,AB=BA,,∴.△ADB≌△BCA (SSS),.∠DBA=∠CAB,∴.AE=BE,∴.△EAB 是等腰三角形.13.证明：，AB=AC,∴.∠ABC= (BE=CE ∠ACB,在△DBE和△ECF中，∠ABC=∠ACB, BD=CE, .△DBE≌△ECF(SAS),∴.DE=EF,.△DEF是 等腰三角形；(2)如图，：△DBE≌△ECF, .∠1=∠3，∠2=∠4..∠A+∠B+∠C=180°， ÷∠B=2(180°-409=70.∠1+∠2=10， .∠3+∠2=110°，.∠DEF=70°.14.(1)如图， 证明：EF∥AD,.∠1=∠4，∠2=∠P.AD平 分∠BAC,∴.∠1=∠2，.∠4=∠P,∴.AF=AP,即 △APF是等腰三角形；(2)AB=PC.理由如下：证 明：.CH∥AB,∴.∠5=∠B,∠H=∠1..EF∥ AD,∴.∠1=∠3，∴.∠H=∠3，在△BEF和△CDH ∠5=∠B, 中，∠H=∠3，.△BEF≌△CDH(AAS),.BF= BE=CD, CH.,AD平分∠BAC,.∠1=∠2，.∠2=∠H, ∴.AC=CH,∴.AC=BF.AB=AF+BF,PC= AP+AC,.AB PC.15.(1).AB=AC, .∠ABC=∠ACB.,∠BDC是△ADC的一个外 角，∴.∠BDC=∠A+∠ACD.∠ACB=∠BCD+ ∠ACD,∠BCD=∠A,∴.∠BDC=∠ACB, .∠ABC=∠BDC,.CD=CB;(2)①，BE⊥ AC,.∠BEC=90°，.∠CBE+∠ACB=90°，设 ∠CBE=a,则∠ACB=90°-a,∴.∠ACB=∠ABC= ∠BDC=90°-a,.∠BCD=180°-∠BDC ∠ABC=180°-(90°-a)-(90°-a)=2a, .∠BCD=2∠CBE;②·∠BFD是△CBF的一 个外角，∴.∠BFD=∠CBE+∠BCD=a+2a=3a,分 三种情况：①当BD=BF时，∴.∠BDC=∠BFD= 3a.:∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-a,.90° a=3a,.a=22.5°，∴.∠A=∠BCD=2a=45°.②当 DB=DF时，.∠DBE=∠BFD=3a.∠DBE= ∠ABC-∠CBE=90°-a-a=90°-2a,∴.90°-2a= 3a,.a=18°，∴.∠A=∠BCD=2a=36°；③当FB= FD时，∴.∠DBE=∠BDF,,∠BDF=∠ABC> ∠DBF,∴.不存在FB=FD,综上所述：如果△BDF 是等腰三角形，∠A的度数为45°或36 F 3 D E D C E H 第13题 第14题 课时14等腰三角形(3) 1.B2.B3.B4.B5.306.27.证明： ,BD是等边△ABC的中线，∴.BD⊥AC,∠ACB= 60°，∴.∠DBC=30°.BD=DE,∴.∠E=∠DBC= 30°.：∠CDE十∠E=∠ACB=60°，∴.∠E= ∠CDE=30°，∴.CD=CE.8.(1),△ABC为等边 三角形，.AB=BC=CA,∠BAC=∠BCA=60°. BM=CN,.CM=AN,又：∠BAN=∠ACM, .△BAN≌△ACM;(2),∴.∠CAM=∠ABN, '.∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ= ∠BAC=60°.9.(1)证明：由题意得，∠F=30°， ,△ABC是等边三角形，∴.AC=BC,∠ACB=60, ∴.∠CAF=∠ACB-∠F=60°-30°=30°， .∠CAF=∠F=30°，.CA=CF,.BC=CF, .EF=2BC;(2)解：AH=BE,证明如下： ,△ABC是等边三角形，∴.AC=BC,∠ACB=60°， .∠CHF=∠ACB-∠F=60°-30°=30°， .∠CHF=∠F,.CF=CH.:EF=2BC, ∴BE+CF=BC,又，AC=AH+CH,AC=BC, ∴.AH=BE.10.C11.C12.1513.9或3 14.证明：(1)：△ACD和△BCE是等边三角形， ,∴.AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°，∠ECB=60°. ∠DCA=∠ECB=60°，∴.∠DCA+∠DCE= ∠ECB十∠DCE,∠ACE=∠DCB,在△ACE与 (AC=DC, △DCB中，∠ACE=∠DCB,∴.△ACE≌△DCB CE=CB, (SAS),.AE=BD;(2):由(1)得，△ACE≌ △DCB,∴.∠CAM=∠CDN..'∠ACD=∠ECB= 60°，而A,C,B三点共线，∴.∠DCN=60°，在△ACM ∠MAC=∠NDC, 与△DCN中，AC=DC, ∴.△ACM≌ ∠ACM=∠DCN=60°， △DCN(ASA),.MC=NC.:∠MCN=60°， .△MCN为等边三角形，.∠NMC=∠DCN= 60°，.∠NMC=∠DCA,.MN∥AB. 15.(1)△DEF是等边三角形，理由如下：，△ABD 为等边三角形，.∠ADB=60°，∠ABD=60°.，CE∥ AB,∴.∠DEF=∠A=60°，∠EFD=∠ABD=60°， ∴.△DEF是等边三角形；(2)连接AC交BD于点 O,如图，：AB=AD,CB=CD,∴.AC垂直平分BD, .AO⊥BD,∴.∠BAO=∠DAO=30°.CE∥AB, .∠ACE=∠BAO=∠DAO,∴.AE=CE=9, ∴.DE=AD-AE=12-9=3,,△DEF是等腰三角 形，.EF=DE=3,.CF=CE-EF=6. 16.(1)BD=BC,∠DBC=60°，∴.△DBC是等边 三角形，.DB=DC,∠BDC=∠DBC=∠DCB= 60°，在△ADB和△ADC中，AB=AC,AD=AD, DB=DC,∴.△ADB△≌△ADC(SSS),.∠ADB= ∠ADC,.∠ADB=2(360°-60)=150；(2)结 论：△ABE是等边三角形.理由如下：，∠ABE= ∠DBC=60°，∴.∠ABD=∠CBE,在△ABD和 △EBC中，∠ADB=∠BCE=150°，BD=BC, ∠ABD=∠CBE,.△ABD≌△EBC(ASA), ∴.AB=BE.∠ABE=60°，∴.△ABE是等边三角 形；(3)如图：连接DE,∠BCE=150°，∠DCB= 60°，∴.∠DCE=90°.，∠EDB=90°，∠BDC=60°， ∠EDC=30,EC=2DE=5.:△ABD≌ ·9·课时13等腰三角形(2) 二基础练习 1.(2024秋·扎兰屯市期末)在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB≠AC,若用无刻度的直尺和圆 规在BC上找一点D,使△ACD是等腰三角形，则下列作法中，正确的有 () ① ② A.②③ B.①② C.①③ D.①②③ 2.(2024秋·鹿邑县期中)下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是 () A.∠B=40°，∠C=809 B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.2∠A=∠B+∠C D.三个角的度数之比是2：2：1 3.(2024秋·舞阳县期中)如图，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中的等腰三角形 的个数为 () A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 D B E 第3题 第4题 第5题 第6题 4.(2024秋·晋安区期中)如图，D为△ABC边AB上一点，连接CD,则下列推理过程中，因果 关系与所填依据不符的是 () A..·∠A=∠B(已知)，∴.BC=AC(等角对等边) B..:AC=BC,AD=BD(已知)，∴.∠ACD=∠BCD(等腰三角形三线合一) C..'AD=BD,∠ACD=∠BCD(已知)，∴.CD⊥AB(等腰三角形三线合一) D.,AD=BD,CD⊥AB(已知)，'.AC=BC(线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距 离相等) 5.(2024秋·杭州期末)如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为点D,交 AC于点E,∠A=∠ABE,若AC=10,BC=6,则BD的长为 () A.5 B.3 C.4 D.2 6.(2024秋·宿城区期末)如图，在△ABC中，角平分线BO和CO相交于点O,OE∥AB,OF∥ AC,BC=2a,则△OEF的周长为 ·36· 7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D,过点D作DE∥BC交AB于点E. (1)求证：BE=DE; (2)若∠A=80°，∠C=40°，求∠BDE的度数. 8.(2024秋·盐城期末)如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交 CD于E,交AC于F.求证：CE=CF. 9.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D. (1)若∠C=42°，求∠BAD的度数； (2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE=FE. 零能力训练 10.(2025春·二七区阶段考)如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线相交于F,过F作 DEBC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的有 () ①△BDF,△CEF都是等腰三角形；②DE=DB+CE;③△ADE的周长等于AB+BC; ④BF=CF A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B B 第10题 第11题 11.(2024秋·通许县期末)如图，在格点中找一点C,使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中 的一条腰，这样的点C一共有 () A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ·37· 12.(2024秋·枣阳市期末)如图，AD=BC,AC=BD,求证：△EAB是等腰三角形. 0 13.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上，且BE=CF,BD=CE (I)求证：△DEF是等腰三角形； (2)当∠A=40时，求∠DEF的度数 14.(2023秋·枣阳市期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,E是BC上一点，BE=CD, EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P,CH∥AB交AD的延长线于点H. (1)求证：△APF是等腰三角形； (2)猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想. 壁拓展提升 15.(2024秋·安庆期末)已知在△ABC中，AB=AC,点D是边AB上一点，∠BCD=∠A. (1)如图1，试说明CD=CB的理由； (2)如图2，过点B作BE⊥AC,垂足为点E,BE与CD相交于点F. ①试说明∠BCD=2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数. D 图1 图2 备用图 ·38·