第1章 课时12 等腰三角形(1)-【培优精练】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

课时12等腰三角形(1) 马基础练习 1.(2023·宿迁)若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是 () A.70° B.45° C.35° D.50° 2.(2024秋·桂林期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,BD=4,则BC长是() A.8 B.6 C.4 D.2 B B D B D 第2题 第3题 第5题 第7题 3.(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB=() A.100 B.115 C.130° D.1459 4.(2024·云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点 F到直线AC的距离为 ) A是 7 B.2 C.3 D.2 5.某城市几条道路的位置关系如图所示，道路ABCD,道路AB与AE的夹角∠BAE=50° 城市规划部门想新修一条道路CE,要求CF=EF,则∠E的度数为 () A.23° B.25° C.27° D.30 6.(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 7.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC,立柱AD⊥BC,且顶角∠BAC=120°，则 ∠C的大小为 8.(2023·益阳)如图，AB∥CD,直线MN与AB,CD分别交于点E,F,CD上有一点G且 GE=GF,∠1=122°，求∠2的度数. ·33· 9.(2024秋·庄浪县期末)如图，点D,E在△ABC的边BC上，AD=AE,BD=CE,求证： AB=AC. 能力训练 10.(2025·连州市模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,点E是AD上一 点，连接BE,CE.下列说法错误的是 () A.BD=DC B.∠BAD=∠CADC.AB=AD D.BE=CE B D 0 第10题 第11题 第12题 11.(2024秋·无为市期末)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图 所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根 棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动，若 ∠BDE=69°，则∠CDE的度数是 () A.60° B.69° C.76° D.88° 12.(2024·内江)如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数 为 13.(2024秋·辛集市期末)如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=120°，BE⊥AB,点D为BC 上一点，且CD=BE,AD,CE交于点P. (1)试说明△ACD≌△CBE; (2)猜想∠APC的度数，并证明. ·34· 14.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E, BF∥AC交CE的延长线于点F,求证：AB垂直平分DF. 15.(2024秋·江都区期末)如图，AB=AC=AD. (1)若ADBC, ①如果∠C=80°，那么∠D的度数为 ②猜想∠C和∠D的数量关系并证明； (2)如果∠C=2∠D,AD与BC有什么位置关系？请证明你的结论. 壁拓展提升 16.(2024春·二七区期末)问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋 转的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB=AC,∠B=40°.将△ABC从图1的位置开始绕 点A逆时针旋转，得到△ADE(点D,E分别是点B,C的对应点)，旋转角为α(0°<α< 100°)，设线段AD与BC相交于点M,线段DE分别交BC,AC于点O,N. 特例分析：(1)如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为 探究规律：(2)如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段 AM始终等于线段AN,请你证明这一结论. 拓展延伸：(3)当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数. E A N 、N B D D 图1 图2 图3 ·35·.EF=EG.:ED⊥BC于D,D是BC的中点， .EB=EC.在Rt△EFB和Rt△EGC中， EB=EC, .Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),∴.BF= EF=EG, CG.16.证明：(1)：AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB,DC⊥AC,∴.DE=DC.在Rt△CDF和Rt (DF=BD, △EDB中， ∴.Rt△CDF≌Rt△EDB DC=DE, (HL),∴.CF=EB;(2).AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB,DC⊥AC,.CD=DE.在Rt△ADC与Rt ICD=ED,:.R△ADC≌R△ADE △ADE中，AD=AD, (HL),..AC=AE,..AB=AE+BE=AC+EB= AF+CF+EB=AF+2EB.17.(1)AP是∠BAC 的平分线，理由如下：如图1，在△ADF和△AEF中， (AD=AE, AF=AF,∴.△ADF≌△AEF(SSS),∴.∠DAF= DF=EF, ∠EAF,∴.AP平分∠BAC;(2)如图2，过点P作 PM⊥AC于点M,,AP平分∠BAC,PQ⊥AB, PM-PQ-4.SAweACPM6X 4=12. A(0) A(0) D D 0 F P 图1 图2 第17题 课时12等腰三角形(1) 1.C2.A3.B4.C5.B6.1007.30° 8.,AB∥CD,∴.∠MFD=∠1=122°，∠MFD= ∠AEF,∠2=∠AEG.,GE=GF,∴.∠GFE= ∠GEF=180°-∠MFD=180°-122°=58°，.∠2 180°-58°-58°=64°.9.证明：过点A作AF⊥BC 于点F,AD=AE,∴.DF=EF.:BD=CE, .BF=CF,.AB=AC.10.C11.D12.100° 13.(1)证明：，AC=BC,∠ACB=120°， .∠CAB=∠CBA=30°.，BE⊥AB,.∠CBE= 30°+90°=120°，∴.∠ACB=∠CBE,在△ACD和 (AC=CB, △CBE中，∠ACB=∠CBE,.△ACD≌△CBE CD=BE, (SAS);(2)解：∠APC=60°，理由如下： '△ACD≌△CBE,∴.∠CAP=∠PCD. .∠ACP+∠PCD=120°，∴.∠CAP+∠ACP= 120°，.∠APC=180°-120°=60°.14.证明：如图， 连接DF,,∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE十 ∠CAE=90°，.∠BCE=∠CAE.:'AC⊥BC,BF∥ AC,∴.BF⊥BC,.∠ACD=∠CBF=90°.AC= CB,∴.△ACD≌△CBF,.CD=BF.'CD=BD= 合BC,BF=BD,△BFD为等股直角三角形 ∠ACB=90°，CA=CB,.∠ABC=45°. :∠FBD=90°，.∠ABF=45°，∴.∠ABC= ∠ABF,即BA是∠FBD的平分线，∴BA是FD边 上的高线，BA又是边FD的中线，即AB垂直平分 DF.15.(1)①40②∠C=2∠D,理由如下： :AD∥BC,.∠D=∠DBC,又AB=AD, .∠D=∠ABD,∴.∠ABC=2∠D.AB=AC, ∴.∠C=∠ABC=2∠D;(2)平行，如下：AB= AC,.∠ABC=∠C=2∠D,又AB=AD, .∠ABD=∠D,.∠DBC=∠D,.AD∥BC. 16.(1)50°(2)证明：，AB=AC,∴.∠ABM= ∠C,由旋转得：∠AEN=∠C,∠BAM=∠EAN=a, AD=AE=AB,∴.∠ABM=∠AEN,在△ABM和 ∠ABM=∠AEN, △AEN中，AB=AE, ∴.△ABM≌△AEN ∠BAM=∠EAN, (ASA),∴.AM=AN;(3)解：①如图1，当MD= MO时，由旋转得：∠MDO=40°，.∠MOD=40°， ∴.∠AMO=2∠MDO=80°.，∠AMO=∠ABM+ ∠BAM,.∠BAM=80°-40°=40°，∴.a=40°；②如 图2，当DM=DO时，由①得：∠MDO=40°， ·∠DOM=180'-)MD0=70.·∠AM0= 2 ·7· ∠MDO+∠DOM=110°..∠AM0=∠ABM+ ∠BAM,.∠BAM=110°-40°=70°，.a=70°； ③如图3，当OD=OM时，由①得：∠MDO= ∠DM0=40°，∴.∠AM0=180°-∠DM0=140°， .∠AMO=∠ABM+∠BAM∴.∠BAM=140° 40°=100°，.a=100°.0°<a<100°，.a=100°不 合题意，舍去；综上所述：旋转角α的度数为40°或70°. A 第14题 D 图1 4 B M >C B M D 图2 图3 第16题 课时13等腰三角形(2) 1.A2.D3.D4.C5.D6.2a7.(1)证 明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D, .∠ABD=∠CBD.,DE∥BC,.∠EDB= ∠CBD,.∠EBD=∠EDB,∴.BE=DE. (2),∠A=80°，∠C=40°，.∠ABC=60° ,∠ABC的平分线交AC于点D,.∠ABD= ∠CBD=2∠ABC=30',由(1)知∠EDB=∠EBD= 30°.8.证明：∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠CBF+∠CFB=∠DBE+∠DEB=90°.，BF 平分∠ABC,∴.∠CBF=∠DBE,∴.∠CFB= ∠DEB,又，∠FEC=∠DEB,∴.∠CFB=∠FEC, ∴.CE=CF.9.(1),AB=AC,AD⊥BC于点D, ·8· .∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°，又∠C=42°，. ∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°；(2)：AB= AC,AD⊥BC于点D,∴.∠BAD=∠CAD.EF∥ AC,∴.∠F=∠CAD,∴.∠BAD=∠F,∴.AE=FE. 10.B11.C12.证明：在△ADB和△BCA中， AD=BC,AC=BD,AB=BA,,∴.△ADB≌△BCA (SSS),.∠DBA=∠CAB,∴.AE=BE,∴.△EAB 是等腰三角形.13.证明：，AB=AC,∴.∠ABC= (BE=CE ∠ACB,在△DBE和△ECF中，∠ABC=∠ACB, BD=CE, .△DBE≌△ECF(SAS),∴.DE=EF,.△DEF是 等腰三角形；(2)如图，：△DBE≌△ECF, .∠1=∠3，∠2=∠4..∠A+∠B+∠C=180°， ÷∠B=2(180°-409=70.∠1+∠2=10， .∠3+∠2=110°，.∠DEF=70°.14.(1)如图， 证明：EF∥AD,.∠1=∠4，∠2=∠P.AD平 分∠BAC,∴.∠1=∠2，.∠4=∠P,∴.AF=AP,即 △APF是等腰三角形；(2)AB=PC.理由如下：证 明：.CH∥AB,∴.∠5=∠B,∠H=∠1..EF∥ AD,∴.∠1=∠3，∴.∠H=∠3，在△BEF和△CDH ∠5=∠B, 中，∠H=∠3，.△BEF≌△CDH(AAS),.BF= BE=CD, CH.,AD平分∠BAC,.∠1=∠2，.∠2=∠H, ∴.AC=CH,∴.AC=BF.AB=AF+BF,PC= AP+AC,.AB PC.15.(1).AB=AC, .∠ABC=∠ACB.,∠BDC是△ADC的一个外 角，∴.∠BDC=∠A+∠ACD.∠ACB=∠BCD+ ∠ACD,∠BCD=∠A,∴.∠BDC=∠ACB, .∠ABC=∠BDC,.CD=CB;(2)①，BE⊥ AC,.∠BEC=90°，.∠CBE+∠ACB=90°，设 ∠CBE=a,则∠ACB=90°-a,∴.∠ACB=∠ABC= ∠BDC=90°-a,.∠BCD=180°-∠BDC ∠ABC=180°-(90°-a)-(90°-a)=2a, .∠BCD=2∠CBE;②·∠BFD是△CBF的一 个外角，∴.∠BFD=∠CBE+∠BCD=a+2a=3a,分